Transcript 극대/극소의 1계 도함수 판정법

1. 미분법의 응용
(1) 곡선의 개형과 도함수
y  x  x 1
3
y
x
x2 1
도함수를 이용하여 어떻게 개형을 그릴 수 있을까?
2. 극대/극소
(1) 극대/극소의 정의
극대의 정의
함수 y  f(x) 에 대하여 c를 포함하는 개구간 (a, b)가 존재하여
f ( x)  f (c), x  (a, b)
가 성립할때,
함수 f는 x  c에서극대값 f (c)를 가진다고한다.
극소의 정의
Exercise!
(2) 극대/극소의 기본 성질
함수 f ( x)가 점c에서극대(또는 극소)이고 c에서미분가능하면
f (c)  0
극대의 경우
f (c  h )  f ( c )
이고
h 0
h
f (c  h )  f (c )

lim
0

 h 0
h
f (c) : 극대  
 lim f (c  h)  f (c)  0

h
 h 0
f (c  h )  f (c )
그런데 lim
h 0
h
f (c  h )  f (c )
 lim
h 0
h
f (c)  0
f (c)  lim




극소의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다.
3. 평균값의 정리
(1) Rolle의 정리
함수 f ( x)가 폐구간[a, b] 에서연속이고, 개구간(a, b) 에서미분가능하며,
f (a )  f (b) 이면
 f (c)  0인 c가 구간(a, b) 안에적어도하나 존재한다.
함수 f ( x)는 [ a, b] 에서연속이므로
최대값 M  f (c1 ), 최소값 m  f (c2 )을 갖는다.
M  m이면
f ( a )  M  m  f (b)
 f (c)  0,  c  ( a, b)
M  m이면
f ( a )  f (b)이고, f (c1 )  f (c2 )
 c1  ( a, b)이거나 c2  ( a, b)
극대/ 극소의기본 성질에의하여
c1  ( a, b)이면 f (c1 )  0
c2  ( a, b)이면 f (c2 )  0
(2) 평균값의 정리
함수 f ( x)가 폐구간[a, b] 에서 연속이고개구간(a, b) 에서 미분가능하면
f (b)  f (a )
 f (c)을 만족하는 c가 구간(a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
ba
함수 f ( x)의 양 끝점 ( a, f ( a )), (b, f (b))를 잇는 직선의 방정식은
f (b)  f ( a )
y
( x  a)  f (a)  ( * )
ba
곡선 f ( x)와 이 직선 ( * )의 차를 g(x)라 하면
f (b)  f ( a )
g ( x)  f ( x)  f (a) 
( x  a)
ba
g ( a )  0, g (b)  0이므로 Rolle의 정리에 의해
g (c)  0인 c가 (a, b)에 존재한다.
f (b)  f ( a )
g ( x)  f ( x) 
이므로
ba
f (b)  f ( a )
g (c)  f (c) 
0
ba
f (b)  f ( a )

 f (c)
ba
4. 증가/감소와 미분
(1) 함수의 증가/감소
증가함수의 정의
함수 f ( x)가 어떤 구간에서 연속이고, 미분가능할때
임의의 x1 , x 2에 대해
x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 )
f 는 증가함수
감소함수의 정의
Exercise!
(2) 증가/감소의 1계 도함수 판정법
함수 f ( x)가 개구간(a, b)에서 미분가능할때,
임의의 x  (a, b)에 대하여f ( x)  0  f 는 증가함수
구간(a, b)안의 임의의x 1 , x 2 ( x 1  x 2 )에 대하여,
평균값의 정리에 의해
f(x 2 )  f ( x 1 )
 f (c)인
x 2  x1
c가 ( x 1 , x 2 )에 존재한다.
가정에 의해 f (c)  0 이고 x1  x 2이므로
f(x 2 )  f ( x 1 )
f 가 감소함수가 되려면?
Exercise!
5. 극대/극소와 미분
(1) 극대/극소의 1계 도함수 판정법
f (c)  0일 때
x
…
c
…
f ' ( x)
+
0
-
f (x)
극대
x
…
c
…
f ' ( x)
-
0
+
f (x)
극소
6. 오목/볼록과 미분
(1) 오목/볼록의 2계 도함수 판정법
f : (a, b)에서연속이고여러번미분가능할때
1 f ( x)  0
f ( x)는 증가함수
f 의 그래프는 아래로 볼록
2
f ( x)  0
f ( x)는 감소함수
f 의 그래프는 위로 볼록
7. 여러가지 함수의 그래프
(1) 다항함수의 그래프
y  f ( x)  x 3  x  1
f ( x )  3x 2  1  x  
1
3
f ( x )  6 x  x  0
x
…
f ' ( x)
+
f ' ' ( x) f (x)

…
0
…
1
3
…
0
-
-
-
0
+
-
-
0
+
+
+
1
3
(2) 분수함수의 그래프
x
f ( x)  2
x 1
1 ( x 2  1)  x  (2 x)
 x2  1
f ( x) 

,
2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
f ( x)  0  x  1
 2 x  ( x 2  1) 2  (  x 2  1)  2  ( x 2  1)  (2 x) 2 x( x 2  3)
f ( x) 

( x 2  1) 4
( x 2  1) 3
f ( x)  0  x   3 , 0
…  3 … -1 …
0
…
1
…
3
…
-
-
-
0
+
+
+
0
-
-
-
f ' ' ( x) -
0
+
+
+
0
-
-
-
0
+
x
f ' ( x)
f (x)
단원의 정리
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극대/극소의 정의와 기본성질
Rolle의 정리 / 평균값의 정리
증가/감소의 1계 도함수 판정법
극대/극소의 1계 도함수 판정법
오목/볼록의 2계 도함수 판정법
여러가지 함수의 그래프