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Transformations discrètes
et relation discret - continu
Eric ANDRES
Laboratoire SIC Signal – Image - Communications
Université de Poitiers
Lyon, Juin 2006
Applications Quasi-Affines et
relation discret-continu
Les travaux présentés ce matin sont en grande partie ceux de Philippe Nehlig,
Marie-Andrée DaCol (pour les AQAs) et Gaëlle Largeteau (pour les
transformations discret-continues).
- Applications Quasi-Affines : transformations peu connues liées aux pavages, à
des dynamiques intéressantes, à la compréhension de certains phénomènes
calculatoires.
- Transformation discret-continue : définir des opérations en utilisant les deux
espaces discret et continu.
- Mettre en place un cadre plus théorique pour parler des fondements de la
géométrie discrète (changements d’échelles, analyse non standard, aspect effectif
des algorithmes) dans l’idée d’aborder de définitions d’opérations (par ex. les
rotations par aqa) et d’étudier les propriétés.
Le discret : un monde bien étrange
Le discret : un monde bien étrange
Le discret : un monde bien étrange
2 droites
discrètes
orthogonales
Avec une
intersection
vide
Relations Continu - Discret
Il existe une relation « paramétrable » entre les deux
Relations Continu - Discret
Taille des voxels diminue plus vite que
l’épaisseur de la droite n’augmente
Relations Continu - Discret
A la limite on obtient une droite continue
Relations Continu - Discret
Continu
Objet A avec propriété 1,2,3, …
•
•
•
•
•
•
•
•
Discret
Objet A1
Objet Ak
Avec prop 1,3,15, …
Avec prop k1, k2, k3, …
Classe d’équivalence
Relations Continu - Discret
Discrétisation et Reconstruction
Droite analytique discrète
J.-P. Reveillès
(1991)
Représentation en compréhension
Equation analytique :
a,b entiers, a/b pente de la droite, w épaisseur arithmétique,
c constante de translation.
Propriétés
0  5x – 7y < w
1
12
60
5
4
3
2
7
9
8
11
5
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
w < sup(|a|,|b|)
4
-28
-23
-18
-13
-8
-3
2
7
droite non connexe
des 1-tunnels
w = sup(|a|,|b|) = 7
3
-21
-16
-11
-6
-1
4
9
14
2
-14
-9
-4
1
6
11
16
21
droite 8-connexe
des 0-tunnels
w = |a|+|b| = 12
droite 4-connexe
Plus de tunnels
1
-7
-2
3
8
13
18
23
28
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
1
2
3
4
5
6
7
Propriétés de la droite
Prenons a/b = 5/17 et la suite y(xi) = {axi / b}
xi
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
y(xi)
0 0
0
0
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
{axi / b}
0 5 10 15 3
8
13
1
6
11 16
4
9
14
2
7
12
4
0
0
16
Propriétés de la droite
5 / 17
c
c c
d
c
c
d
c c
c
d
c c
d
c
c d
A tout rationnel a/b Christoffel associe les lettres L1…Lb à la suite r(i)={ai/b} avec
i=1,…,b où une lettre Li vaut “c” si r(i)<r(i+1) et “d” sinon.
Comme les deux dernières lettres valent tjs “dc” on appelle le mot de Christoffel
le mot Ch(a/b) = L1… Lb-2
On retrouve bien sur les paliers de la droite discrète.
Propriétés de la droite
Il existe un rapport entre le mot de Christoffel et le développement en fraction
continue de a = a/b avec 0<a<1.
Soit a = [s,s1, …, sn] le développement en fraction continue de a/b. Le mot de
Christoffel Ch(a) est construit avec les suites de mots gn, Cn, dn
Propriétés de la droite
Avec
On a donc
s=3, s1=2, s2=2
et n=2.
Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)=c1 g2 g1 g
avec g=c2, c1=c2d, d1=c3d
g1=c1=c2d, c2=c1d1=c2dc3d, d2=c12d1=c2dc2dc3d
g2=c2=c2dc3d.
Propriétés de la droite
Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17) = c1 g2 g1 g
avec g=c2, c1=c2d, g1=c2d, g2=c2=c2dc3d.
Soit au final Ch(5/17) = c2d.c2dc3d.c2d.c2
Si on code dans c.Ch(5/17).d = cccdccdcccdccdccd le mot
c3d par L et c2d par C
On retrouve un condensé du mot et surtout :
5 / 17
L
C
L
C
C
Propriétés de la droite
Propriétés de la droite
Applications Quasi-Affines
Definition :
[Reveilles 1991]
En général
Avec la matrice
et le vecteur
Application Quasi-Affine
F(x,y) =
Di
D'j
-1
F (i,j)
Dynamique
• Si pour toutes les droites Dm : ax+by  [mw,(m+1)w[ et
D’n:cx+dy  [nw,(n+1)w[ ont une intersection alors tous les
arbres de l’AQA
ne sont pas
bornés (chaque point à un antécédent).
• Les feuilles correspondent à des couples (n,m) de droites qui
ne s’intersectent pas.
Pavages
A(2,2) appartient à
l’intersection de D0 et D’1.
L’image de A par l’AQA est par
conséquent (0,1).
Def. Pavé
Pi,j = Di  D’j = F-1(i,j)
Le pavé P0,0 est égal à l’intersection entre D0 et D’0
Pavages
Définition : 2 pavés sont arithmétiquement identiques si leurs
premiers restes sont égaux pour chaque point des pavés.
Propriété : des pavés arithmétiquement égaux sont
géométriquement égaux (la réciproque est fausse).
Cas plus général : Nombre de pavés
Le nombre de pavés différent à l’ordre 1 est égal à :
Avec d = ad-bc.
Si w = ad-bc Alors tous les pavés sont identiques et
contiennent w points.