Transcript 11 장 개수로 정상흐름의 기초

11 장 개수로 정상흐름의
기초
수공학연구실
11.1 개수로 흐름의 분류
 개수로 흐름은 대기와 접하는 자유수면을 갖는 흐름을 말함.
 수로 중의 물이 중력의 작용으로 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐름
 개수로 흐름이 발생하면 수로 내의 물의 내부마찰과 경계면과의 마찰에 의한
마찰저항이 나타나고, 이것에 의해 에너지손실이 발생함.
 개수로 흐름의 분류는 자유수면의 존재 여부에 따라 분류함.
 이 장에서는 정상류에 대해서만 다룬다.
11.1 개수로 흐름의 분류
 시간에 따른 흐름을 분류
- 정 상 류 : 흐름 내의 임의의 한 점에서 시간이 경과할 대 속도, 수심 및 압력 등과
같은 흐름의 특성인자 변화하지 않는 흐름
- 비정상류 : 흐름 내의 임의의 한 점에서 시간이 경과할 대 속도, 수심 및 압력 등과
같은 흐름의 특성인자 변화하는 흐름
 위치에 따른 흐름의 분류
- 등 류 : 수로의 모든 단면에서 흐름의 특성인자가 변화하지 않는 흐름
- 부등류 : 공간적으로 흐름의 특성인자들이 변화하는 흐름
 부등류는 : 점변류와 급변류로 세분됨
- 점변류 : 수로 구간에서 수면변화가 완만하게 나타나는 흐름
- 급변류 : 수로 구간에서 수면변화가 급격하게 나타나는 흐름
11.1 개수로 흐름의 분류
 흐름의 분류
1. 정상등류 – 11장
2. 정상부등류(점변류, 급변류) – 12장
3. 비정상 등류
4. 비정상 부등류(점변류, 급변류)
 개수로흐름도 레이놀즈 수를 이용하여 층류와 난류를 구분함.
 레이놀즈 수를 정의함에 있어 관수로에서처럼 직경 d를 사용하지 않고, 동수반경을
사용함.
 개수로흐름에서 한계 레이놀즈수
Re <500 이 면 층 류 상 태 가
됨.
11.1 개수로 흐름의 분류
 Froude 수에 의한 개수로 흐름의 분류
11.2 수로단면과 기하학적인자
11.2.1 수심(depth), y
자유표면으로부터 수로바닥까지의 연직거리
1. d(유수단면적의 깊이) : 흐름방향에
수직한 깊이
2. d를 수심으로 정의하는 경우도 있음.
수로 경사각이 작은 경우 근사적으로 y=d 임.
특별한 언급이 없는 경우 y를 수심으로 정의함.
11.2 수로단면과 기하학적인자
11.2.2 수위(stage)
임의의 기준면으로부터 자유표면까지의 연직거리.
수로 바닥면을 기준면으로 취하면 수위는 수심과 일치
11.2.3 유수 단면적 A와 윤변 P
유수단면적 : 흐름방향과 수직한 단면의 단면적
윤변 : 단면과 고체 경계면과 접해서 만들어지는 주변길이
11.2.4 동수반경
윤변에 대한 유수단면적의 비
11.2 수로단면과 기하학적인자
11.2.5 수리평균심, D
수면폭에 대한 유수단면적의 비
수면폭이 넓은 자연수로를 직사각형 단면 수로로 환산했을 때의 수심
11.2.6 한계류 계산을 위한 단면계수, Z
11.3 유속분포
 최대유속은 항상 수로 중심부의 수면 근처에서 발생, 일반적으로 수면으로부터
전체 수심의 약 20~30%인 거리에 나타남.
수심이 얕을 수로일수록 최대유속발생위치는 수면에 더욱 근접해 간다.
수로의 단면평균유속은 통상 수면에서 총수심 y의 약 60%의 점을 기준으로 함.
특별한 언급이 없는 한 운동에너지 보정계수, 운동량보정계수는 1로 가정함.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
11.4.1 비에너지
- 베르누이 정리를 적용하여
흐름의 한 단면의 에너지를
나타내면
- 총수두 H는 어느 기준면에
대해서
위치수두(z),
압력수두(개수로에서는 수심)
속도수두
에너지 손실수두
의 합으로 나타남.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
 Bakhmeterff는 수로 바닥을 기준으로 하고, 수로바닥으로부터 에너지선까지의
수직거리를 비에너지(specific energy) E라 정의 하였음.
 수로의 경사가 아주 작은 경우는
비에너지는 수로 바닥을 기준으로 한 물의 단위 무게를 갖는 에너지
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
 Q가 일정하게 주어진 경우를 생각하자.
유수단면적이 수심의 함수이므로 이 경우 비에너지 E는
수심만의 함수임.
수심 y의 변화에 따른 비에너지 E의 변화를 알 수 있음.
E1=y : 수심이 비에너지에 기여하는 양
E2 : 속도수두가 비에너지에 기영하는 양
 E1=y는 원점에서 45도 기울기를 가진 직선으로 나타남.
 E2=Q2/2gA2는 Q가 일정하므로 점선과 같이 반비례곡선으로 나타남.
(수심이 커지면 통수단면적이 커지고, E2는 작아짐, ※유량일정)
 E1과 E2를 합성하면 그림과 같이 최소 비에너지 값을 갖는 곡선을
얻는데 이 곡선을 비에너지곡선 이라함.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
 y → 0 인 경우 (A → 0)로 되어 E → ∞ 로(유속이 무한대로) 되어 비에너지는 E는
가로축에 점근
 y → ∞ 인 경우 [A → ∞]로 되어 E → ∞=y 로(수심이 무한대로) 되어 비에너지는
E는 E=y인 축에 점근한다.
 수심축 임의의 점에서 가로축과 평행선을 그었을 때 E=y축과 만나는 점까지의
거 리 는 수 심 을 나 타 내 고 , E=y 축 과 비 에 너 지 곡 선 사 이 의 수 평 거 리 는
속도수두(V2/2g=Q2/2gA2)를 나타냄.
비에너지의 최소값 Emin이 존재하고 그때 수심은 하나 만 존재함. 이 수심을
한계수심(yc)이라고 함. 이 때의 흐름을 한계 흐름이라고 함.
비에너지가 최소비에너지보다 조금이라도 크면 임의의 비에너지의 대해 2개의 수심
y1, y2가 존재함. (Q가 일정한 경우 동일한 비에너지(최소비에너지 제외)에 대해 2개의
수심(대응수심)이 존재함.
※Q가 일정한 경우
 y > yc = 상류
 y < yc = 사류
 y = yc = 한계류
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
예제 11.1 유량이 Q=6.75m3/sec, 폭 b=3m인 직사각형 단면수로에서 수심 2m까지
적당한 간격으로 비에너지를 구하고 수심과 비에너지의 관계곡선을 도시하라.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
11. 4. 2 한계흐름의 조건
한계흐름이 될 조건은 비에너지가 최소가 될 조건과 같음.
수심 y에 대해 비에너지가 최소가 될 조건은 다음과 같음. (dE/dy=0]
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
 한계류가 되기 위해서는 다음 조건을 만족시켜야 함.
(한계류에서는 속도수두가 수리평균심 D의
½이 되는 것을 의미함)
 Froude 수를 이용하여 나타내면
 V는 흐름속도,
는 수로 단면 변화, 수로 경사의 변화 또는 수로 내
존재하는 단면변화로 인해 발생하는 표면파의 전파 속도임.
Dc 한계흐름에서의 수리평균심
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
11. 4. 3 유량과 수심의 관계
 비에너지 E가 일정할 때 수심(y)와 유량(Q)의 관계
 위 식 은 y=0(A=0), y=E 일 때
유량이 명백히 0이 됨.
수심이 증가하면 A도 증가하므로
Q도 증가하여, 임의 수심에서 최대로
되지만, (E-y) 값이 감소하므로 그
이후에는 유량은 감소하여 0이 됨.
비에너지가 일정한 경우 동일유량에
대해서 서로 다는 2개의 수심이
존재함.
수심이 어느 특정 수심이 되었을 때
유량이 최대가 됨.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
 유량이 최대(Qmax) 일 때의 수심에 구해보면,
Qmax에 대해서 dQ/dy=0 이므로
위 식이 항등적으로 성립되기 위해서는
분자가 0이 되어야 함.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
한계류가 발생하는 조건과 동일한 조건
비에너지가 일정한 경우, 유량이 최대가 되는
수심은 한계수심임.
 수로 폭이 b인 직사각형단면 수로에 대해 생각해보면
Q가 최대일 때의 수심이 한계수심(yc)
직사각형 수로에서 한계수심은 비에너지의
2/3가 된다.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
11.4.4 한계수심의 계산
(1) A=ayn으로 표시되는 단면 한계수심은 단면의 형상에 따라 그 크기가 달라짐.
한계수심이 되는 조건 :
한계수심 yc에 대해 정리하면
(a)직사각형단면 a=b(폭), n=1
(b)삼각형단면(경사 1:m)
a=m, n=2
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
예제 11.3 한계수심의 계산 1
포물형 단면수로
한계수심
a=a, n=1.5 이므로
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
원형단면
수심과 직경과의 관계는
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
예제 11.4 한계수심의 계산(2)
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
(2)사다리꼴 단면 : 사다리꼴 단면은 단면형태가 다르다.
(기지값)
m은 사면의 기울기
b는 사다리꼴의 저면폭
yc에 대한 6차 방정식 형태로 해석적으로 풀기
곤란하므로 시산법을 이용해서 푼다.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
예제 11.5 b=8, 측면경사 1:2인 사다리꼴 단면에서 Q=15m3/sec일 때, yc를 구하라.
(a) 시행착오법
수심값을 가정하고
한계수심이 됨.
를 계산한 값이 22.96과 같으면, 그 때 가정한 수심이
초기 가정치를 대략 0.7로 하면
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
(b)도해법 : 적절한 간격으로 수심을 가정하고
를 계산한 후 그 결과를 수심에
대해서 도시한 그래프를 이용하여 한계수심을 구하는 방법
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
11.4.5 흐름상태의 변화
(1)상류에서 사류로의 변화
댐에 접근함에 따라 유속이 가속화되고, 수심이 이감화여, 상류이던 흐름이 사류로 바뀜
정점부가 흐름 상태의 전환점이 되고, 그 곳에서 한계수심이 나타남.
상류에서 사류로 전환하는 경우 수면의 매끄럽고 연속적인 수면형이 됨.
상류에서 사류로 전환되는 흐름에서 한게수심이 발생하는 수심을 지배단면이라함.
지배단면은 수면곡선계산시 계산의 출발점이 됨.
11.4 개수로 흐름의 에너지 개념
(2)사류에서 상류로의 변화
댐 정점부를 통과한 흐름은 사류가 되고, 그 후 급한 수로경사로 인해 가속화됨
사류상태가 유지되다가 댐 저부에서 수로경사가 갑자기 완만해져 흐름상태가 사류에서
상류로 변환됨
사류에서 상류로 천이하는 경우 수면이 표면 와를 수반하면서 불연속적으로 뛰어오르는
형태를 취함. 이것을 도수현상 이라함.
도수 발생시 사류가 갖는 큰 에너지의 일부가 소실됨.
도수 후의 비에너지는 도수 전의 비에너지에 비해 항상 작게 나타남.
11.5 운동량 이론의 적용
11.5.1 도수의 해석
(1) 비력곡선
 사류에서 상류로 흐름상태가 전환될 때 흐름이 불연속적으로 뛰어오르는
도수현상이 발생함.
 도수현상은 짧은 시간에 짧은 수로 구간 내에서 일어나는 현상이기 때문에
운동량방정식을 적용하면 해석할 수 있음.
 도수발생 전후 구간을 검사쳊거으로 선정하여 해석함.
11.5 운동량 이론의 적용
1차원 흐름에 대한 운동량방정식은
작용하는 힘들을 고려하면
F1, F2 : 정수압에 의한 힘,
Wsinθ: 중력의 흐름방향 성분
Ff : 마찰저항력
 수로경사가 완만할 때 :
 짧은 구간에서 Ff 는 무시
11.5 운동량 이론의 적용
각 항들은 [힘/단위중량]의 차원을 가지므로, 비력 또는
충력이라 부른다.
도 수 전후의 두 단면에서의 비력은 항상 일정함.
유량을 일정하다고 가정하면, 비력은 수심만의 함수가 된다.
- 운동량의 비력에 대한 기여량 :
- 정수력의 비력에 대한 기여량 :
y가 0에 가 까 워질 때, M 은 ∞로 되어
가로축 또는 Mm선에 점근
y가 ∞에 가까워질 때는 M은 ∞로 되어
Mp선에 점근
11.5 운동량 이론의 적용
(2) 최소비력 : 비력이 최소일 때 하나의 수심만 존재함.
최소비력에 대한 수심도 역시 한계수심 yc임.
유 량 이 일 정 할 때 , 동 일 비 력 에
대해서 두개의 수심 y1, y2가 존재,
y1<yc<y2
y1, y2는 도수 전후의 수심으로 이
수심을 공액수심이라 함.
11.5 운동량 이론의 적용
11.5.2 도수 전후의 수심 :
폭 b인 직사각형 수로
수심이 음(-)이 되는
경우는 제외
11.5 운동량 이론의 적용
11.5.3 형태에 따른 도수의 분류와 도수 길이 :
11.5 운동량 이론의 적용
11.5.4 도수에 의한 에너지 손실 : ΔE
11.5 운동량 이론의 적용
예제 11.7 도수로 인한 에너지 손실
11.6 개수로의 정상등류
11.6.1 등류
등류는 수로경사와 단면적이 일정한 긴 직선수로에서 형성됨.
수로경사가 일정한 긴 수로에 흐름이 유입되면 천이영역으로 불리는 점변류의 영역이
나타남. (중력의 흐름방향 성분이 마찰저항보다 크기 때문에 흐름이 가속됨)
천이영역을 지나면, 일정경사를 갖는 수로가 충분히 길면 중력의 흐름방향 성분과
마찰정항력이 평형을 이룸.(흐름이 등속운동, 각 단면에서 유속이 일정한 등류가 형성됨).
등류에서는 에너지선, 수면 및 수로 바닥면이 서로 평행하다.
11.6 개수로의 정상등류
11.6.2 등류의 평균유속 공식
실제 유속을 직접 실측하는 것은 번거로우므로 실측에 의하지 않고도 유속을 구할 수
있는 실용공식이 제안되었음.
등류의 평균유속 공식은 일반적으로 다음과 같은 형태를 취함.
11.6 개수로의 정상등류
(1)Chezy 공식
등류상태일 때 각 단면에서 흐름 상태가 동일하게 유지된다.
등류에서는 자유수면, 수로바닥 및 에너지 경사선은 서로 평행하다.
자유수면의 경사는 수로바닥의 경사와 같다.
단면 1과 2 사이의 검사체적에 운동량 방정식을 적용하면
단면 1과 2 에서 압력이 서로 같으므로, 작용하는 마력은 마찰에 의한 저항력
중력의 흐름방향 성분
임.
과
11.6 개수로의 정상등류
흐름에 의한 마찰저항력과 중력의 흐름방향 성분이 평형을 이루고
있는 것을 의미함. (등류의 형성조건)
(Chezy 공식)
(Chezy 평균유속 계수)
Chezy의 C는 차원을 갖는 계수로서 단위계가 틀리면 그 값이 달라진다.
11.6 개수로의 정상등류
(2)Ganguillet-Kutter 공식
Ganguillet와 Kutter는 Chezy의 C 값을 많은 연구자들의 실험결과와 실제하천의
실측결과에 기초해서 다음과 같은 식을 제안하였다.
n은 Kutter의 조도계수, 벽면의 상태에 따라 결정됨.
(간략공식)
11.6 개수로의 정상등류
(3)Manning 공식
Manning은 1889년 평균유속 공식으로 다음 식을 제안하였다.
여기서 n은 Manning의 조도계수
Manning 공식의 n과 Chezy 공식의 C를 비교하면 다음과 같은 관계가 있다.
11.6 개수로의 정상등류
11.6.3 등류의 유량계산
등류수심이 yn이 주어지면 경험공식을 이용하여 평균유속을 구하고, 그 결과로 유량을 쉽게
구할수 있다.
등류수심 yn으로 흐를 때 유량을 구해보자.
(사다리꼴 단면)
 사다리꼴 단면의 유량은 다음과 같이 수심의 함수로 표시할 수 있다.
 삼각형이나 직사각형 단면수로와 같이 단순 수로 단면에 대해서도
동일한 방법으로 유량을 쉽게 구할 수 있다.
11.6 개수로의 정상등류
(1)원형단면
수리특성곡선
- 만수인 경우에 대해 임의
수 심 의 윤 변 P, 단 면 적 A,
동수반경, 유속, 유량 등을
도시해 놓은 곡선
- 임의 수심에 대응하는 유속이나
유량 등을 쉽게 구할 수 있음.
- 최대치는 만수위에서 보다
수심이 조금 작을 때 나타남.
11.6 개수로의 정상등류
예제 11.8 유량의 산정(표준형 수로)
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
(2)복합단면수로 : 윤변의 각 부분의 조도가 다른 경우
1)단면분할법
조도가 각기 다른 윤변을 구성하는 단면을 구분하여 각 단면에 대해서 유량을 구하는 방법
(전체유량)
11.6 개수로의 정상등류
2)등가조도를 이용하는 방법
복합단면수로는 윤변 각 부분마다 조도가 다르기 때문에 전체 단면에 대해 Manning
공식을 적용할 수 없다.
윤변 전체에 걸쳐서 조도를 동일하게 표시할 수만 있다면 전체유량을 구할 수 있음.
등가조도를 산정하는 방법은, Horton의 방법, Lotter의 방법 및 Pavolovskii의 방법이
있음.
 Horton의 방법
11.6 개수로의 정상등류
 Lotter의 방법
11.6 개수로의 정상등류
 Pavlovskii방법
Pavlovskii는 분할된 단면에서의 마찰저항력의 합이 흐름 전체단면에 작용하는 마찰
저항력과 동일하다고 가정하고 등가조도를 구하였다.
이 방법은 앞의 두 방법과는 달리 각 단면의 수로 경사는 서로 다르다고 가정하고 있다.
등가조도식을 사용하면 복합단면수로에 대한 유량을 Manning 공식의 형태로 구할 수
있음.
11.6 개수로의 정상등류
예제 11.9 유량산정(복합단면)
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
11.6.4 등류의 수심계산
유량이 주어지고, 등류수심 yn 을 구하는 문제는 유량을 구하는 경우와달린 복잡한
계산과정을 거쳐야 함.
등 류 수 심 을 구 한 다 는 것 은 유 량 식 (Manning
공식형태)를 만족하는 수심을 구하는 것임.
좌변의 Q, n 및 S0가 주어지면 등류를 유지하기 위한 단
하나의 수심인 등류수심 yn을 구할 수 있음.
11.6 개수로의 정상등류
직사각형 단면을 에로 들어 등류수심을 구하는 방법을 살펴보자.
이 경우 수로 폭 b인 수로에 등류수심 yn으로 물이 흐른다.
1. 주어진 Q, n 및 S0를 이용하여 좌변을 계산해 두고
2. 우변의 값이 좌변값과 일치하도록 yn을 결정함.
3. 특수한 경우를 제외하고는 해석적인 방법으로 쉽게 yn을 구할 수 없고,
시산법이나, 도식해법을 이용함.
4. 수로단면이 삼각형이거나 사다리꼴인 경우에도 동일한 방법으로 yn을
구한다.
11.6 개수로의 정상등류
예제 11.10 등류수심의 계산
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
11.6 개수로의 정상등류
11.7 최적수리단면
최적수리단면 : 주어진 유수단면적에서 통수능이 최대이거나, 유량이 최대로 되는 단면
단면적 A, 조도 n 및 수로경사 S0가 주어졌을 때, 유량이 최대가 되기 위해서는
1. 동수반경 Rh가 최대가 되거나, 2. 윤변(P)이 최소가 되어야 함.
11.7.1 직사각형 단면(A=by)
A=by를 대입하고 정리하면
직사각형 수로의 최적수리단면은
수심이 수로폭의 ½이 되는 경우임.
최 대 유 량 이 되 기 위 해 서 는 윤 변 이
최소가 되어야 함. dP/dy=0
11.7 최적수리단면
11.7.2 사다리꼴 단면 : 개수로에서 흔히 사용되는 단면
측 면 경 사 m 이 포 함 되 어 있 으 므 로 ,
사다리꼴에서는 y 뿐만 아니라 m도 변수임.
P가 최소이기 위해서는 다음과 같은 조건을
동시에 만족하여야 함.
측 면 경 사 가 임 의 의 값 으 로
고정된 경우, 최적수리단면이기
위한 저면폭 b와 수심y의 관계를
나타내는 식
11.7 최적수리단면
(이 단면이 정육각형의 크기의 ½인 것을 의미함.)
11.7 최적수리단면
11.7.3 삼각형 단면
항등적으로 성립되기 위해서는 분자가 0 이어야 함.
삼각단면의 중심각 θ가 90°인 것을 의미함.
11.7 최적수리단면
예제 11.111
11.7 최적수리단면