Transcript 적분-Part I II

선형대수학
부정적분과 정적분
적분의 응용
Prof. Jae Young Choi
선형대수학 (2015 Summer)
Prof. Jae Young Choi
Mathematics Maps for Biomedical Engineer or
Computer SW Engineer
미분 복습
3.2.1 도함수의 정의
※ 미분계수
x의 증분 : x가 a에서 b까지 변화한 크기, Dx = b – a
y의 증분 : x가 a에서 b까지 변함에 따라 y가 변한 크기, Dy = f(b) – f(a)
평균변화율 :
Dy f (b)  f ( a)

Dx
ba
, 그래프 위의 두 점 P(a, f(a)), Q(b, f(b))를 지나는
직선의 기울기
순간변화율 : b → a(Dx →0)일 때, 평균변화율의 극한을 나타내며, f ’(a)로 표시함.
Dy
f ( a  h )  f ( a)
f (b )  f ( a )
 lim
 lim
Dx 0 Dx
h 0
b a
h
ba
f '( a)  lim
평균변화율
순간변화율
4
• 좌측미분계수 : f ' ( a)  hlim
0 
f  a  h   f  a
h
• 우측미분계수 : f ' ( a)  lim f  a  h   f  a 

h 0 
h
'
'
[Note] y = f(x)가 x = a에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 f  ( a)  f  ( a)이다.
함수 f(x) = |x|에 대하여 x = 0에서 미분가능한지 조사하라.
h0 0
h
f (0  h )  f (0)
 lim
 lim
h 0
h 0
h 0 h
h
h
h
h
h
h
lim  lim
 1, lim  lim  1
h 0 h
h 0 h
h 0 h
h 0 h
lim
이 극한은 존재하지 않고 따라서 x = 0
에서 미분가능하지 않다.
5
[정리 3-8] (미분 가능성과 연속성)
y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 x = a에서 연속이다.
역은 성립하지 않는다.
도함수 : f(x)의 미분가능한 임의의 점 x에서의 미분계수
f '( x )  lim
f x  h  f x
h
h 0
y
T
Q1
Q
f '( x )  lim
zx
f  z  f  x 
zx
y
P
f(x)
또는
P
f(x)
y = f(x)
Q1
y = f(x)
Q
f  x  Dx 
0 x  Dx
x
(a) 좌측도함수
T
x
0
x
(b) 우측도함수
x  Dx
x
6
3.3.1 함수의 극대와 극소
•증가상태 : 충분히 작은 h > 0에 대하여, f(a - h) < f(a) < f(a + h) 일 때, 증가상태
• 감소상태 : 충분히 작은 h > 0에 대하여, f(a - h) > f(a) > f(a + h) 일 때, 감소상태
f ‘(a) < 0
f ‘(a) > 0
[정리 3-15] (함수의 증감 판정법)
함수 f(x)가 x = a에서 미분가능 할 때,
(1) f ‘(a) > 0이면 f(x)는 x = a에서 증가상태이다.
(2) f ‘(a) < 0이면 f(x)는 x = a에서 감소상태이다.
7
•극댓값 : 구간 I 안의 x ≠ a에 대하여 f(x) ≤ f(a)일 때, x = a에서 극대, 극댓값 f(a)
• 극솟값 : 구간 I 안의 x ≠ a에 대하여 f(x) ≥ f(a)일 때, x = a에서 극소, 극솟값 f(a)
y
극대
f ’(c) 극대
E
f ’(a)=0
E
극소
f ’(b)=0
0
a
f ’(d)
극소
b
c
d
x
[정리 3-15]
함수 f(x)가 x = a에서 극값을 가지면 f ‘(a) = 0이거나 f ‘(a)가 존재하지 않는다.
[Note] x = a를 임계점이라 한다.
8
[정리 3-16] (1계 도함수 극값 판정법)
함수 f(x)가 임계점 x = a를 포함하는 적당한 구간에서 미분 가능하고,
(1) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 +에서 –로 변하면, x = a에서 극댓값 f(a)
(2) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 -에서 +로 변하면, x = a에서 극솟값 f(a)
(3) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 변하지 않으면, 극값을 갖지 않는다.
f(x) = x3 - 2x + 1의 극값을 조사하라.
임계점 : f ‘(x) = 3x2 – 2 = 0; x  
x
…
f ‘(x)
+
 2 /3
0
…
2 /3
…
−
0
+
극대
f(x)
↗
4
1
6
9
2
3
극소
↘
1
4
6
9
↗
9
3.3.2 함수의 볼록성과 극대∙극소
• 아래로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 증가할 때, 이 구간에서 아래로 볼록
• 위로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 감소할 때, 이 구간에서 위로 볼록
• 변곡점 : y = f(x) 위에서 볼록성이 변하는 점
f ’(x)>0
f ’(x)<0
f ’(x)=0
a
f ’(x)=0
f ’(x)<0
f ’(x)>0
b
x
a
b
x
[정리 3-17] (볼록성판정법)
함수 f(x)가 어떤 구간 I에서 2계 도함수가 존재할 때, 이 구간에서
(1) f ‘’(x) > 0이면, 구간 I에서 아래로 볼록이다.
(2) f ‘’(x) < 0이면, 구간 I에서 위로 볼록이다.
(3) x = a에서 변곡점을 갖는다면, f ‘’(a) = 0이거나 f ‘’(a)가 존재하지 않는다.
10
[정리 3-18] (2계 도함수 극값 판정법)
함수 f(x)에 대하여 f ‘(a) = 0이고, a를 포함하는 적당한 개구간에서 f ‘’(x)가
존재할 때,
(1) f ‘’(a) > 0이면, 극솟값 f(a)를 갖는다.
(2) f ‘’(a) < 0이면, 극댓값 f(a)를 갖는다.
3.4.1 평균값 정리
[정리 3-19] (Rolle의 정리)
함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자.
(1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속
(2) f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능
(3) f(a) = f(b)
그러면 f ‘(c) = 0을 만족하는 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
[정리 3-20] (평균값 정리)
함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자.
(1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속
(2) f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능
그러면
f (b )  f ( a)
 f '(c ) 를
ba
만족하는 c가
개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
12
3.4.2 근삿값
평균값 정리로부터 f(b) = f(a) + f ‘(c)(b - a), a < c < b
q b-a) = c- a
이제 b = a + h, q = (c - a)/(b - a)라 하면, 0 < q < 1, c = a + q h이고
f(a + h) = f(a) +h f ‘(a + q h)
h ≈ 0이면 a + q h ≈ a이므로
f(a + h) ≈ f(a) +h f ‘(a)
[정리 3-22] (근사식)- x ≈ 0일때 다음 근사식이 성립
(1) (1+x)n ≈ 1+ nx
(2) sin x ≈ x f(a+h) = sin(0+x), a=0, h=x
(3) cos x ≈ 1
(4) tan-1 x ≈ x
(5) ln(1+x) ≈ x
(6) ex ≈ 1+x
13
소수점 이하 네 자리에서
3
f (x)  3 x라 하면 f '( x ) 
3
26.5 의
1
3 3 x2
근삿값을 구하라.
이고, a = 27, h = -0.5라 하면
26.5  f  27  ( 0.5)   f (27)  ( 0.5) f '(27)
 3 27  0.5 
 3
1
3 3 27 2
 3 33  0.5 
1
3 3 93
0.5
 2.9815
27
14
4.1.1 부정적분
※ 원시함수와 부정적분
연속함수 f(x)의 정의역 D에서 어떤 함수 F(x)를 미분하여 f(x)가 될 때, 즉
F ' x  f  x  , x  D
일 때, F(x)를 f(x)의 원시함수(primitive function)라 하고, 다음과 같이 나타낸다.
F  x    f  x  dx
예를 들어,
F(x) = x2 ⇒ F’(x) = f(x)= 2x ⇒ F(x) = x2은 f(x)= 2x의 원시함수
F(x) = x2 + 1 ⇒ F’(x) = f(x)= 2x ⇒ F(x) = x2 + 1은 f(x)= 2x의 원시함수
F(x) = x2 + C ⇒ F’(x) = f(x)= 2x ⇒ F(x) = x2 + C 는 f(x)= 2x의 원시함수
2
2
xdx

x
,

2
2
xdx

x
 1,

2
2
xdx

x
C

15
• f(x)의 원시함수는 무수히 많으며,
• 원시함수들은 단지 상수 차이
F( x )   f  x  dx
G( x )   f  x  dx  F( x )  C

다음과 같이 일반적인 형태로 나타낸 원시함수를 부정적분(indefinite integral)이
 f  x  dx  F(x )  C
라 한다.
적분기호
적분상수
원시함수
피적분함수
적분변수
[Note] 부정적분과 도함수는 서로 역연산 관계가 있다.
F  x    f  x  dx  F '  x   f  x 


d
f  x  dx  f ( x )

dx
 d

f
x


 dx  f ( x )  C
  dx

16
다음 부정적분을 구하여라.
(1)
2
3
x
 dx
(2)
 d

2
2
x

x



 dx
  dx

(3)
d
dx
   2x
2
 x  dx

(1) F(x) = x3이라 하면 F’(x) = 3x2이므로  3x 2 dx  x 3  C
(2) 적분은 미분의 역연산이므로
 d

2
2
2
x

x
dx

2
x
 x C




  dx

(3) 적분은 미분의 역연산이므로
d
dx
   2x
2

 x  dx  2 x 2  x
17
4.1.2 기본 적분법
※ 부정적분의 선형적 성질
F( x )   f  x  dx , G( x )   g  x  dx
d
 F  x    G  x     f ( x )   g( x )
dx 
   f  x    g  x   dx   F( x )   G( x )    f  x  dx    g  x  dx
[실수 지수를 갖는 함수의 도함수와 부정적분]
도함수
d  1  1 
x   x

dx    1

  1
부정적분

 x dx 
1  1
x C
 1
  1
[지수함수와 로그함수의 도함수와 부정적분]
도함수
(1)
(2)
(3)
d x
a  a x ln a  a  0, a  1 
dx
d x
e  ex
dx
d
1
ln x   x 1
dx
x
부정적분
x
 a dx 
1 x
a C
ln a
 a  0, a  1
x
x
e
dx

e
C

1
1
dx

x
x
 dx  ln x  C
18
다음 부정적분을 구하라.
(1)
  2x
2
3
1
(2)   x   dx
x

 x  2  dx
1
3
1
2
(1)   2 x 2  x  2  dx  2  x 2 dx   xdx  2  1dx  2  x 3  x 2  2  x  C

2 3 1 2
x  x  2x  C
3
2
3
1
3 1
(2)   x   dx    x 3  3x   3  dx    x 3  3x  3x 1  x 3  dx
x
x x 


1
1 
 1

 x 4  3   x 2   3  ln x    x 2   C
4
2 
 2

1
3
1
 x 4  x 2  2  3 ln x  C
4
2
2x
19
[삼각함수의 도함수와 부정적분]
도함수
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
d
sin x  cos x
dx
d
cos x   sin x
dx
d
tan x  sec 2 x
dx
d
cosecx  cosecx cot x
dx
d
sec x  sec x tan x
dx
d
cot x  cosec2 x
dx
부정적분
 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
2
sec
 xdx  tan x  C
 cosecx cot xdx  cosecx  C
 sec x tan xdx  sec x  C
2
cosec
xdx   cot x  C

20
[역삼각함수의 도함수와 부정적분]
도함수
(1)
(2)
d
1
sin 1 x 
dx
1  x2
d
1
cos 1 x  
dx
1  x2
부정적분


1
1  x2
1
1  x2
dx  sin 1 x  C
dx   cos 1 x  C
1
1
dx

tan
x C
 1  x2
(3)
d
1
tan 1 x 
dx
1  x2
(4)
d
cosec 1 x  
dx
x
(5)
d
1
sec 1 x 
dx
x x2  1
x
(6)
d
1
cot 1 x  
dx
1  x2
1
1
 1  x 2 dx   cot x  C
1
x2  1
x
1
x2  1
1
x2  1
dx  cosec 1 x  C
dx  sec 1 x  C
21
4.2.1 정적분
폐구간 [0, 1]에서 f(x)=x2과 x=0, x=1, x축 으로 둘러싸인 부분의 넓이 : I
[0, 1]을 0  x0  x1  x2  x3   xn1  xn  1 와 같이 n등분하여 각 부분구간의 오른쪽
끝점에서 함숫값을 높이로 하는 사각형의 넓이를 생각한다.
22
1
S2   f
2
S4 
1 1
   f
2 2
2
2
5
2 1 1 1 2
        
8
2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 3 1 4
 f    f    f    f  
4 4 4 4 4 4 4 4
2
2
2
2
1 1 1 2 1 3 1 4
15
            
4 4 4 4 4 4 4 4
32
Sn 
1 1 1 2 1 3
 f    f    f  
n n n n n n
2
2
2
1 n
 f 
n n
1  1 1 2 1 3 1 n
           
n n n n n n n n
2
2
1 n k
1 n
1 n(n  1)(2 n  1) n(n  1)(2 n  1)
      3   k2  3 

n k 1  n 
n k 1
n
6
6n 3
n(n  1)(2n  1) 1

n
6n 3
3
lim Sn  lim
n 
23
같은 방법으로,
[0, 1]을 n등분하여 각 부분구간의 왼쪽 끝점에서 함숫값을 높이로 하는 사각형
의 넓이를 생각한다.
sn 
1 1 1 2 1 3
 f    f    f  
n n n n n n
2
2
1  n1
 f

n  n 
2
1  1  1  2  1  3  1  n1
          

n n n n n n n  n 
2
2
1 n1  k 
1 n1 2 1 (n  1)n(2n  1) (n  1)n(2 n  1)
    3  k  3 

n k 1  n  n k 1
n
6
6n 3
(n  1)n(2 n  1) 1

n 
6n 3
3
lim sn  lim
n 
lim Sn  lim sn 
n 
n 
1
3
폐구간 [0, 1]에서 f(x)=x2과 x=0, x=1 , x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 :
I
1
3
24
폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)가 음이 아니라 할 때, [a, b]를 n등분하여 부분
구간 [xk, xk+1]안의 임의의 점
x k 의
f  x k  를
함숫값
생각한다. 이때 부분구간의 길이는
Dx 
ba
n
높이로 하는 사각형의 넓이를
이다.
n
lim S  lim  f  x k  Dx
n 

n
n 
k 1
이 극한이 존재할 때, 이 극한을 폐구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분(definite
integral)이라 하고

b
a
n
f ( x )dx  lim  f  x k  Dx
n 
k 1
으로 나타낸다. 그리고 이 경우에 f(x)는 폐구간 [a, b]에서 적분가능(integrable)
이라 한다.
a: 적분하한(lower limit of integration)
b: 적분상한(upper limit of integration)
25
b > 0일 때, 정적분의 정의에 의하여
[0, b]를
0  x0  x1  x2  x3 
쪽 끝점으로 택한다. 즉,

b
0
0
xdx 를 구하라.
 xn1  xn  b 와
xk  xk 를
이고 함수 f(x)=x에 대하여

b
xk 
k 1
y
n
n 
Dx 
b
n
f(x)=x
k 1
b2
 kb  b
 lim      lim 2
n 
n n
k 1  n  n
n
를 오른
이다.
xdx  lim  f  xk  Dx  lim  f  x k  Dx
n 
x k
생각한다. 그러면 각 부분구간의 길이는
kb
n
n
같이 n등분하여 부분구간의
n
k
k 1
n(n  1) b 2
b 2 n(n  1)
2
 lim 2 
 b lim

2
n  n
n

2
2n
2
 kb  kb
f  
n n
0
xk 1 x k
b
x
 kb / n
26
4.2.2 정적분의 성질
[정리 4-1] (연속함수의 적분 가능성)
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면, 이 함수는 폐구간 [a, b]에서 적분가능하
다. 즉,
b
 f  x  dx 가 존재한다.
a
[정리 4-2] (정적분의 기본성질)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

a
b
b
f  x  dx   f  x  dx ( a  b)
a
a
 f  x  dx  0
a

b

b
a
a
kdx  k  b  a 
b
b
 f  x    g  x  dx    f  x  dx    g  x  dx
a
a
b
c
b
a
a
c
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
(a  c  b)
27
[정리 4-3] (정적분의 대소관계)
(1) [a, b]에서 f(x) ≥ 0이면
b
 f  x  dx  0
a
(2) [a, b]에서 f(x) ≥ g(x)이면

a
(3) [a, b]에서 m≤ f(x) ≤ M이면
(4)

b
a
b
b
f  x  dx   g  x  dx
a
b
m  b  a    f  x  dx  M  b  a 
a
b
f  x  dx   f  x  dx
a
28
b
b
a
a
 f  x  dx   f  x  dx
Widely very important
[정리 4-4] (우함수와 기함수의 정적분)
a > 0, [−a, a]에서
(1) f(x)가 우함수이면
(2) f(x)가 기함수이면
a
b
a
0
 f  x  dx  2 f  x  dx
a
 f  x  dx  0
a
29
1
2
x
dx

을 이용하여 정적분
0
3
  2x
1
1
  2x
1
1
3
 3x 2  2 x  1  dx  
1
1
1
 2x
3
3
 3x 2  2x  1 dx 를 구하라.
 2 x  dx  
1
1
 3x
2
 1  dx
 0  2   3x 2  1  dx
1
0
1


 2  3   1   1  0    0
3


30
4.2.3 미분적분학의 기본정리
폐구간 [a, b]에서 함수 f(x)가 연속이고 f(x) > 0이라 하자. a ≤ x ≤ b에서 G(x)를 다음
과 같이 정의하면, G(x)는 폐구간 [a, b]에서 함수 f(x) 아랫부분의 넓이이다. [그림(a)]
x
G(x)   f (t )dt
a
x Dx
G(x)의 증분 : DG  G(x  Dx)  G(x)  
x
Δx ≈ 0 ⇒ ΔG ≈ f(x)Δx
f (t )dt
또는
[그림(b)]
DG G( x  Dx )  G( x )

 f (x)
Dx
Dx
G( x  Dx )  G( x )  d x


f
(
t
)
dt

  f (x)

Dx 0
Dx
 dx a

y
G '( x )  lim
y
f(x)
y = f(x)
x
x
G(x)   f (t )dt
G(x)   f (t )dt
a
a
x
a
(a)
y = f(x)
b
x
a
x x+Δx
(b)
b
x
31
G '( x ) 
d x
f (t )dt  f ( x )
dx a
G(x)는 함수 f(x)의 원시함수
F(x)를 f(x)의 또 다른 원시함수라 하면,
G(x) = F(x) + C
a
G( a)   f (t )dt  0
a
G(a) = F(a) + C = 0 ;
C = − f(a)
b
G(b)   f (t )dt  F(b)  F( a)
a
[정리 4-5] (미분적분학의 기본정리)
F(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 다음이 성립한다.
x
(1) a ≤ x ≤ b에서 G(x)  a f (t )dt 는 연속이고 미분가능하다. 즉,
(2) F(x)가 [a, b]에서 f(x)의 원시함수이면

b
a
d x
f (t )dt  f ( x )
dx a
f (t )dt  F(b)  F( a)
32
x
0 ≤ x ≤ p에 대하여 G(x)  0 sin tdt 라 할 때,
(1) G’(x)
(2)
(1) G '( x ) 

p
0
sin xdx
d x
sin tdt  sin x

0
dx
(2) 함수 sin x의 원시함수를 F(x)라 하면
F( x )   sin xdx   cos x

p
0
cos x를 미분하면  -sin x
따라서 sin x의 원시함수는 -cos x
p
p
sin xdx  F( x ) 0   cos x 0
  cos p    cos 0     1    1   2
33
4.2.1 치환적분
34
4.2.1 치환적분
35
4.2.1 치환적분
36
4.2.1 치환적분
37
치환적분 보충자료
38
4.2.2 부분적분법
다항함수와 초월함수의 곱, 초월함수와 초월함수의 곱에 대한 부정적분을 구
할 때 주로 사용하는 방법
d
 f (x )  g(x )  f '(x )g(x )  f (x )g '(x )
dx

  f '(x )g(x )  f (x )g '(x ) dx  f (x )  g( x)

 f (x)g '(x)dx  f (x )  g(x )   f '(x )g(x )dx
부분적분법
39
다음 부정적분을 구하여라.
(1)
 xe
2x
(2)  ( x 2  x  1)sin xdx
dx
(1) u  x , v '  e 2 x  u '  1, v 
1 2x
e
2
1 2x
1 2x 1 2x
1
 1 2x 
2x
xe
dx

x

e

e
dx

xe

e

C

 2x  1 e2 x  C

 

2
2
4
4
2

(2) u  x 2  x  1, v '  sin x  u '  2 x  1, v   cos x
 x
2
 x  1  sin xdx   x 2  x  1     cos x     2 x  1   cos x  dx
   x 2  x  1  cos x    2 x  1  cos xdx
u  2x  1, v '  cos x  u '  2, v  sin x
  2x  1 cos xdx   2x  1  sin x   2 sin xdx   2x  1  sin x  2   cos x 
  2 x  1  sin x  2 cos x
 x
2
 x  1  sin xdx    x 2  x  1  cos x   2 x  1  sin x  2 cos x
  1  x  x 2  cos x   2 x  1  sin x  C
40
4.3.1 이상적분
지금까지 살펴본 정적분의 전제조건 :
함수 f(x)가 유한 폐구간 [a, b]에서 연속이다.
(A) 함수 f(x)가 무한인 적분구간에서 연속인 경우
(B) 함수 f(x)가 유한 폐구간 [a, b]에서 불연속점을 갖는 경우
또는 유한 개구간 (a, b)에서 연속인 경우
이와 같은 유형의 정적분을 이상적분(improper integral)이라 한다.
41
(A) 적분구간이 무한인 경우
(1) 무한구간 [a, ∞)에서의 이상적분
함수 f(x)가 무한구간 [a, ∞)에서 연속일 때, 임의의 실수 b에 대하여
b
lim  f ( x )dx 가 존재하면 무한구간 [a, ∞)에서 이상적분을 다음과
b  a
같이 정의하고, 이 이상적분은 수렴한다(convergent)고 한다.


a
b
f ( x )dx  lim  f ( x )dx
b 
a
(2) 무한구간 (-∞ , a]에서의 이상적분
함수 f(x)가 무한구간 (- ∞ , a]에서 연속일 때, 임의의 실수 b에 대하여
a
lim f ( x )dx 가 존재하면 무한구간 (- ∞ , a]에서 이상적분을 다음과
b  b
같이 정의하고, 이 이상적분은 수렴한다고 한다.

a

a
f ( x )dx  lim  f ( x)dx
b  b
42
(3) 무한구간 (- ∞, ∞)에서의 이상적분
함수 f(x)가 무한구간 (- ∞, ∞)에서 연속일 때, 임의의 실수 b에 대하여

a

f (x)dx 와


a
f (x)dx 가 존재하면 무한구간 (- ∞, ∞)에서 이상적분을
다음과 같이 정의하고, 이 이상적분은 수렴한다고 한다.



a


a
f (x)dx   f (x)dx   f ( x)dx
수렴하지 않는 이상적분을 발산한다(divergent)고 한다.
[Note]
(1) 모든 실수 x에 대하여 f(x) ≥ 0이고



f (x )dx  1 을 만족할 때, 함수 f(x)를
확률밀도함수(probability density function)라 한다.
43
다음 적분을 구하여라.
(1)


0
(1)
x
(2)
e dx


0
1
 1  x 2 dx

e dx  lim  e dx  lim   e
a
x
a 
x
a 
0
x

a
0
 lim   e  a  1  1
a 
0

1
1
1
p p
dx

dx

dx

 p
 1  x 2
0 1  x 2
 1  x 2
2 2
(2) 

0
0
1
1
 p p
1
1
dx

lim
dx

lim
tan
x


lim
tan
a


  
 1  x 2
a
a  a 1  x 2
a 
a 
 2 2

a
a
1
1
p
1
1
dx

lim
dx

lim
tan
x

lim
tan
a

0 1  x 2
0
a  0 1  x 2
a 
a 
2
0
y
y
1
f (x) 
y = e-x
0
a
x
a
0
b
1
1  x2
x
44
[Note]


0



1
 1  x 2 dx  p

,x  0
0
f (x)   x
e
e x dx  1
확률밀도함수 : 지수분포
,x  0
0

0


0

0
f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   0dx   e x dx  1
1
 p  1  x 2  dx  1

f (x) 
1
,    x   확률밀도함수 : 코시분포
p 1  x2 
45
4.4.1 넓이
[유형 1] 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 y = f(x)와 x = a, x = b, x축으로 둘러싸인 부
분의 넓이 S
(A) y = f(x) ≥ 0인 경우
b
S   f (x )dx
a
(B) y = f(x) ≤ 0인 경우
S     f (x) dx
b
a
폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 y = f(x)와 x = a, x = b, x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 :
b
S   f (x ) dx
a
46
함수 y = x3과 x = -1, x = 1, x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하라.
- 1 ≤ x ≤ 0에서 f(x) ≤ 0이고, 0 ≤ x ≤ 1에서 f(x) ≥ 0
S
1
f ( x ) dx  
1
0
1
0
1
1
0
1
  f (x ) dx   f (x )dx
0
   x 3 dx   x 3 dx
 1
   x4
 4

 1 4
   x
1 
4
0
 1 1 1
   
4 4 2
0
1
47
[유형 2] 폐구간 [a, b]에서 연속이고 f(x) ≥ g(x)인 두 함수 y = f(x), y=g(x)와 x = a,
x = b, x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 S
b
b
a
a
S1   f (x)dx , S2   g(x)dx
S  S1  S2
b
b
a
a
S1
  f ( x )dx     g( x )  dx

b
a
 f ( x )  g( x ) dx
S2
[유형 3] 폐구간 [a, b]에서 연속이고 a < c < b인 점 c에서 두 함수가 교차하는 경우,
두 함수 y = f(x), y=g(x)와 x = a, x = b, x축으로
둘러싸인 부분의 넓이 S
b
 f (x)  g(x) dx ,
a
S1  
b
S2    g(x)  f (x) dx
S1
S2
a
S  S1  S2

c
a
b
 f ( x )  g( x ) dx    g( x )  f (x ) dx
c
b
  f ( x )  g( x ) dx
a
48
다음 주어진 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하라.
(1) f(x) = 1 – x2 , g(x) = x – 1, x = – 1, x = 1
(2) f(x) = x2 – 2, g(x) = x
f ( x )  g( x )  dx    1  x 2    x  1   dx

1
1
(1) S 

1
1
1
1
   2  x  x 2  dx  2 x  x 2  x 3
1
2
3
1
1

1
10
3
(2) 교점의 x좌표 :
x2 – 2 = x ; x2 – x – 2 = 0 ; (x – 2)(x + 1) = 0 ; x = – 1, 2
S
2
1
f ( x )  g( x ) dx    x   x 2  2   dx
1
2
1
1
   2  x  x 2  dx  2 x  x 2  x 3
1
2
3
2

2
1
10  7  9
  
3  6 2
49
[유형 4] 폐구간 [c, d]에서 연속인 두 곡선 x = f(y), x=g(y)와 y = c, y = d, y축으로
둘러싸인 부분의 넓이 S
d
S   f ( y ) dy
c
S
d
c
 f (y)  g(y ) dy
d
S   f ( y )  g( y ) dy
c
50
0 ≤ x ≤ 4에서 두 함수 y  x 와 y = x – 2, x축으로 둘러싸인 부분을 x = y2, x=y + 2,
y = 0으로 변형하여 둘러싸인 부분으로 변형하여 넓이를 구하라.
교점의 y좌표 : y2 = y + 2 ; (y - 2)(y + 1) = 0 ; y = - 1, y = 2
2
1
1
8 10
S    y  2  y  dy  y 2  2 y  y 3  2  4  
0
2
3 0
3 3
2
2
51
4.4.2 부피
[유형 1] 절단면을 이용한 입체의 부피
폐구간 [a, b]를 n등분하여 소구간의 길이를 Δx라 하고, xk-1 ≤ x ≤ xk인 임의의 x
에서 입체의 절단면의 넓이를 A(x)라 하자. 소구간에서 절단된 입체의 부피
ΔVk = A(x) Δx
n
d
V  lim  DVk   A( x )dx
n 
k 1
c
52
밑면의 반지름의 길이가 a이고 높이가 h인 원뿔의 부피를 구하라.
원뿔의 꼭짓점을 원점으로 놓고 중심선을 x축에 일치시키면 아래 그림과
같다.
0 < x < h인 임의의 x에서 x축에 수직인 절단면은 원이고, 절단면의 반지름
b에 대하여 비레식 x : h = b : a가 성립한다.
2
2
 ax  p a 2
절단면의 넓이 : A( x )  p b  p    2 x
h
 h 
2
h
h
0
0
V   A( x )dx  
 p a2 h
x dx  2  x  
2
h
h  3 0 
3
p a2
2
p a2  1
h
3
53
[유형 2] 폐구간 [a, b]에서 연속함수 y = f(x)를 x축을 중심으로 회전한 회전체의
부피
폐구간 [a, b]를 n등분하여 소구간의 길이를 Δx라 하고, xk-1 ≤ x ≤ xk인 임의의 x
에서 f(x)를 반지름으로 갖는 회전체를 생각하자. 이 절단된 회전체는 밑면의
반지름이 f(x)이고 높이가 Δx인 원기둥이므로 밑면의 넓이를 A(x)라 하면, 소
구간에서 절단된 입체의 부피
ΔVk = p [f(x)]2 Δx
n
n
n
V  lim  DVk  lim  p  f ( x ) Dx  p lim   f ( x ) Dx
n 
n
k 1
k 1
2
n
2
k 1
 p   f ( x ) dx
b
2
a
A( x )  p  f ( x )
2
54
[유형 3] 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 부분을 x축을 중심으로 회전한
회전체의 부피
폐구간 [a, b]에서 f(x) ≥ g(x)인 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 부분을 x축
을 중심으로 회전한 회전체의 부피는
f(x)를 회전한 회전체의 부피에서 g(x)를 회전한 회전체의 부피를 뺀 것과 동일
V  p   f ( x ) dx  p   g( x ) dx
b
a
p
b
a
b
2
2
a
 f (x)   g(x)  dx
2
2
55
[유형 4] y축을 중심으로 회전한 회전체의 부피
폐구간 [c, d]를 n등분하여 소구간의 길이를 Δy라 하고, yk-1 ≤ y ≤ yk인 임의의 y
에서 연속인 곡선 f(y)를 반지름으로 갖는 회전체를 생각하자. 이 절단된 회전
체는 밑면의 반지름이 f(y)이고 높이가 Δy인 원기둥이므로 밑면의 넓이를 A(y)
라 하면, 소구간에서 절단된 입체의 부피
ΔVk = p [f(y)]2 Δy
n
n
n
V  lim  DVk  lim  p  f ( y ) Dy  p lim   f ( y ) Dy
n 
n 
k 1
 f ( y )
c
p
d
2
k 1
2
n 
2
k 1
dy
56
[유형 5] 두 곡선 x=f(y)와 x=g(y)로 둘러싸인 부분을 y축을 중심으로 회전한
회전체의 부피
폐구간 [c, d]에서 f(y) ≥ g(y)인 두 곡선 x=f(y)와 x=g(y)로 둘러싸인 부분을 y축
을 중심으로 회전한 회전체의 부피는
f(y)를 회전한 회전체의 부피에서 g(y)를 회전한 회전체의 부피를 뺀 것과 동일
V p
d
 f (y )
c
dy  p   g ( y ) dy
p
d
2
c
2
d
2
c
 f (y)   g(y)  dy
2
57