PowerPoint 프레젠테이션 - Metal Forming CAE Lab.
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Transcript PowerPoint 프레젠테이션 - Metal Forming CAE Lab.
면적 및 체적 적분
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
역학에서의 면적 및 체적 적분 사례
면성치(Area properties) : 면적, 도심, 단면2차(극)관성모멘트
체성치(Volume or mass properties) : 체적, 무게중심, 질량관성모멘트
정역학 및 동역학
x dA x dA
, y
분포하중에 대한 합력의 계산시 도심의 결정 : x
dA A
x dV
y dV
z dV
물체의 무게중심의 계산 : x
, y
,z
dV
dV
dV
A
A
A
A
A
A
질량관성모멘트 :
I zz
V
r 2 dm
A
A
V
A
r 2 dV
고체역학
축의 비틀림 문제에서 단면2차극관성모멘트 :
J I z r 2 dA
A
보의 단면의 도심 결정:
x, y
보의 단면의 일부에 대한 면적적분 : Q
단면2차관성모멘트 :
I zz y 2 dA
A
A1
y dA
A
y dA
A
면적 및 체적 적분의 개념
용어의 정의
면적적분:
A
f ( x, y ) dA
A
f ( x, y )dxdy
적분요소
피적분함수(Integrand)
적분구간
예제: 그림의 면적을 대상으로 하여 다음 식에서의 A를 구분하여 설명하라.
y
A
적분구간
A 는 그림의 영역(사각형의 내부)을 나타내는 기호임
적분요소에서 A는 단독으로 의미를 가지지 못하며, dA dxdy임
y dA
A
분모의 A는 사각형의 면적( A bh)를 의미함
y
x
h
A
※ 체적 적분은 면적 적분의 단순 확장이므로
상세설명은 면적 적분으로 대신함
b
면적 및 체적 적분의 개념
면적적분의 의미
면적적분: 적분구간을 미소의 적분요소인 면적요소로 나누고 모든 면적요소의 중심에서
구한 피적분함수의 값과 그 면적요소의 면적을 곱하여 더해 준 것임
예제: 다음의 식의 의미를 그림의 면적을 대상으로 설명하고, 근사적으로 값을 구하라.
I
A1
y 2 dA
면적요소
2
dA와 y 를 곱하여 더해 주되, 그 대상 면적을 A1으로
한다는 의미임 ( A
y
A1 A2 , A1 A2 )
A1
x
A
h 24
A2
b 16
I1
1
Ay
i 1
i
2
i
I4
128 8 8192
2
I I exact
1
2
16 83 16 8 82 8874
12
3
4
Ay
i 1
i
I16
2
i
32 (2 10 2 6 )
8704
2
2
16
Ay
i 1
i
2
i
8 (4 112 4 92 4 7 2 4 52 )
8832
면적 및 체적 적분의 계산법
면적적분의 계산법
일반적으로 직선 적분과는 달리 공식이 한정되어 있음. 따라서 수계산으로 구할 수
있는 면적 및 체적 적분은 극히 제한적임. 대부분의 경우 수치계산법으로 구해야 함
상황(피적분함수의 형태, 적분구간의 형태)에 따라 적절히 대응해야 하며, 경험적 요소
에
의존할 수밖에 없음. 다행히 고체역학 문제의 경우, 수계산으로 계산이 가능한 경우가
대부분임
수계산이 가능한 경우
단면적이 원, 직사각형, 삼각형 등의 기본 도형의 조합으로 이루어져 있는 복합도형의
면성치
(단면적, 도심, 단면(2차)극관성모멘트, 단면(2차)관성모멘트 등)
원통, 직육면체, 원뿔 등의 기본적인 입체형상의 조합으로 이루어져 있는 복합입체형상의
체성치
(체적, 체적중심, 무게중심, 질량관성모멘트 등)
면적 및 체적 적분의 계산법
수계산이 가능한 경우
x와 y의 다항식으로 구성되어 있을 경우
경우 1. 단면이 직사각형이고, 피적분함수가
예제 1.1:
h/2
y2
A ydA A ydxdy b / 2 dxh / 2 ydy b 2 0
h / 2
b/2
y y'
h/2
예제 1.2:
h/2
y3
bh3
2
2
2
A y dA A y dxdy b / 2 dx h / 2 y dy b 3 12
h / 2
b/2
예제 1.3:
A
A
예제 1.4:
A
b/2
y
y '2 dA y '2 dx ' dy '
dx '
b / 2
A
A
h
0
y '3
bh3
2
y ' dy ' b
3
3 0
b/2
x ' y ' dA x '2 y ' dx ' dy '
A
b/2
b / 2
x '2 dx '
h
0
h
b
2
h
b/2
예제 1.5:
h
h
y'
bh
dx ' y ' dy ' b
b / 2
0
2
2 0
y ' dA y ' dx ' dy '
2
x
A
h/2
h
x '3
y '2
b3 h 2
y ' dy '
24
3 b / 2 2 0
x'
면적 및 체적 적분의 계산법
수계산이 가능한 대표적인 경우(계속)
x 축과 평행한
경우 2. 한 변이
삼각형이고, 피적분함수가
구성되어 있을 경우
x 와 y 의 다항식으로
3
b
4
y
예제 2.1 :
A
A
dy
y dA
x dA
h
yw dy
0
3
b
4
0
h
0
b
bh 2
(h y ) ydy
h
6
A
y dA
wdy
y
x ydx 3 x ydx
4
x
b
b
예제 2.2 :
h
b
4h 34 b 2
4h b
2
x
dx
(
bx
x
'
)dx
3
0
b
3b
b 4
7 2
bh
24
2
w
h : b (h y ) : w
3
b
4
y
h
h
0
b h
bh3
2
y w dy (h y ) y dy
h 0
12
x
dx
2
dx
x
b
x
면적 및 체적 적분의 계산법
Ri
수계산이 가능한 대표적인 경우(계속)
Ro
경우 3. 단면이 원이고, 피적분함수가 반경
dr
r의 함수일 때
r
예제 3.1:
Ro
r 2 dA r 2 2 rdr
A
Ri
R
2
4
o
Ri4
경우 4. 단면이 원 또는 부채꼴이고, 피적분함수가
dA 2 rdr
x 또는 y 의 함수일 때
d
예제 4.1: 원
Ro
2
Ri
0
ydA r sin r d dr r 2 dr sin d 0
y 2 dA r 2 sin 2 r d dr r 3dr sin 2 d
A
A
A
A
Ro
2
Ri
0
R
예제 4.2: 부채꼴
A
xdA
R
0
r cos r d dr
0
r 2 dr cos d
2
R
4
4
o
Ri4
R 3 sin
3
C
r
dr
r dr
2 R sin
3
3
dA rd dr
면적 및 체적 적분의 계산법
수계산이 가능한 대표적인 경우(계속)
경우 5. 그림과 같이 단면 형상이 활꼴이고, 피적분함수가
y의 함수일 경우
예제 5.1:
a
A
ydA 2 y a y dy
2
2
h
a 2 h2
0
3
2 2
2( a 2 h )
tdt
3
y
a y t , 2 ydy dt
2
2
ya t0
2
2
y h t a h
dy
h
a
y
x
도심의 정의
도심(Centroid)의 의미: 도형의 중심. 선, 면적, 체적의 기하학적 중심
수학적 정의
선중심:
y
x
L
면적중심: x
(도심)
체적중심: x
A
V
x ' dL
L
x ' dA
A
x ' dV
V
대개 역학 문제에서
같이 기준좌표계인
,
y
, y
, y
L
A
V
y ' dL
L
y ' dA
A
y ' dV
V
,
z
L
, z
, z
A
y'
z ' dL
L
z ' dA
V
A
z ' dV
y
x'
V
x, y, z 좌표계를 도심에서 정의하므로 그림의 2차원 평면상에서 보는 바와
x ', y ', z ' 좌표계에 대한 상대적인 위치, 즉 x , y , z 로 도심을 정의함
역학 계산에서 면적중심이 많이 사용되고 있으며, 주로 그림에서 보는 바와 같이 좌표계의
또는
x
x
y
y z 면과 평면을 일치시킴
x y면
y
z
x
무게중심과의 관계: 체적중심은 밀도가 균일한 동일한 형상의 물체의 무게중심과 일치함.
선과 면적은 부피가 없으므로 무게중심과 직접 비교할 수는 없음. 그러나 선의 굵기와 면의
두께가 균일하고 밀도가 동일한 물체의 무게중심과 일치하는 것으로 이해해도 무방함
직접적분으로 도심 구하기의 예제
y y'
예제 1-A
A
bh 2
예제 1.1로부터 y ' dA
임
A
2
y ' dA bh 2 / 2 h
A
따라서 y
임
A
bh
2
x '축에 대해서 좌우 대칭이므로
예제 2-A
예제 2.1의 결과를 이용하면,
x
A
x ' dA
A
y
A
y ' dA
A
x
x
h
h/2
A
x ' dA
A
0임
x'
b
y'
3
b
4
dy '
2
7b h / 24 7
b
bh / 2
12
w
h
bh 2 / 6 h
bh / 2 3
y'
x'
b
직접적분으로 도심 구하기의 예제
y'
예제 3-A: 원
예제 3.2의 결과를 이용하면,
x
A
x ' dA
A
y
0
A
y ' dA
A
0
0
x'
예제 3-B: 부채꼴
x
A
x ' dA
A
R
R sin
3
3 R 2
반원일 경우
4R
x
3
0
r cos r d dr
R
2
R
0
r 2 dr cos d
R2
2 R sin
3
y'
r cos
R
d
C
drdr
r
x'
R
dA rd dr
직접적분으로 도심 구하기의 예제
예제 5-A
예제 5.1로부터
A
y ' dA
3
2 2
2(a h )
임
3
2
a
A dA 2 a y ' dy ' 2a
A
a
h
면적의 계산
2
2
h
2
sin
cos d a
2
2
1 h
a
2
2
sin 1
h
a
(1 cos 2 )d
h
( sin 1 ) a 2 h a 2 h 2
2
a
y ' a sin , dy ' a cos d
y'
1 h
y
'
a
;
y
'
h
sin
2
a
y
A
y ' dA
A
반원의 도심:
3
2 2
2(a 2 h )
h
3 ( sin 1 ) a 2 h a 2 h 2
a
2
4a
y
3
x '2 y '2 a 2
A
dy '
y'
a
y
sin 1 h / a
x'
dA 2 a 2 y '2 dy '
직접적분으로 도심 구하기의 예제
y'
예제 6
x
A
x ' dA
A
a
0
A1 A2
x ' dA
A
A1
x ' dA x ' dA
A1
a
A
A2
A1 A2
h( x ' b) x '
hx ' dx '
dx '
a
b
a
ah (b a ) h / 2
h
A2
b
b
y'
ah
(b a )h(2a b)
a 2 b 2 ab
2
6
ah (b a ) h / 2
3(a b)
2
x'
dA hdx '
dA y ' dx '
y'
y
A
y ' dA
A
h
0
a b 2
y ' by ' dy '
h
1
( a b) h
2
a b 3 b 2
h h
(2a b)h
3h
2
1
3 ( a b)
( a b) h
2
dx '
x'
h
( x ' b)
ba
x'
y'
dA x ' dy '
dy '
x'
( a b)
y ' b
h
dy '
x'
도심 이용 면적적분
y'
도심을 이용한 면적 적분 공식
x
x ' dA
A
y
A
dA
A
x ' dA xA
A
R3
x'
y'
A
y ' dA
A
dA
A
y ' dA yA R R 2
y ' dA yA
A
h
z ' dA
z
dA
A
A
z ' dA zA
y'
y ' dA yA
h
bh
2
bh 2
2
x'
b
A
h
A
xdA yA
b2h
6
b
x'
h bh
3 2
복합도형의 도심 계산
복합도형의 도심 계산 공식
x
x ' dA
A
A
y
A
dA
y ' dA
A
dA
A1 A2 An
dA
A1 A2 An
A1 A2 An
x ' dA
y ' dA
A1 A2 An
dA
A1
A1
x ' dA x ' dA x ' dA
A2
A1
An
dA dA dA
A2
A2
A1
An
dA dA dA
A2
An
Ax
A
i i
i
An
y ' dA y ' dA y ' dA
Ay
A
i
y'
A1
...
A2
A3
Ai
An
x'
x ' dA xi Ai
i
i
복합도형의 도심 구하기의 예제
사다리꼴의 도심
x
A1
x ' dA x ' dA
A2
A1 A2
(b 2 ab 2a 2 3a 2 ) h a 2 b 2 ab
(b a )
3(a b)
6(ah
h)
2
a
a2h
A1 x ' dA x1 A1 2 a h 2
b a (b a )h (b 2 ab 2a 2 )h
A2 x ' dA x2 A2 (a 3 ) 2
6
(b a)h
A1 ah, A2
2
A1
y ' dA y ' dA
A2
A1 A2
a
A1
A2
h
h
ah 2
A1 y ' dA y1 A1 2 a h 2
h (b a)h (b a)h 2
A2 y ' dA y2 A2 3 2 6
y
y'
(2a b) h 2
(2a b)h
(b a )
6(ah
h) 3(a b)
2
h/2
O
b
a
ba
3
h/3
x'
복합도형의 도심 구하기의 예제
y'
120
120
40
=
+
A1
100
A2
60
40
30
20 20
30
※
2
1
-
20
3
x'
50
3
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
1
2
A4
60
-
A 3 40
20
A1 12000 mm 2 , A2 3000 mm 2
A3 800 mm 2 , A4 450 mm 2
A x A2 x2 A3 x3 A4 x4
x 1 1
75.0 mm
A1 A2 A3 A4
y
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A4 y4
50.8 mm
A1 A2 A3 A4
x1 60, y1 50
60
100
, y2
3
3
20
40
x3 110
120, y3 20
2
2
4
40
x4 30 30 60, y4
30
3
x2 120
복합도형의 도심 구하기의 예제
y'
=
240
A1
-
A2
60
+
120
120
360
x'
x
A1 x1 A2 x2
166.6 mm
A1 A2
y
A1 y1 A2 y2
120 mm
A1 A2
1
480 360 , A2 602
2
1
1
x1 480, y2 360, x2 y2 120
3
3
A1
도심을 이용한 Q 값 구하기
VQ
보의 전단응력 계산에 필요한 Q 값, xy
Q 의 계산: Q
Q 의 정의: Q
A1
A1
bI zz
ydA
ydA
A11
ydA
A12
ydA
A1 n
ydA
y1 A1 y11 A11 y12 A12 y1n A1n
예제
사각형단면:
복합단면:
원형단면:
6
A1
A1
a
y1
h
b
dA bdy
h
y1
h
2
Q
b y1
2
2
1h
y12
2 4
2( a 2 h )
3
y2
y0
z
4
x'
2( a 2 h )
Q
h
3 ( sin 1 ) a 2 h a 2 h 2
a
2
h
( sin 1 ) a 2 h a 2 h 2
a
2
3
2 2
20
4
y1 h
h
3
2 2
2
y 10
y 8
y'
y
z
y
20
Q ( y1 0) A11 y1 A12 y2
24 3 80 8 712
Q ( y1 2) A11 y1 A12 y2
16 4 80 8 704
Q ( y1 8) A11 y1 40 9 360
Q ( y1 10) A11 y1 0 10 0
도심을 이용한 축대칭 물체의 부피 계산
V 2
A A1 A2 A3 1000 mm 2
rdA 2 rA
= 100
A1
-
A2
50
50
100
r
A1r1 A2 r2 A3 r3
A1 A2 A3
r1 50, r2 100
1000 50
4
1000
502 r2
4
502
4
4
50, r3 100
50
3
3
V 2 rA 2 33.33 1000 209418.57mm3
4
4
502 r3
502
+
A3
33.33mm
도심을 이용한 합력의 계산
4m
6m
2800N/m
1200N/m
=
1200N/m
A1
A2
1600N/m
+
x1 5
x2 8
1
R A1 A2 10 1200 6 1600 16800N
2
2
12000 5 4800 (4 6)
A1 x 2 A2 x 2
41
3
x
A1 A2
12000 4800
7
R 16800N
4m
6m
2800N/m
1200N/m
x
41
7
복합보의 중립축 구하기
복합보의 중립축 계산 공식
중립축의 정의:
A
A
A1
EydA 0
y ' y yN , y y ' yN
EydA Ei ydA Ei
Ai
i
i
Ai
y ' dA yN Ai
Ei y ' dA y N Ei Ai 0
Ai
i
i
yN
i
E y ' dA E y A
E
A
E A
i
i
Ai
i
i
i
i
i
i
i
y, y '
A2
z
y1
yN
An1
yn
z'
An
i
i
y y'
예제:
A
E1 E
A1
EydA E ydA 2 E ydA 0
A1
a
A2
EA
2 EA
E y ' dA
y N 2 E y ' dA
yN 0
A1
A
2
2
2
A 3
A a 3EA
5
E a 2E
yN 0 yN a
2 2
2 2
2
6
z
z
yN
A 2 2a
a
E2 2 E
A 2a 2a 4a 2
단면2차관성모멘트 구하기-단순단면
y
예제: 직사각형 단면
3
I zz y 2 dA
A
h
2
y
1
y 2bdy 2b bh 3
3 0 12
h
2
h
2
dy
h
예제: 원형 단면
b
dA bdy
I zz y dA
2
A
y
z
2
0
R
0
R
2
r sin drd r dr sin 2 d
3
2
0
3
y
0
2
R 4 sin 2
4 4
R d
4 2
4 0
4
64
d
R
J r dA ( z y ) dA z dA y dA
2
A
2
2
2
A
2 y 2 dA 2 I zz
A
A
2
R4
32
2
z
A
d4
dA rd dr
y r sin
r
dr
단순한 복합단면에 대한 단면2차관성모멘트의 계산
각 구성 요소의
y가
y
0인 경우
=
I zz y 2 dA
A
AR AC
y 2 dA
AR
A
y 2 dA y 2 dA
AR
AC
h
z
R
AC
1 3 4
bh R
12
4
b
=
I zz y dA
2
A
AR AC1 AC 2
y 2 dA
AR
A
2
AC1
y dA
y 2 dA
AC 2
AR
AC
AC
C
y 2 dA
1
1
bh 3 R 4 R 4 bh 3 R 4
12
8
8
12
4
h
R
b
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 공식
도심에서 떨어져 있는 z ' z ' 축에 대한 단면2차관성모멘트의 계산
I z ' z ' y '2 dA
y, y '
A
dA
( y y ) 2 dA
A
y
( y 2 yy y ) dA
2
2
z
A
y y' y y
y 2 dA 2 y y dA y 2 dA
A
A
y 2 dA y 2 A
A
AI zz y 2 A
A
z'
단면2차관성모멘트 구하기-단순단면
예제: 삼각형 단면
I z ' z ' y ' dA
2
A
y
y'
2h / 3
y ' wdy '
2
h / 3
2h / 3
h / 3
(b
b
y ') y '2 dy '
h
w
dy '
h
2h / 3
2h / 3
h / 3
(by '2
3
b 3
b 4
b
y ' )dy ' y '3
y'
h
3
4
h
h / 3
4
b 8h
b 16h b h3 b h 4
3 27 4h 81
3 27 4h 81
7
bh3
108
7
h 2 bh
3
I zz I z ' z ' y A
bh
108
9 2
1
bh3
108
2
z
y'
h
3
z'
b
dA wdy '
(h y ') : h w : b
w
b(h y ')
b
(b y ')
h
h
dA (b
b
y ')dy '
h
특수한 단면2차관성모멘트 계산 예제
I z ' z ' 를 직접 적분으로 구할 수 있는 경우, I zz 의 계산
I z ' z ' y ' dA
2
A
0
R
R
0
r 3 sin 2 drd
0
8
r 3 dr sin 2 d
0
y
A
y ' dA
A
y, y '
R4
d
0
y' y y
R
0
r 2 sin drd
z
R2 / 2
z'
R
y
I zz I z ' z ' y 2 A
8
16
R4 2 R2 R2
8
2 8 9
9
dA rd dr
y ' r sin
2 r / 3 0 [ cos ]0
4
R
2
R
3
3
R
r
4
R
dr
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 예제
y
w
A2
해법 1
y1 A1 y 2 A2 y3 A3
A1 A2 A3
t
A1
A2
d
t
d
td w 2t t d td
2
2
2
td w 2t t td
w 2t 2d t 2d 2 5
t
2 2d w 2t
2
y
d
y
z
t
=
A1
+
+
A2
A3
A1 td
I zz I zz )1 I zz ) 2 I zz ) 3
2
A2 (w 2t )t
1
d
1
t
td 3 td y w 2t t 3 w 2t t y d
12
2 12
2
1
d
td 3 td y
12
2
2
2
A3 td
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 예제
w
해법 2
y
y1 A1 y2 A2
A1 A2
wd
d
d t
w 2t (d t )
2
2
wd w 2t (d t )
w 2t 2d t 2d 5
t
2 2d w 2t
2
2
2
d
y
z
t
=
A1
I zz I zz )1 I zz ) 2
1
d
wd 3 wd y
12
2
y
A1 wd
2
1
d
t
3
w 2t (d t ) w 2t (d t ) y
12
2
-
A2
A2 (w 2t )(d t )
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 예제
A1
3td
y
t
A2
y
d
d
2td d
4
2 3
d
3td 2td
4
A1
2d
z
y
d
2
z
A2
3
A2
2
1
1
d 3
3
d
d 3
I zz 6t 3td d t 2d 2td d d
12
2 4
2
4 4 12
125 3
td
48
A2
A1
A2 , A3
2
1
7.75
3
I zz 2 130 7.75 130 7.75 100
12
2
1
3
5.75 200 2 7.75
12
21638087.7
A1
6t
2
A1
A1
5.75
A1
200
A3
7.75
130
복합보에서의 단면2차관성모멘트 관련 면적적분
복합보에서의 평형조건식: M b
A
1
A
Ey 2 dA
y y'
EydA E ydA 2 E ydA 0
A1
E1 E
A1
A2
EA
2 EA
E y ' dA
y N 2 E y ' dA
yN 0
A1
A2
2
2
A 3
A a 3EA
5
E a 2E
yN 0 yN a
2 2
2 2
2
6
2
1
3
5
19
I1 y dA 2a a 3 2a a a a a 4
A1
12
6 18
2
2
2
1
5
7
1
I 2 y dA 2a a 3 2a 2 a a a 4
A2
12
6 18
2
2
a
z
z
A 2 2a
2
E2 2 E
A 2a 2a
y ' y yN
y y ' y N
1
1
33 Ea 4
2
2
M b A Ey dA E1 A y dA E2 A y dA EI1 2 EI 2
1
2
18
1
a
yN