Transcript Document 7932830

System response,
Feedback system &
PID Tuning
โดย
อ. ภู ม ิ เหลืองจามีกร
Outline





Transfer function
System response
Bode Diagram
Design of Feedback system
Classical PID Controller
่
การเปลียนโดเมนโดยใช้
การ
แปลงลาปลาส

เป็ นทีท
่ ราบกันดีวา่ ผลเฉลยของสมการเชงิ
ั่
อนุพันธ์สามารถเขียนให ้อยูใ่ นรูปฟั งก์ชน
exponential ของเลขจานวนจริงและ
้
เชงิ ซอน


ั ประสท
ิ ธิต
ค่าสม
์ า่ งๆ สามารถหาได ้ด ้วยวิธท
ี าง
พีชคณิต
ดังนัน
้ จึงได ้นิยามการแปลงลาปลาส ให ้เป็ น
  j
ั่ ของเวลา:
ฟั งก์ชน
โดเมนของลาปลาส



อ
s
j=
ตัวแปรลาปลาส คื
ซงึ่ ประกอบไปด ้วย damping term:
และ oscillatory term:
ดังนัน
้ ผลเฉลยในโดเมนของลาปลาส
(Laplace plane) จึงเป็ นตัวแทนของ
ั ญาณ/
พฤติกรรมการแกว่งและหน่วงของสญ
ระบบ

เสถียรภาพของระบบจะเกิดขึน
้ เฉพาะเมือ
่
0 (LHP)
<
่ ั ายโอน (Transfer
ฟั งก ์ชนถ่
function)
หลังจากใช ้การแปลงลาปลาสกับสมการเชิง
่ รป
อนุ พน
ั ธ ์ก็จะได ้สมการพีชคณิ ตทีมี
ู ทัวไป่ ไปดังนี
sn Y (s) + an -1 sn - 1Y (s) + : : : + a0 Y(s)
= bn - 1 sn - 1U(s) + : : : + b0 U(s) + f (s; x o)
่
ซึงสามารถเขี
ยนให ้อยู่ในรูป
โดยที่
และ
ได ้
โดยเราจะเรียก G(s) วไป่า “Transfer function”
Transfer function



สัญญาณ x(t) ถูกแปลงให ้เป็ น X(s) – complex
amplitude of exponential
แต่ละ exponential component จะถูกปร ับแต่ง
ด ้วไปยระบบเชิงเส ้น ดังนันจึงได ้ output ออกมาเป็ น
Y(s)= G(s)X(s)
่
 นันมีลก

G(s) ทีเราเรี
ยกวไป่า Transfer
function
ั ษณะ
่
่
เป็Aนเชิ
ง
ซ
้อนซึ
งประกอบไปด
้วไปยส่
วไป
นที
เป็
นขนาด
  arg{G ( j )}
 G( j)
(magnitude) และเฟส (phase) ยกตัวไปอย่างเช่น ถ ้า
x(t) = sin( t) แล ้วไป y(t) = Asin( t + ) โดยที่
่ ทดสอบระบบ
สัญญาณทีใช้

ั ญาณอิมพัลส ์
สญ

ขนาด  ∞
อุดมคติ
ความกว ้าง  0
พืน
้ ทีห
่ รือน้ าหนัก
1
t=
0

สมจริงทางปฏิบต
ั ิ
ความ
กว ้าง €
ขนาด A
มีน้ าหนัก
หรือพืน
้ ทีท
่ ี่
ทราบค่า
่ ทดสอบระบบ
สัญญาณทีใช้
(ต่อ)

ั ญาณ input แบบขัน
สญ
้ บันได
(step input)


ั ญาณขัน
สญ
้ บันไดในอุดมคติ มี
ขนาด 1 หน่วย
ั ญาณทีส
สญ
่ มจริง มีขนาดใดๆ
ตามกาหนดและไม่อาจ
่ ทดสอบระบบ
สัญญาณทีใช้
(ต่อ)

ั ญาณ input แบบ
สญ
ลาดเอียง (ramp)


ั ญาณมีความ
อุดมคติ สญ
ั 1 หน่วยต่อวินาที
ชน
ั ญาณ
ในทางปฏิบต
ั ส
ิ ญ
ั
ลาดเอียงอาจมีความชน
่ สญ
ั ญาณแบบ
ใดๆ เชน
พาราโบล่า
Convolution


ควไปามสัมพันธ ์ระหวไป่างโดเมนของเวไปลาและควไปามถี่
ของ Transfer function เป็ นอย่างไร
่ั
่ ก็คอื ผล
ผลคูณของฟังก ์ชนในโดเมนของควไปามถี
ของการประสานกันทางเวไปลา
่ั
(convolution)ของฟังก ์ชนในโดเมนของเวไปลา
นั่นเอง
Convolution – Impulse
response

Convolution Integral บ่งบอกวไป่า output
ของระบบ ณ เวไปลาใดๆ จะมีควไปามสัมพันธ ์กับ
input ผ่านทางอินทิกร ัลถ่วไปงนาหนักตลอด
่ ั h(t) นั่นคือ ถ ้า x(t) เป็ น
ช่วไปงเวไปลาของฟังก ์ชน
่ ั มพัลซ ์เกิดขึนทีเวไปลา
่
ฟังก ์ชนอิ
่
่ เราจะได ้ y(t)
t = 0 และมีคา่ เท่ากับ 0 ทีเวไปลาอื
น
= h(t)
Convolution – Impulse
response (ต่อ)


ดังนัน h(t) จึงถูกเรียกวไป่า ผลตอบอิมพัลส ์ (impulse
response) ของระบบ
ด ้วไปยคุณสมบัตเิ ชิงเส ้น ผลตอบอิมพัลส ์จึงเป็ นตัวไปกาหนดการ
ตอบสนองของระบบต่อสัญญาณ นั่นคือ สัญญาณ x(t)
สามารถเกิดขึนจากอนุ กรมของอิมพัลส ์ และด ้วไปยเหตุนี
สัญญาณ y(t) จึงเป็ นอนุ กรมของผลรวไปมถ่วไปงนาหนักของผล
ตอบอิมพัลส ์
Impulse response

่ ั input ดังนี
กาหนดฟังก ์ชน



Unit step:
Unit impulse:
่ ั มพัลส ์มีสมบัตท
ฟังก ์ชนอิ
ิ ส
ี่ าคัญคือ screening
property:
Impulse response
(ต่อ)


่
ผลตอบอิมพัลส ์ คือ Output ของระบบเมือ
่
่
เงือนไขเริ
มแรกทุ
กตัวไปเป็ นศูนย ์ :
และ มี input เป็ น unit impulse:
ควไปามหมายโดยนัยก็คอื เนื่ องจากไม่วไปา่ จะเป็ น
่ั
ฟังก ์ชนใดๆ
ก็ตามล ้วไปนแต่สามารถเขียนให ้อยู่ใน
่ ั มพัลส ์ถ่วไปงนาหนักได ้ ดังนันเพียงแค่
รูปฟังก ์ชนอิ
เราทราบผลตอบอิมพัลส ์ของระบบ เราก็สามารถ
ระบบกับการตอบสนอง
การตอบสนองของระบบมีองค์ประกอบอยู่ 2
สว่ น ได ้แก่
1. การตอบสนองชวั่ ครู่ (Transient
Response)
2. การตอบสนองในสถานะอยูต
่ ัว (SteadyState Response)
ระบบกับการตอบสนอง (ต่อ)
ระบบกับการตอบสนอง (ต่อ)
เมือ
่ เวลาผ่านไปนานๆ การตอบสนอง
่ั
ชวคราว
จะสลายตัวไป คงเหลืออยูแ
่ ต่ การ
ตอบสนองในสถานะอยู ่ต ัว
่ั
รูปทรงของ การตอบสนองชวครู
่ มิได ้
ขึน
้ อยูก
่ บ
ั input แต่ขน
ึ้ อยูก
่ บ
ั ระบบว่ามี
ธรรมชาติเป็ นอย่างไรและมีแบบจาลองทาง
คณิตศาสตร์อย่างไร
ระบบกับการตอบสนอง (ต่อ)
หรือกล่าวอีกนัยหนึง่ ได ้ว่า การตอบสนอง
่ั
ั่ ไกว (Oscillation)
ชวครู
่ จะเกิดการสน
หรือไม่นัน
้ ขึน
้ อยูก
่ บ
ั โพลของระบบ สว่ น การ
ตอบสนองในสถานะอยูต
่ ัวจะขึน
้ อยูก
่ บ
ั
อัตราขยายหรือ gain ของระบบ
Steady State Step
Response

ผลตอบสภาวไปะอยู่ตวไปั (Steady state response)
สาหร ับ unit step input (ในกรณี ทระบบมี
ี่
สภาวไปะอยู่ตวไปั ) เขียนได ้ดังนี
โดยที่ G(s) คือ transfer function ของระบบ
First order system

่ โพลอันดับทีหนึ
่ ่ งเป็ นองค ์ประกอบจะมี
ระบบทีมี
transfer functionดังนี

่
ผลตอบของระบบนี เมือใส่
input เป็ น unit step
function จะเป็ นดังนี
First order system
(ต่อ)
่
ผลตอบของระบบอันดับที่ 1 เมือใส่
input เป็ น
unit step function
First order system
(step input)
่
เมือเวไปลาผ่
านไปนานๆ จะ
พบวไป่า
เป็ นระดับการตอบสนอง
ท ้ายสุด
่
ซึงสามารถประยุ
กต ์กับ
ทฤษฎีบทค่าสุดท ้าย ได ้
ดังนี
First order system
(step input) (ต่อ)
่
 านไป
สาหร ับระบบอันดับที่ 1 เมือเวไปลาผ่
วไปินาที
่ าขึนเป็ น 63% ของค่าท ้ายสุด
มค่
การตอบสนองเพิ
2 ,3 ,4 ,5
่
เมือเวไปลาผ่
านไป
วไปินาที ระดับของการตอบสนอง
่ นเป็ น 86%,
ค่อยเพิมขึ
 95%, 98% และ 99%
ของค่าท ้ายสุดตามลาดับ
ในทางวไปิศวไปกรรม เราถือวไป่า ระบบอันดับที่ 1
่
่
ให ้การตอบสนองทีสมบู
รณ์เมือเวไปลาผ่
านไป 5
First order system
(impulse input)
ตามนิ ยามของ transfer function โดยให ้
่
่
r (t )  ้ (t )
ค่าเงือนไขเริ
มแรกทุ
กตัวไปเป็ นศูนย ์ หากกาหนดให
input เป็ นสัญญาณอิมพัลส ์
่ R(s) =K 1 ดังนี จะได ้การตอบสนองของ
ซึงมี
K  t

C
(
s
)

c(t )  e
ระบบดังนี s  1


หรือ
First order system
(impulse input) (ต่อ)
การตอบสนองต่อ impulse input ของ
ระบบอันดับที่ 1
First order system
(ramp input)
่
เมือระบบได
้ร ับ input เป็ นสัญญาณลาดเอียง
1
่ r(t) = t และ
R
(
s
)

(ramp input)s ซึงมี
จะได ้การตอบสนองของระบบดังนี
2
หรือ
First order system
(ramp input) (ต่อ)
การตอบสนองของระบบอันดับที่ 1 ต่อ input
แบบ r(t) = At
First order system
(ramp input) (ต่อ)
อาจสังเกตได ้วไป่า การตอบสนอง c(t) ล ้า
หลัง input r(t) นานเป็ นเวไปลา
วไปินาทีและ
ยังปรากฏค่าควไปามผิดพลาดในสถานะอยู่ตวไปั
่
ซึงอาจสรุ
rป
(tได
)  ้ดัAง(นี
t)
c(t )  At  A ( a  e
t

)
e(t )  r (t )  c(t )  A (a  e
e ss  lim e(t )  A
t 
t

)
Second order system
ระบบอันดับที่ 2 อาจมี transfer function เป็ น
G(s) 
b0
C (s)
 2
R( s ) s  a1 s  a 0
แต่ทางด ้านวไปิศวไปกรรมควไปบคุม เรานิ ยมเขียน
transfer function ในรูปมาตรฐาน ดังนี
 n2
G(s)  2
s  2 n s   n2
โดย

(zeta) คือ damping
ratio และ
n
คือ
Second order system
(impulse input)
่ ้ร ับ input เป็ นสัญญาณอิ
r (t ) มพั
(tล
)ส์
เมือได
หรือ R(s) = 1
ระบบอันดับที่ 2 จะมีการตอบสนอง c(t) เป็ นดังนี
2

  n  nt

1
n
c(t )  L  2

e
sin( n t )
2
 s  2 n s   n  
ซึง่
  1  2
Second order system
(impulse input) (ต่อ)
่ านการ normalize แล ้วไปของระบบอันดับที่ 2ต่อ impulse
การตอบสนองทีผ่
Second order system
(step input)
1
่
่
R
(
s
)

เมือพิจารณากรณี ที input เป็ นสัญญาณขันบันsได
1 หน่ วไปย
ระบบอันดับที่ 2 จะมีการตอบสนองดังนี
C ( s )  G ( s ) R( s ) 

2
n
s( s 2  2 n s   n2 )
่ า
่
โดยทีค่
ทีแตกต่
างกันออกไปจะทาให ้เกิดการ
ตอบสนองในต่างลักษณะกันดังต่อไปนี
Second order system
(step input) (ต่อ)
่
การตอบสนองแบบสันไกวไปคง
ตัวไป (undamped natural
่ า
0    1 response)
การตอบสนองแบบหน่ วไปงตากวไป่
วไปิกฤต(underdamped
response)
่ า
 1
การตอบสนองแบบหน่ วไปงตากวไป่
วไปิกฤต (critically damped
response)
การตอบสนองแบบหน่ วไปง
 1
เกิน
(over damped
response)
 0
Second order system
(step input) (ต่อ)
 ่ งหน่ วไปย เมือ่
การตอบสนองของระบบอันดับที่ 2 ต่อ input แบบขันบันไดหนึ
มีคา่ แตกต่างกัน
Second order system
(step input) (ต่อ)
การตอบสนองแบบต่างๆ ของระบบอันดับที่
2 อันเนื่ องมาจาก input เป็ นสัญญาณขันบันได
่ า
หนึ่ งหน่ วไปย ปรากฏให ้เห็นวไป่ายิงค่
น้อยลง
่ การพุ่งเกิน
มากๆ การตอบสนองของระบบยิงมี
่
(overshoot) และการสันไกวไป
(oscillation)
เกิดขึนให ้เห็นมากขึน
ข้อกาหนดของการตอบสนอง
ในโดเมนเวลา
ตัวชวี้ ด
ั สมรรถนะของระบบทีส
่ าคัญมีดงั นี้ (อ ้างอิง
กับระบบอันดับที่ 2)
 Steady state value, y: เป็ นค่าสุดท ้ายของผล
ตอบระดับขัน
้ (step response)
2
1เวลาที
.8
T

1

0
.
4167


2
.
917

 T Rise
time,
t
:
คื
อ
น
่
ั
บ
ตั
ง
้
แต่
เ
ริ
ม
่
ต
้นจนถึ
ง
เวลาที
่1


r r1 
T
T

,
0



r
2 2
n ง

ผลตอบระดับขัน
้ ขึน
้ ไปถึ
งค่า kry เป็ นครั
้ แรก โดย
n
ค่าคงที่ kr นัน
้ จะมีคา่ 0.9 หรือ 1 แล ้วแต่ผู ้แต่งตารา
p
r
n
M p  c ss
c ss
 100%
ั่
ข้อกาหนดของการตอบสนองใน
โดเมนเวลา(ต่อ)


ั บรณ์)
Undershoot, Mu: เป็ นค่ามากสุด (ค่าสม
ชวั่ ขณะหนึง่ ทีผ
่ ลตอบระดับขัน
้ ตกลงมาตา่ กว่าศูนย์
Settling time, ts: เป็ นเวลานับตัง้ แต่เริม
่ ต ้น
่ ว่ งความ
จนกระทั่งผลตอบระดับขัน
้ เข ้าสูช
คลาดเคลือ
่ นค่าหนึง่ (±) รอบๆ ค่าสุดท ้าย โดยชว่ ง
ความคลาดเคลือ
่ น (steady state error: ess) นี้
็ ต์ของค่4าสุดท ้าย y เชน
่
มักจะกาหนดเป็ นเปอร์เซน
Ts 
2-5%
 n
กรณีคลาดเคลือ
่ นเป็ น 2 % จะได ้
ข้อกาหนดของการตอบสนองใน
โดเมนเวลา(ต่อ)
ข้อกาหนดของการตอบสนองใน
โดเมนเวลา(ต่อ)
ข้อกาหนดของการตอบสนองใน
โดเมนเวลา(ต่อ)

า
ั พันธ์ระหว่
กราฟความสม
n Tง
p P.O.,
กับ
ตัวอย่างระบบอ ันดับที่ 2
block diagram นี แทนระบบควไปบคุมเซอร ์โวไป
่ ้องการให ้การตอบสนอง c(t) เมือ
่ input คือ
ทีต
r(t) = u(t) มี Overshootจากัดอยู่ 12% และ
Rise time ไม่นานเกินกวไป่า 2.5 วไปินาที จงหาค่า k
่
และ Kp ทีเหมาะสม
ตัวอย่างระบบอ ันดับที่ 2 (ต่อ)
Solution:
พิจารณาวไป่า c(t) มี P.O. = 12%

1 2
จาก P.O.  100e
จะได ้วไป่า
ดังนัน
= 0.56
Tp

่
แต่เนื องจาก Tr  2  2

1
2
 0.675
n
ดังนัน
n 

 0.758 rad
sec
5
 ซึง่ 1   2
ตัวอย่างระบบอ ันดับที่ 2 (ต่อ)
ตรวไปจสอบค่ า
Tr 
n
และ
กับสมการต่อไปนี
1  0.4167  2.917 2
n
,0    1
่ คา่ ตากวไป่
่ า 2.5 sec
จะได ้ Tr
= 2.218 sec ซึงมี
่ ้องการ
ทีต
ตัวอย่างระบบอ ันดับที่ 2 (ต่อ)
Transfer function ของระบบนี สามารถเขียนได ้
ดังนี
2
Kp
n
C ( s)
 2
 2
R( s) s  kK p s  K p s  2 n s   n2
K p  n2  0.575
เพราะฉะนัน
จะได ้
2 n 2
k

 1.477
Kp
n
2 n  kK p
และจาก
Classical PID Controller


่ ้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรม
ตัวไปควไปบคุมทีใช
่ วไปควไปบคุมนี จะช่วไปยเพิม
่
ก็คอื PID controller ซึงตั
ควไปามแข็งแกร่ง (Robustness) ให ้กับ
กระบวไปนการผลิตต่างๆ ในภาคอุตสาหกรรม
PID ย่อมาจาก



P: Proportional
I: Integral
D: Derivative
Classical PID Controller
(ต่อ)

พิจารณาระบบ Single Input Single Output
(SISO) ดังรูป
Classical PID Controller
(ต่อ)
รูปแบบมาตรฐานของ PID controller มีดงั นี
Proportional only:
Proportional plus Integral:
Proportional plus derivative:
Proportional, integral and
derivative:
Classical PID Controller
(ต่อ)



เราสามารถ PID controller ในการควไปบคุม
หรือปร ับปรุงระบบหรือกระบวไปนการผลิตให ้มี
สมรรถนะตามต ้องการได ้โดยทาการปร ับตัง (PID
่
tuning) ซึงจะเป็
นการปร ับค่าพารามิเตอร ์บางตัวไป
ตามแนวไปทางการปร ับตังดังต่อไปนี
Ziegler-Nichols Oscillation Method
Ziegler-Nichols Reaction Curve Method
Cohen-Coon Reaction Curve Method
Classical PID Controller
(ต่อ)


ส่วไปนรายละเอียดของวไปิธก
ี ารปร ับตัง PID controller
ทัง 3 แนวไปทางนันอยูน
่ อกเหนื อขอบเขตของวไปิชานี จึงไม่
ขอกล่าวไปถึงรายละเอียด แต่จะแนะนาให ้รู ้จักหลักการ
ปร ับตังคร่าวไปๆ ดังนี
การใช ้ Proportional Controller (P) จะช่วไปยลด
่
่ ตอ
ผลกระทบจากสิงรบกวไปนที
มี
่ ระบบได ้ แต่ยงั คงมี
steady state error เกิดขึนแม้วไปา่ input จะไม่มก
ี าร
่
เปลียนแปลง
่ า Integral Controller มาใช ้คูก
เมือน
่ บั
Proportional Controller (PI) จะสามารถกาจัด
steady state error ออกไปได ้ แต่จะให ้ผลในทางลบกับ
การตอบสนองเชิงพลวไปัตของระบบ เช่น ควไปามเร็วไปในการ
ตัวอย่างการใช้ PID controller
กับระบบอ ันดับที่ 2
กาหนดให ้ระบบมี transfer function คือ 1
G (s) 
s 2  3s  2
และมี input เป็ น unit step function
เปรียบเทียบผลของตัวควบคุม
แบบต่างๆ
Unit Step
Input
2. P3.controller
PDcontroller
4. PIcontroller
5. PIDcontroller
1. No
controller
เปรียบเทียบผลของตัวควบคุม
แบบต่างๆ (ต่อ)
่
จากกราฟการเปรียบเทียบผลของตัวไปควไปบคุมแบบต่างๆ เมือ
ใส่ unit step input เข ้าไป ผลปรากฏวไป่า
กรณี ท ี่ 1 (No controller): การตอบสนองของระบบค่อนข ้าง
ช ้า (Rise time มีคา่ สูง) และค่าสุดท ้ายของระบบอยูแ่ ค่เพียงที่
ประมาณ 0.3 เท่านันเอง นั่นคือมี steady state error เกิดขึน
ค่อนข ้างสูง
กรณี ท ี่ 2 (P-controller): การตอบสนองของระบบเร็วไปขึน
(Rise time มีคา่ ต่าลง) แต่เกิด Overshoot ขึนและระบบมีการ
่
่ นมาอยูท
สันไกวไปเกิ
ดขึน และค่าสุดท ้ายของระบบก็เพิมขึ
่ ประมาณ
ี่
0.8 นั่นคือยังคงมี steady state error เกิดขึนแต่มค
ี า่ น้อยลง
เปรียบเทียบผลของตัวควบคุม
แบบต่างๆ (ต่อ)
กรณี ท ี่ 3 (PD-controller): การตอบสนองของ
่
ระบบมี Overshoot ทีลดลงและเข
้าสู่ steady state
เร็วไปขึนแต่คา่ สุดท ้ายยังคงอยูท
่ ประมาณ
ี่
0.8 นั่นคือ
ยังคงมี steady state error เกิดขึนอยู่
กรณี ท ี่ 4 (PI-controller): การตอบสนองของระบบ
่ งเท่ากับในกรณี ที่ 2 และระบบ
มี Overshoot ทีสู
่
ยังคงเกิดการสันไกวไปขึ
นแต่คา่ สุดท ้ายอยูท
่ ี่ 1 นั่นคือ
สามารถกาจัด steady state error ออกไปได ้แล ้วไป
กรณี ท ี่ 5 (PID-controller): การตอบสนองของ
่
่
ระบบมี Overshoot ทีลดลงมากและการสั
นไกวไปก็