Transcript 제 7강 해석기하학과 삼각, Log함수, 복소수와 자연대수

제 7-8강
해석기하학과
복소수, 초월수,
수열의 극한
페르마 (Pierre de Fermat)
페르마(1601-1665) : 변호사, 지방의회의원,
수학은 취미. 데카르트의 적수
주어진 방정식으로부터 기하학적 도형을 구하려는 노력
페르마의 소정리
소수 p가 정수 n의 약수가 아니면,
n p 1  1은 p로 나누어진다.
예)
27 1  1  26  1  64  1  63  9  7
37 1  1  36  1  729  1  728  104  7
현재까지
230213771
까지 구해짐.
페르마의 대정리
n이 정수로서 n  2 일때, a n  b n  c n 을 만족하는
정수 a, b, c 는 존재하지 않는다.
“3제곱을 그보다 작은 두 수의 3제곱의 합으로 나눌 수 없고,
4제곱을 어떤 두 수의 각각의 4제곱으로 나눌 수 없으며, 일반적으로
2차를 넘는 제곱은 같은 제곱의 두 수로 나눌 수 없다. 나는 이것에
대한 놀라운 증명을 알고 있는데, 여기에 이 증명을 쓰기에는 여백이
너무 좁다”
19세기 쿠머(Kummer)가 n=3 이상 100까지 사실임을 증명.
1908년 볼프스켈(Wolfskehl)이 상금 10만 마르크 기탁.
1993년 영국출신 프린스턴대 교수인 앤드루 와일스(Andrew Wiles)가
3일간의 강의에서 증명. 약간의 오류를 수정하여 1994년에 완성.
데카르트 해석기하학의 응용
y
yx
x2  y 2  r 2
P
y  r 2  x2 , y  x
x
r 2  x2  x
r 2  x2  x2
2 x2  r 2
r
r
x , y
2
2
Q
교점은
  r , r 


2
2

삼각함수(Trigonometric Function)
y
  0, x  1, y  0
   2 , x  0, y  1
   , x  1, y  0
1

x
  3 2 , x  0, y  1
  2 , x  1, y  0
  5 2 , x  0, y  1
x  cos  , y  sin 
y sin 

 tan 
x cos 
좌표변환
( x, y )

직각좌표
(Cartesian coordinate)
( r , )
극좌표
(polar coordinate)
* 2차원 좌표상의 임의의 점 P는 (x,y)의 순서쌍이나,
혹은 (r, θ)의 순서쌍으로 완전히 기술될 수 있다.
x  r cos  ,
y  r sin 
r  x2  y 2 ,
y
tan  
x
복소수(Complex Number)
복소수 = 수 = 실수(real) + 허수(imaginary)
허수의 정의
x  1을 만족하는 x
2
i  1
복소수
i  1,
2
(i )  i  1
2
x  i,  i
a  bi
a, b 는 실수
i  i  1, 1  i
 i
i
ii
2
Log함수와 자연대수
log 1  0
log 2  0.693
log 3  1.098
log 4  1.386
log 5  1.609
log 6  1.791

log 4  log 2  log 2
log 6  log 2  log 3
log( ab)  log a  log b
자연대수 e
log x  1
이 되는 값 x 를 찾자!
log 2  0.692, log 3  1.098
 2 x3
x  e  2.718...
log x  y 
e x
y
자연로그의 표기법
log e x  y, or ln x  y
상용로그
log10 1  0,
log10 10  1,
log10 100  2,
log10 1000  3,...
log 1000  log(100  10)  3  2  1
 log 100  log 10...
log( ab)  log a  log b
log 10  log(1000 / 100)  1  3  2
 log 1000  log 100...
log( a / b)  log a  log b
복소수, 로그, 자연대수
복소수(complex number) = 실수(real) + 허수(imaginary)
i
1
x 2  1 을 만족시키는 수 : x   i
허수축
임의의 복소수
z  a  b i,
a, b 는 실수
P(a, b) : a  b i  z

P(a,b)
실수축
자연로그
상용로그
e  x  ln x  y
y  1  x  e  2.718...
x
10  y  log x  y
y
로그 스케일(scale)의 이용
사람의 키
은하의 크기
20  10 m
가까운 별
16  1016 m
종이두께
지구태양거리
12  10 m
바이러스
가시광선파장
20
12
지구둘레
8  108 m
에베레스트
4  104 m
사람의 키
0  10  1m
0
0  100  1m
 4  10 4 m
 8  108 m
원자크기
 12  1012 m
원자핵크기
 16  1016 m
log의 어원
logarithm = logos(이성) + arithmos(수)
‘ratio number’
자연로그 : J. Napier (1614)
상용로그 : H. Briggs (1624)
sin, cos, tan 의 어원
sin : 수학자 Gunter (1624)
라틴어 sinus = 커브, 움푹 들어간 곳
원래는 인도, 아라비아를 거쳐왔음.
cos : complementary sine
Newton (1658) cosinus
Euler (1729) cos
tan : tangens = 접촉, 접선
삼각함수
y
1

x






0
 /2

 3 / 2
 2
 5 / 2






cos   1, sin   0
cos   0, sin   1
cos   1, sin   0
cos   0, sin   1
cos   1, sin   0
cos   0, sin   1
그래프 그리기!!!
삼각함수의 여러 가지 성질
sin(  )  sin  : 기함수 (odd )
cos(  )  cos  : 우함수 (even )
tan(  )   tan  : 기함수 (odd )
sin  / 2     cos 
cos( / 2   )   sin 
sin( / 2   ) cos 
1
tan( / 2   ) 


  cot 
cos( / 2   )  sin 
tan 
sin(   )   sin  ,
cos(   )   cos  ,
tan(   )  tan 
삼각함수와 복소수
i
e  cos   i sin 
e
 i
 cos(  )  i sin(  )
 cos   i sin 
ei  e i  1  (cos   i sin  )  (cos   i sin  )
 cos 2   i (cos  sin   sin  cos  )  sin 2 
 cos   sin   1
2
2
OK!!!
i
e e
cos  
2
증명:
i
i
,
e e
sin  
2i
sin 2  2 sin  cos  ,
cos 2  cos 2   sin 2 
For small  , sin    ,
cos   1   2 / 2
i
수열과 극한(수렴과 발산)
1,
1 1 1
1
, ,
, ... , 2 , ...
4 9 16
n
n번째 항이 1/n2 인 무한수열
수열의 극한값 = 0
n 이 무한히 커짐에 따라 일반항은 영에 무한히 접근
1, 2, 3, 4, ... , n, ...

n번째 항이 n 인 무한수열
수열의 극한값 =
n 이 무한히 커짐에 따라 일반항은 계속 커져서 발산
수열의 합 : 수렴과 발산
 1
1 1 1
1
1     ...  2  ...   2
4 9 16
n
k 1 k
수렴? 발산?

1  2  3  4  ...  n  ...   k
발산
k 1
1,  1, 1,  1, ... , (?1)
1  1  1  1  1  ...  (1)
답은 0?, 1?, ½?
n 1
n 1
, ...

 ...   (1)
k 1
k 1
수학에서 퇴출대상!!
?
수열의 성립조건
1
2
3
n
 1  x  x  x  ...  x  ...
1 x
이 관계식은 항상 성립하는가?
1  x  1
인 경우에만 성립