Transcript Lecciones 4 y 5: Iniciación a la Resistencia de los Materiales CAPITULO II:

Iniciación a
la Resistencia de los Materiales
Texto de referencia:
•TENSIONES Y
DEFORMACIONES EN
MATERIALES ELÁSTICOS
•de J.A.G. Taboada
CAPITULO II:
TRACCIÓN – COMPRESIÓN
Y
CORTADURA
PARTE 1 : Resistencia
Objeto:
COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS
DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
Lecciones 4 y 5:
Lección 4 :
• 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones.
• 4.2 .- Círculos de Mohr.
• 4.3 .- Planos y tensiones principales.
• 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson.
• 4.5 .- Deformación por esfuerzos triaxiales.
4.1.- Estado tensional de un punto
z
snz
tzy
snx
t xz
y
txy
tzx
t xz
tyz
sny
tyx
txy
snx
x
4.1.- Tensiones principales de un punto
z
N
dSx = dW a
dSy = dW b
dSz = dW g
snx
t xz
y
txy
x
s = s1+ s2 + s3
s1  s2  s3
4.1.- Matriz de Tensiones
sx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g
sy dW = txy dW a + sny dW b + tzy dW g
sz dW = txz dW a + tyz dW b + snz dW g
sx
s
= sy
sz
[s=[T*[u
=
snxtxyt xz
tyx snytyz *
tzx tzy snz
a
b
g
cosenos directores
4.3.- Tensiones y direcciones principales
0
0
0
s2
0
0
0
s3
s1
s1  s2  s3
Direcciones principales
s1
x
y
z
=
0
0
a
0
s2
0
b
0
0
s3
g
x2 + y2
s 12 s 22
x = a s1
=>
y = b s2
z=g
2
z
+ 2
s3
s3
=1
=>
4.2.- Círculo de Mohr
Pp
t
s
t
s3
O1
C1
s2
O2 sn
s1
O3
C3
P’p
C2
sn
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
Np
snx txy t xz
sx
p
f
F
= sy
sz
=
s n = s.u
s
F/S 0
0
0
0
0
0
0
0
=
tyx sny tyz x
tzx tzy snz
b * =
g
cos f
x
cos (90-f)
0
= (F/S . cos f ) . 1 . cos f = F/S . cos2 f
t = (F/S . sen f ) . 1
a
p
. cos f = F/S . (sen 2f)
f
2
f
2f
n
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
Fy
p
Np
f
snx txy t xz
s1
s
Fx
= s2
=
tzx tzy snz
s3
=
snx 0
0
0
sny
0
0
0
0
tyx sny tyz x
s nx + s ny
2
+
t p=
s nx - s ny
x
2
g
cos (90-f)
0
p
cos 2f
2
s nx - s ny
b * =
cos f
s n = s nx . cos2 f + s ny . cos2 (90 – f) =
s n=
a
a
sen 2f
f
s2
2a
s1
n
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
Fy
p
Np
p
Fx
f
f
s nx + s ny
s 1=
2
s 2=
s nx + s ny
2
2tp
s nx - s ny
+
-
(s
nx
- s ny
2
s nx - s ny
(
= tan 2f
2
) +t
2
2
) +t
2
2
a
s2
2a
s1
n
4.3.- Tensiones y direcciones principales
[s=[T*[u
Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él:
0 = (snx -s )*a +
0 = txy * a
0=
txz * a
tyx * b + tzx * g
+ (sny - s)*b + tzy * g
+ tyz * b
+ (snz -s)*g
Su determinante es :
(snx -s )
txy
txz
tyx
(sny - s)
tzx
tzy
tyz (snz -s)
=0
que desarrollado es
- s 3 + I1 s 2 - I2 s + I3 = 0
4.3.- Tensiones y direcciones principales
[s=[T*[u
Ecuación característica o secular
- s 3 + I1 s 2 - I2 s + I3 = 0
Tensiones principales : son las raíces de la ecuación
donde :
I1 = snx + sny + snz
I2 = snxsny+snysnz+snzsnx-t2yz-t2zx-t2xy
I3 = | T |
Deformación Trasversal
ey = - m ex
m
coeficiente de deformación trasversal o de Poisson
m=-
ey
ex
Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
sx
sy
- m
- m
ex = +
E
E
sy
sx
- m
- m
ey = +
E
E
sz
sx
- m
- m
ez = +
E
E
sz
+ a DT
E
sz
+ a DT
E
sy
+ a DT
E
Invariante lineal de deformaciones
e = ex + ey + e z
Invariante lineal de tensiones
q = sx + sy+ sz
Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
sx
sy
- m
- m
ex = +
E
E
sy
sx
- m
- m
ey = +
E
E
sz
sx
- m
- m
ez = +
E
E
sz
+ a DT +
E
sz
+ a DT +
E
sy
+ a DT +
E
Invariante lineal de deformaciones
s0
E
s0
E
s0
E
e = ex + ey + e z
Invariante lineal de tensiones
q = sx + sy+ sz