Transcript 유클리드 기하
◇ 유클리드 기하 → 수학교육학개론_기하와 증명 Part-2 물리교육과 _주재은(06) ▷ 발표 개요 Euclid 기하 소개 Euclid 기하에서 쓰인 증명 방법 학교 교과서에서의 Euclid 기하 Euclid 원론의 교수학적 변환 시작하기 전에.. 학교기하의 접근법에는.. 삼각형의 합동조건에 바탕을 둔 가장 기본이야.. Euclid식 접근 변환군에 바탕을 둔 Klein식의 접근 벡터에 의한 선형대수적 접근 ▷ 유클리드 기하란? _Euclid 기하의 탄생: Euclid가 Thales와 Pythagoras를 거쳐 축적된 수학 지식 을 기원전 300년경 체계적으로 집대성하여 13권으로 이루어진 <원론(Elements)>를 저술 ( Stoicheia, 기하학 원본) ▷ 유클리드 기하란? _Euclid 기하의 특징: 직관적으로 자명한 진리를 공리와 공준(학문적인 내용)으로 상정하여 정의 공리, 공준으로 명제들을 체계적으로 연역적으로 이끌어내었다. 플라톤의 이데아론에 따른다. – 공리: 일반적인 수준에서 증명없이 바르다고 하는 명제 – 공준: 해당 학문적인 내용을 지닌 공리 같은 명제 – 정의: 기호에 대하여 그 수학적 의미를 규정한 것 – 정리: 수학적으로 참인 명제 _190p 참조: 유클리드 기하의 정의, 공준, 공리 간단히 소개 ▷ 유클리드 기하란? 공준 5. (평행선 공리) 한 직선이 두직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보 다 작으면 이 두직선은 무한히 연 장될 때 그쪽에서 만난다. ※참조_ 위와 동치 플레이 페어의 공리: 직선밖의 한점을 지나고 그 직선에 평행한 직선은 단하나 존재한다. 삼각형 공리: 삼각형의 세 내각의 합은 180도 이다. ▷ 유클리드 기하에서 쓰인 증명방법들? 1. 공리적 방법 인간이 직관적으로 자명하게 참으로 인정하는 사실을 공리와 공준으 로 상정한 다음 그것으로부터 다른 모든 수학적 명제를 이끌어내는 방법 ex) 삼각형의 내각의 합은 180도 ▷ 유클리드 기하에서 쓰인 증명방법들? 2. 귀납적 추론과 연역적 추론 _귀납적 추론: 실험, 측정, 관찰, 구체적 조작등을 통해 몇가지 사례에 대해 어떤 명제가 참임을 보인 다음에 이 사례가 전체범주의 대상에 대해 참임을 주장하는 것 _연역적 추론: 정의, 공리, 공준, 이미 참이라고 알려진 성질을 이용하여 새로운 참인 명제 를 이끌어내는 것 ※수학에서 일반적인 증명은 ‘연역적 추론을 통해 어떤 명제가 참임을 밝히는 것으로 규정. 하지만 거의 대부분의 수학적 발견은 귀납적 추론으로 발견하고 연역적 추론으로 체계화시킨다. ▷ 유클리드 기하에서 쓰인 증명방법들? 3. 종합적인 방법과 분석적인 방법 가정 _종합적인 방식: 공준이나 공리, 정의에 근거해서 가정으로부터 종합적결론을 방식 이끌어내는 분석적 방식 선형적인 방식 증명의 외형적인 모습. 수학적 사고의 결과만을 세련된 형식으로 제시하면서 고상하고 우아한 표현방식을 보여줄뿐 _분석적 방식: 결론 결론에서 시작해서 그 결론이 참이기 위해 성립되어야 할 선행 조건들을 거 슬러 올라가면서 가정과 연결시키는 사고 방식 cf) pappus의 분석법 ▷ 학교수학에서의 유클리드 기하 _학교에서는.. 초등학교때 직관적인 수준에서 기하를 다룸 중학교 에서 평면논증기하 다룸 고등학교 2학년 수2에서 공간기하 다룸 (그리고 해석기하, 변환기하등을 이해할 발판을 만든다. ) _수학을 하는 것은 추론하는 것이요, 수학에 의미를 주고 수학하는 힘의 근원 이 되는 것은 추론 능력이며 수학교육의 주요 목적의 하나는 강력한 정당화의 논리인 연역적 추론 능력을 개발하는 것이다. (학교수학의 교육적 기초 315p) -> 공리 연역적으로 전개된 Euclid <원론>은 추론 능력의 개발에 가장 고전 적이면서도 중심적인 역할을 해왔음 ▷ 학교수학에서의 유클리드 기하 _Euclid <원론>의 교육적 가치에 대한 문제제기 매우 형식적이고 엄밀하므로 그대로 지도하는 것은 문제가 있다. 수학자들도 귀납적, 유비 추론으로 발견하고 연역적 추론으로 체계화 하는 과정을 한다. 원론에는 발견과정은 나와있지 않다. -> 따라서 학생들에겐 원론에 완벽한 모습 그대로 지도하는 것 보다는 그 내 용들이 발견하게 된 맥락과 배경을 충분히 드러내 인지수준에 적절히 변환 해야 한다. ▷ 유클리드 원론의 교수학적 변환 _교수학적 변환의 정의 학교 수학 : 일반학생들을 대상으로 한 수학 학문 수학 : 전문 수학자들이 연구하는 학문 분야 →교수학적 변환이란 학문 수학을 가르치고 배우기 위한 목적에서 학교 수학으로 변환 하는 것 (교육과정 개발자, 교과서 저자, 교사 들의 다양한 주체에 의해 ) ▷ 유클리드 원론의 교수학적 변환 _Euclid 원론에서 교수학적 변환 사례 △ 점, 직선, 평면의 정의 - 유클리드는 점, 직선, 평면을 이데아로 -중학교 수학에서는 그림 4.4과 같이 정의 ▷ 유클리드 원론의 교수학적 변환 _Euclid 원론에서 교수학적 변환 사례 △ 평행인 두직선에서 동위각의 크기가 같다. - 유클리드는 평행인 두직선에서 동위각의 크기가 같음 을 제 5공준(평행선 공준)을 사용하여 증명 - 중학교 수학 에서는 구체물-삼각자을 이용하여 설명 ▷ 유클리드 원론의 교수학적 변환 _Euclid 원론에서 교수학적 변환 사례 △ 정리하면.. (연역적 추론에 있어서) - 유클리드 원론에서는 정의, 공리, 공준을 기본 전제로 한뒤 다른 모든 명제 연역 - 중학교 교과서에서는 정의, 공리, 공준으로 제시된 내용 을 학생들의 직관이나 수학적 상식에 의존하여 자연스럽 게 도입 ▷ 유클리드 원론의 교수학적 변환 _국소적 조직화와 전반적 조직화 국소적 조직화: 중학교에서와 같이 학생들의 수학적 상식에서 출발해서 적은 범위의 수학내용을 조직화 하는 것 => 학교수학에서 쓰고 있는 것 전반적 조직화: Euclid<원론> 과 같이 기본이 되는 전제로서 정의, 공리, 공준을 설정한 다음 그것으로 전체 수학 내용을 모두 조직화 하는 방식 => 학문수학에서 쓰고 있는것 _시사하는바 해당학년 학생이 이해할 수 있을 수준에서 유클리드 기하 를 교수학적으로 잘 활용하여 학생들이 연역적 체계를 익히고 종합-분석적 사고를 하는데 도움을 주자.