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민주주의
투표와 선출
기표
후보자중에서 한 명 고르기
 각 후보에 좋아하는 순위 매기기
 적합한 후보들을 승인하기
 후보자 마다 점수 매기기
…

2
다수결 제도
만장 일치 제도
사다리 타기
추첨식
선착순
3
다수결 제도
38
27
21
11
3
1순위
김중자
이인자
정동자
노무자
이인자
2순위
노무자
노무자
이인자
정동자
정동자
3순위
이인자
정동자
노무자
이인자
노무자
4순위
정동자
김중자
김중자
김중자
김중자
후보자 네 명
유권자 백 명
4
다수결 제도
38
27
21
11
3
1등: 김중자 38표
1순위 김중자 이인자 정동자 노무자 이인자
2등: 이인자 30표
2순위 노무자 노무자 이인자 정동자 정동자
3등: 정동자 21표
3순위 이인자 정동자 노무자 이인자 노무자
4등: 노무자 11표
4순위 정동자 김중자 김중자 김중자 김중자
5
쌍쌍 비교
Condorcet (1743-1794)
후보
이인자
노무자
정동자
김중자
6
쌍쌍 비교
38
27
21
11
3
1순위
김중자
이인자
정동자
노무자
이인자
2순위
노무자
노무자
이인자
정동자
정동자
3순위
이인자
정동자
노무자
이인자
노무자
4순위
정동자
김중자
김중자
김중자
김중자
이인자
49:51
32:68
38:62
노무자
정동자
24:76
이인자 3승
노무자 2승
정동자 1승
김중자 무승
38:62
김중자
38:62
7
Borda(1733-1799) 셈
김중자 38×4 + 27×1 + 21×1 + 11×1 + 3×1 = 214
노무자 38×3 + 27×3 + 21×2 + 11×4 + 3×2 = 287
이인자 38×2 + 27×4 + 21×3 + 11×2 + 3×4 = 281
정동자 38×1 + 27×2 + 21×4 + 11×3 + 3×3 = 218
노무자 당선!
8
최소 득표자 제거
38
27
21
11
3
1순위
김중자
이인자
정동자
노무자
이인자
2순위
노무자
노무자
이인자
정동자
정동자
3순위
이인자
정동자
노무자
이인자
노무자
4순위
정동자
김중자
김중자
김중자
김중자
9
최소 득표자 제거
노무자 처음 제거
38
27
21
11
3
1순위
김중자
이인자
정동자
노무자
이인자
2순위
노무자
노무자
이인자
정동자
정동자
3순위
이인자
정동자
노무자
이인자
노무자
4순위
정동자
김중자
김중자
김중자
김중자
38
27
21
11
3
김중자
이인자
정동자
이인자 다음 제거
김중자 그 다음 제거
1순위
정동자 당선
2순위
이인자 3등
노무자 4등
정동자
정동자
3순위
이인자
정동자
4순위
정동자
김중자
김중자
김중자
김중자
38
27
21
11
3
정동자
정동자
김중자
김중자
정동자 1등
김중자 2등
이인자
이인자
1순위
김중자
이인자
정동자
2순위
3순위
4순위
정동자
정동자
김중자
김중자
10
1순위
38
27
21
김중자
이인자
정동자
2순위
이인자
3순위
이인자
정동자
4순위
정동자
김중자
38
27+3
11
3
이인자
정동자
정동자
이인자
김중자
21+11
김중자
38
김중자
62
1순위 김중자
이인자 정동자 1순위 김중자 정동자
2순위 이인자
정동자 이인자 2순위 정동자 김중자
3순위 정동자
김중자 김중자
정동자 당선!
11
공정한 선거제도를 위한 기준
과반수 기준 : 과반수 득표자는 당선된다.
 Condorcet 기준 :

쌍쌍비교에서 항상 우위에 있는 자는 당선된다.

단조 기준 :
당선자가 정해졌을 때, 그에게 유리하도록 선호도를
바꾸어 재투표하여도 당선자는 바뀌지 않는다.

포기자와 무관한 기준 :
당선자가 정해졌을 때, 다른 후보자를 제거하여도 여
전히 당선자는 변화 없다.
12
K. Arrow (1921 ~ )

불가능 정리 (1951, 학위논문)
3인 이상의 후보가 있을 때
모든 기준을 만족시키는 선출 방법은 존
재하지 않는다.

1972년 노벨 경제학상
13
가중 투표제
ⓒ
문명과 수학 2003-1
ㄱㅎㅈ
유 할 할 아 어 형 누 언 오 나 동
권 아 머 버 머
나 니 빠
생
자 버 니 지 니
지
합
계
표 80 80 50 50 25 24 23 21 20 13 386
수
정원(quota) : 200
[200: 80, 80, 50, 25, 24, 23, 21, 20, 13]
[q: w1, w2, … , wn]
(w1 + w2 + … + wn)/2 < q  w1 + w2 + … + wn
15
[7: 5, 4, 4, 2] – 정원 너무 적음
 [17: 5, 4, 4, 2] – 정원 너무 많음
 [11: 4, 4, 4, 4, 4]
~ [12: 4, 4, 4, 4, 4]
~ [3: 1, 1, 1, 1, 1]
 [15: 5, 4, 3, 2, 1] ~ [5: 1, 1, 1, 1, 1]

16

[11: 12, 5, 4] – 독재자 (w  q)

[12: 9, 5, 4, 2] – 거부권자 (T – w < q)

[101: 99, 98, 3] ~ [2:1,1,1]
동등한 투표, 동등한 권력
17
동등한 투표
[8:5,3,2] ~ [2:1,1,0]
8
5
5
3
2
2
1
1
3
1
1
2
승
승
5
5
5
3
3
3
0
0
승
2
2
2
승
1
1
1
1
1
1
0
0
0
18
[7:4,3,2,1] ~ [5:3,2,1,1]
7
승
승
승
승
승
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3
2
2
2
2
1
5
승
승
1 승
1
1 승
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
19
J. Banzhaf (1940 - ) 의 “권력 지수”
(1965)
Winning coalition
Critical voter: If one
leaves the coalition, then
winning -> losing
Banzaff power of a voter:
Number of winning
coalitions
Where one is critical
Total Banzaff power:
Sum of all voter BPs.
Banzaff index: BPv/TBP
20
50
[70: 50, 45, 20, 15]
45
95
110
80
20
결정적인 역할
(critical vote)
15
21
[51: 50, 49, 1]
승리하기(가결되기) 위한 “연합”과 결정적인 역할






{50, 49}
{50, 1}
{50, 49, 1}
50표를 가진 자의 권력 지수 = 3/5
49표를 가진 자의 권력 지수 = 1/5
1표를 가진 자의 권력 지수 = 1/5
22
엄마 아빠 나 동생 가중치
50
패
45
패
20
패
15
패
95
승
엄마, 아빠
70
승
엄마, 나
65
패
65
패
15
60
패
15
35
패
115
승
엄마
15
110
승
20
15
85
45
20
15
45
20
15
20
15
45
50
20
50
15
45
20
45
20
50
45
50
45
50
50
결정적인 자
50
45
50
승패
20
연합표
결정적인
역할수
힘
엄마
5
5/12
엄마, 아빠
아빠
3
3/12
승
엄마, 나
나
3
3/12
80
승
아빠,나,동생
동생
1
1/12
130
승
합계
12
1
23
토의사항

현재 우리나라의 선거제도, 행정제도등
의 권력 분산은 공정하다고 생각되는가?
예를 들면 어떤 부분들이 불공정해 보이
는 가?
24
참고문헌







Hoffman, p.215
Kac, Rota, Schwartz
Parks et al.
Saari
Tannenbaum, Arnold
Taylor
http://www.ams.org/new-inmath/cover/voting-introduction.html
25