Transcript 當力只與位置有關時的運動方程式

當力只與位置有關時的運動方程式
簡諧運動
Simple Harmonic Motion
F  kx
任一個周期運動，在平衡點附近，都是簡諧運動！
一個簡諧運動，有一個內在的振動頻率！
F(x)
x
正力為排斥力，力為負則為吸引力
摩擦力的根源是原子力或分子力
原子力是由電磁力產生
電偶極
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
感應形成電荷分布不均
原子力 Lennard-Jones

F ( x)  4

7
   13
  
12    6   
 x  
  x 
與萬有引力定律不同，此式只是一個近似！
  0.263nm
  1.511022 J
在力為零的平衡點附近，力的區線大致上可以用一條直線來近似。
力與距平衡點的位移成正比，即簡諧運動！
F  k  x  x0   kx
簡諧運動
F  kx
d 2dx2 x k2
2


x



x
m2 


kx
2
dt dt
m

k
m
一個簡諧運動，只由一個常數決定！
簡諧運動
d 2x
2



x
2
dt
d (cos t ) d (cos t ) d (t )


  sin t
dt
d (t )
dt

k
m
d 2 (cos t ) d ( sin t )
2




cos t
2
dt
dt
d 2 (sin t )
  2 sin t
2
dt
找到兩個解
定理
如果已找到兩個函數 x1與 x2
d 2x
2


x0
都滿足方程式
2
dt
那麼任一線性組合 c1 x1  c2 x2
c1 
d 2 x1
2


x1  0
2
dt

c2 
也滿足該齊次方程式！
d 2 x2
2


x2  0
2
dt
d 2 c1 x1  c2 x2 
2
c1 x1  c2 x2   0


dt 2
得證
簡諧運動的解
2 
d 2x
2


x0
2
dt
k
m
正弦函數與餘弦函數的兩次微分都和負的自己成正比！
很容易找到兩個解 x1  sin t 與 x2  cos t
那麼任一線性組合 x(t )  a  cos  t  b  sin  t 也是解！
a,b由起始條件決定
v(t )   a  sin  t   b  cos  t
x(0)  a  x0 v(0)  b  v0
x(t )  x0 cos t 
v0

sin  t
這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件，因此是唯一的解！
不用再找了！
較容易明瞭的表示式
x(t )  a cos  t  b sin  t
a  xm cos  , b  xm sin 
x(t )  xm cos  t   
v 
xm2  a 2  b 2  x02   0 
 
tan  
v(t ) 
dx
 xm sin  t   
dt
v
b
 0
a x0
2
x(t )  xm cos  t   
x(t )  xm cos t   
xm及ω的物理意義：振幅及角頻率。
xm振幅是振動的極大值
x(t )  xm cos t   
週期函數
x(t )  x(t  T )  cos t     cos t  T   
T  2
k 2


 2 f
m T
T  2
m
k
1
2
k
m
f 
  2 f
角頻率
x(t )  xm cos t   
v(t ) 
dx
 xm sin  t   
dt
xm及ω的物理意義：振幅及角頻率。
動畫 Simulation
x(t )  xm cos  t   
一個簡諧運動，有一個內在的振動頻率！
x(t )  xm cos t   
假想圓是一個很好的工具，但不是真的有一個圓！
t  
簡諧運動中的每一個階段對應圓周運動中到達的角-----相角 Phase
http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102
x(t )  xm cos t   
相角 ϕ 的物理意義，假想圓上的出發角度。
動畫 Simulation
第一個震盪比第二個震盪領先相角120°
不是只有彈簧才是簡諧運動！
  I
d 2
mg  L  sin   mL
dt 2
2
小角度近似：
sin   
dd22
L 22 ggL

dtdt
d 2x
m 2  kx
dt
2
d 2 g
 
2
dt
L

g
L
d 2x
2


x0
dt 2
T
2

 2 
L
g
電磁震盪
dI Q
L  0
dt C
I
2
m
d x
 kx  0
2
dt
Lm
1
k
C
Qx
dQ
dt
d 2Q Q
L 2  0
dt
C
d 2Q Q
L 2  0
dt
C
d 2x
m 2  kx  0
dt
Lm
1
k
C
Qx

k
1

m
LC
k
1


m
LC
C  1.5F, L  12mH

1
0.012 1.6 10
f  1200 s -1
6
 7500 rad/s
RLC電路
d 2Q
dQ Q
L 2 R
 0
dt
dt C
d 2x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
k
1


m
LC
原子力 Lennard-Jones
在力為零的平衡點附近，力的區線大致上可以用一條直線來近似。
力與距平衡點的位移成正比，即簡諧運動！
彈力常數即是通過平衡點的切線斜率！
F  k  x  x0   kx
任何一個在平衡點附近的小規模運動都是簡諧運動！
5Q
Q
q
F
Q
45°
5Q
60゜
M1
45゜
M2
許多物體的震盪也是簡諧運動
所以也可以用同樣的這些名詞，如振幅、周期、相角來描述！
鋼條的震動
鋼條的震盪不只一種：扭曲！
有些震盪是非常扭曲複雜的！
震盪模式有很多種：
不同模式周期不同
物體的振動
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E&NR=1
為什麼稱為簡諧運動？
任一和諧（週期）函數可以寫成一系列簡諧運動函數的疊加。

x(t )   An sin 2 f n t  n 
n 1
f n  nf  n
Fourier Series
1
T
Damped Oscillation 阻尼震盪
f d  bv
d 2x
dx
m 2  b  kx
dt
dt
阻力項大致與彈力項相差90°相角。
動畫 Simulation
振幅呈現指數衰減！
vx
v x  v x0  e
b
 t
m
vx  c  e
b
 t
m
指數遞減
http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124
阻尼可以大到連一次震盪都未完成！
101五十噸的阻尼球
若想使彈簧繼續震盪，必須施以一周期性的外力。
http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm
風吹或地震對101即是外力！
電磁波打在一個點電荷上的散射現象，也是如此。
外力下的震盪 Forced Oscillation
週期外力的角頻率
彈簧內在的角頻率
d 2x
m 2  kx  F0 sin D t
dt
F0
d 2x
2


x

sin Dt
dt 2
m
d2y
m 2  qE0 sin  t
dt
E (t )  E0 sin  t
之前的解
d2y
m 2  qE0 sin  t
dt
dv y
dt

vy  
t
v y   dt '
t0
qE0
sin  t
m
qE0
cos  t  c1
m
qE0
qE
sin  t '  0 cos  t  c
m
m
vy 
qE
dy
  0 cos  t  c1
dt
m
y
qE0
sin  t  c1t  c0
2
m
一個解
代入運方左邊等於零
F0
d 2x
2


x

sin Dt
2
dt
m
猜測
xr  A  sin Dt
因為它的兩次微分還是正比於同樣的正弦函數！
代入  A 2 sin  t  A 2sin  t  F0 sin  t
D
D
D
D
m
F0
A
m  2  D2


得到一個解
xr 
F0
sin Dt
m  2  D2 
D

彈簧的反應依然是簡諧運動，但周期是施力的周期，而不是彈簧的自然周期！
但振幅的大小卻與施力週期密切相關：
D   xr 
共振 Resonance
施力的頻率愈接近彈簧的自然頻率，反應愈強，能量的輸入愈好。
F0
d 2x
2


x

sin Dt
dt 2
m
xr 
F0
sin Dt
m  2  D2 
d 2 xs
xs (t )  a cos  t  b sin  t
加上一個
  2 xs  0 的解
2
dt
F0
x  xr  x s 
sin Dt  a cos  t  b sin  t 
m  2  D2 
調整xs中的 a,b 以滿足起始條件
這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件，因此是唯一的解！
不用再找了！
Forced Oscillation
xr 
F0
d 2x
2


x

sin Dt
dt 2
m
F0
sin Dt
2
2
m   D 
與外力的振幅成正比
以外力的頻率來震盪，而不是彈簧的自然頻率！
外力頻率越接近彈簧的自然頻率，震動也就越大！ D   xr 
追求物理學三大定律
xr 
F0
sin Dt
2
2
m   D 
D  
xr 
施力週期越接近自然周期，彈簧的反應越大！
共振 Resonance
考慮摩擦阻力後
x  A  sin Dt   
A

F0

m  2  D2   
共振曲線的寬度與阻力大小成正比
2
2
x   sin Dt   
F0


m 2 
A2
共振曲線的寬度與阻力大小成正比

2 2
D
 b 


 m 
2
物理教科書上出現最多的一個圖形。
x  A sin Dt   
A
F0

m  
2

2 2
D
b
tan    2 m 2
  D
 b 


 m 
2
http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm
模擬
http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124
實際影片
http://techtv.mit.edu/collections/physicsdemos/videos/769-mitphysics-demo----driven-mechanical-oscillator
建築與物體必須避免其自然周期與外力的施力週期接近的狀況。
地面因地震而震盪
樓  地面  3 rad/s

k
m
hk 
D
但很多情況下外力會
自動使施力週期調整
為彈簧的自然周期。
Tacoma Narrows Bridge
Takoma Bridge
http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
吸收
彈簧的能量守恆
守恆量
x  xm cost   
v
k
xm sin t   
m
1 2 1 2
kx  mv  constant
2
2
量子彈簧
e
一個彈簧的起始條件包含
確定的位置與速度
量子彈簧上的粒子，位置
與動量是無法同時確定的！
量子彈簧
e
量子彈簧的能量不是連續的，
而是固定量子的整數倍的離散型式。
量子(Quantum)的大小與頻率成正比！
E  nhf h: Planck Constant
h  6.625 10 34 J  s
量子彈簧的行為非常類似數目可改變的一群粒子
粒子最重要的就是不可分割性
基本粒子
量子彈簧
e