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散射後的電子波函數包含往相反方向的波包， 但觀察時仍只看到顆粒狀的電子， 一顆電子的運動只能朝一個方向，測量此電子方向時必然是不確定的！ 波與粒子的圖像可以並存的關鍵是我們必須拋棄物理預測的確定 性！ 量子世界特性一：一個粒子處於完全相同的狀態下，某些物理測量的結果 卻不是一定每次都相同，粒子的狀態確定，但測量結果卻並不確定。物理 能預測的是測量得到特定結果的機率。多次測量結果會形成一個分布。 量子世界特性二：電子的位置與動量不能同時精確測量，位置精確測 定的態與動量精確測定的態是不相容的，因此電子的狀態是多面向 的！ 量子世界特性二A：電子的狀態可以是兩個古典情況下彼此互不相容的狀態的疊 加！ 量子世界特性三：所有有效的測量本質上必然擾動被觀察的系 統！ 微觀物理有內在無法克服的不確定性！ 電子的真面目 波的強度等於若觀察時在該處發現此粒子的機 率！ 狀態的變化是以波方程式來計算 觀察時電荷及位置總是顆粒狀 由波函數來描述的粒子 （而不是位置函數） 波函數無法觀察，所以只是一個數學語 言！ 波的語言可以以抽象的向量空間來取代！ 在不確定的年代中，還有甚麼是確定的？ Quantum Wonderland 量子的世界是非常奇異的。 不確定性是不是使我們完全喪失了預測能 力？ 我們為何如此後知後覺？ 巨觀的人作微觀的觀察，一次就觀察一大堆相同的粒子是很自然的事！ 科學實驗自然地便是在重複多次，自然地便是在測量分布，也就是機 率！ 電子束的分佈 ≈ 物質波的強度 波函數是可以完全確定的， 我們對分布的預測是確定的。 原子核的衰變就是如此，我們無法預測單一一 顆原子核何時衰變，只能預測衰變發生的機 率。 如果是處理一大群原子核，知道衰變的機率就足夠了： 單一一顆原子核的衰變機率及對應一大群原子核的衰變分布。 dN N λ即是一個原子核每秒衰變的機率! dt N N 0e t 不衰變的機率即不衰變的粒子數 隨時間以指數遞減 量子力學的原則 波函數 Ψ 𝑥 代表一個粒子的狀態。 那如何預測對這個狀態的物理量的測量？ 對單一電子的物理量多次測量，不確定的結果形成一個可預測的分 布！ 此分布的平均值是可以測量及預測的：期望值-Expectation Value 重複的物理實驗測量的期望值！ 位置的期望值 (平均值） 以機率為權重對位置求和： x 2 x ( x ) dx ( x ) x ( x ) dx * 位置函數（比如位能）的期望值 (平均值） f ( x) 2 f ( x ) ( x ) dx ( x ) f ( x ) ( x ) dx * 那麼動量的期望值怎麼算？ 自由電子波函數，正弦電子波 p e ikx p k 這就是德布羅意所寫下的物質波所具有的性質 但它既有實數部也有虛數部（這是德布羅意不知道的！） 動量的期望值怎麼算？ p ( x ) p ( x ) dx * ？ 波函數不認得 p！ 以正弦波為例： 有一個辦法： i e p x p ( x ) i ( x ) dx x * 模仿位置期望值來書寫： x * ( x ) x ( x ) dx p * ( x ) i ( x ) dx x p i x 這樣書寫的式子對一般的波都對，因為一般的波可以寫成正弦波的疊 加！ 動量的函數（比如動能）的期望值 p ( x ) i ( x ) dx x * p i x f ( p ) ( x ) f i ( x ) dx x * 例如 p 2 2m 2 1 * ( x) i ( x ) dx 2m x 2 2 * ( x ) 2 m x 2 ( x ) dx 以上的對應提供一個處方來計算其他物理量測量的期望值 所有古典物理量都可以寫成位置與動量的多項式函數： f ( x , p ) 因此，何不假設所有古典物理量的期望值都可以寫 成….. * f ( x , p ) ( x ) f x , i ( x ) dx x 角動量 r p z 3 ( r ) x i y i ( r ) d r y x * 一個古典物理的數字物理量， 在量子力學中，對應一個作用在波函數上的運算動作！ 此物理量與位置及動量，保持相同的函數關係： ˆ f ( x , p ) f x , i f ( xˆ , pˆ ) x 古典物理的數字物理量，在量子力學中對應作用在波函數上的運算動作 ˆp i x f ( x , p ) fˆ x , i f ( xˆ , pˆ ) x xˆ x 這些運算動作將狀態的波函數映射到另一個波函數，稱為算子 Operaor！ x Oˆ Oˆ x 這個物理量測量的期望值可以這樣計算： Oˆ * ˆ ( x ) O ( x ) dx 量子力學的原則 狀態 波函數 ( x) 物理量測量 運算子 Oˆ 有古典對應的物理量，就直接將位置算子及動量算子代入同樣的數學形式： f ( x , p ) fˆ x , i f ( xˆ , pˆ ) x 測量期望值 Oˆ * ( x ) Oˆ ( x ) dx 狀態波函數滿足疊加定律，因此可視為向量， 所有的狀態波函數形成一個無限維向量空間，稱Hilbert Space。 量子世界由兩類物理實體構成 狀態 波函數 ( x) 由現有狀態決定未來狀態 測量 算子 Oˆ 古典世界中以上這兩類物理實體是合而為一 粒子的狀態就由可測量的物理量惟一地標定 例如位置函數既是測量結果，也同時代表物體的狀態 x ( t ) , p ( t ) 狀態 未來狀態 測量 未來測量 狀態與測量合而為一 x ( 0 ) x (t ) 由現有狀態決定未來狀態，就等同於由起使測量結果決定未來測量結果 對一個狀態的物理測量並非永遠都是不確定。 自由電子波函數，正弦電子波地動量是完全確 定！ ikx p e p k 測量看到某處有電子後，立刻再量一次它的位置，結果不可能有不同！ 那些狀態測量某些物理量是確定的？ 那些狀態測量某些物理量是確定的？ 物理測量 O 是確定的 算子化為數 Oˆ o 作用於測量結果確定的狀態，算子的效果與數一樣， Oˆ o 本徵函數 Eigenfunction 本徵值 Eigenvalue 數 o 就是確定的測量結果： 此確定的測量值稱為本徵值。 對一物理量測量結果確定的狀態就是該物理量算子的本徵態。 測量一個物理量時的不確定性是由測量結果分布的標準差或稱統計漲落來描述 ： Oˆ Oˆ 2 2 Oˆ 2 Oˆ Oˆ Oˆ 2 2 Oˆ Oˆ * 2 * ( x ) Oˆ ( x ) dx ( x ) Oˆ ( x ) dx 2 * 2 * o ( x ) ( x ) dx o ( x ) ( x ) dx o o 0 2 2 2 2 對於自由粒子，動量是確定的（因為守恆）（但位置測量不確定）： p0 pˆ e i p0 x pp00 i p0 x ( x ) p i0 p 0e( x ) p 0 x p0 ( x) 動量算子作用於自由粒子波函數，效果和乘上一個數 𝑝0 相同： 自由粒子波函數 𝜓𝑝0 是動量算子 𝑝 的本徵函數，本徵值為 𝑝0 。 在一般情況下，本徵值 𝑝0 可以是連續任意值。 剛剛作完位置測量的粒子，設其位置為 𝑥0 ，則其波函數只有在此處不為零！ 𝑥 x0 x x0 ( x ) x x0 ( x ) x 0 x0 ( x) xˆ 位置的本徵函數 剛剛作完位置測量的粒子，其位置完全確定！ 在一般情況下，本徵值 𝑥0 可以是連續任意值。 Oˆ o 動量的本徵函數 pˆ 波狀的態，動量完全確定 pˆ p0 ( x ) p 0 p0 ( x) 位置的本徵函數 xˆ 𝑥 x0 粒子狀的態，位置完全確定 x x0 ( x ) x 0 x0 ( x) E E 能量的本徵態 能量算子是由其他物理量算子組成： 2 2 Hˆ V ( xˆ ) 2m 2 m x 2 pˆ 2 V ( xˆ ) Hˆ E E E 2 2 2 m x 2 d 2 dx 2 E 2m 2 E ( x ) V ( xˆ ) E ( x ) E E ( x ) V ( x ) E E 與時間無關的薛丁格方程式是在求解能量的本徵態！ 所得的解波函數 Ψ𝐸 是能量算子的本徵函數，本徵值為 𝐸。 當位能在古典狀況下，使電子形成束縛態，本徵值 𝐸就不是連續，而是量子化的。 當位能在古典狀況下，使電子形成束縛態，本徵值 𝐸就不是連續，而是量子化的。 束縛態：運動範圍被限制於一個區域內，機械能小於無限遠處的位能 以此位能為例：𝐸 < 0 束縛態，能量本徵值是量子化的 𝐸 > 0 自由態，能量本徵值是連續的 簡諧振盪器 V ( x) 1 kx 2 2 d 2 dx Energy is quantized 2 E 2m 2 V ( x ) E n E 1 E n n 2 角動量 L r p Lˆ x yˆ pˆ z zˆ pˆ y Lˆ y zˆ pˆ x xˆ pˆ z Lˆ z xˆ pˆ y yˆ pˆ x 將位置及動量算子代入計算 Lx 、Ly 、Lz 無法同時測準 這一個向量的分量竟然無法同時測 準！ 但角動量大小 L2 、與一個選定的分量 如 Lz，卻可同時測準 這個性質對任何角動量守恆的系統都對！ L2 及 Lz可以有共同的本徵函數！ L2 及 Lz的本徵值是量子化的： L l ( l 1) 2 Lz m l 0 ,1, 2 ,3 ..... m l , l 1,.... 0 ..... l 1, l 氫原子的電子波函數就是角動量的本徵函數 nlm ( r , , ) R nl ( r ) lm ( ) m ( ) 量子力學的原則 對任一狀態 Ψ(𝑥) 作物理量 𝐴 的測量，我們無法預測測量的結果為 何。 若所得到的結果是 𝑎， 剛測量完時，立刻再作一次物理量 𝐴 的測量，結果一定確定是 𝑎， 因此剛測完時，粒子狀態將變為本徵值為 𝑎 的 𝐴 的本徵函數 𝜓𝑎 (𝑥) 所以測量使粒子的狀態由 Ψ 𝑥 瞬間變成了 𝜓𝑎 𝑥 。 Ψ 𝑥 𝐴→𝑎 𝜓𝑎 𝑥 古典力學假設物體的性質如位置，是獨立於觀察的行為而客觀存在 的。 看不看它都存在！ 因此觀察者可以以不擾動對象的方式來觀察！ or 對位置的測量，強迫電子由包含兩個反向移動波包的波 變形為有特定位置的粒子狀的態， 這也是標準干涉實驗中發生於觀察屏幕的狀況 觀察屏幕即是對位置的測量 觀察電子的行為強迫電子變形為粒子狀的態， 削足適履 量子世界特性三：所有有效的測量本質上必然擾動被觀察的系 統！ 實驗者即使再如何努力小心，都不可能是完全的客觀旁觀者，他的觀 察本質上就影響了粒子的表現。 Ψ 𝑥 𝐴→𝑎 𝜓𝑎 𝑥 or 測量對狀態 Ψ(𝑥) 的影響，到底將它變成哪一個本徵函數，我們無法預測控 制。 對 Ψ(𝑥) 作 𝐴 的測量，我們無法預測測量的結果為何。 但我們可以預測測量的期望值！ 意思是我們可以預測測量時量到結果是 𝑎 的振幅（振幅平方即是機率） 這個振幅如何計算？（提示：我們已經知道波函數是測量位置的振幅。） 先讓我們對物理量的本徵函數的集合 𝜓𝑎 (𝑥) 作進一步地了解！ 考慮 𝑝 的所有的本徵函數 𝜓𝑝 (𝑥)（本徵值為 𝑝 ）的集合 將波函數以這些 𝜓𝑝 (𝑥)作傅立葉分析： x k e ikx k 所有波函數都可以寫成 𝜓𝑝 (𝑥)的線性疊加！係數記為 𝜙𝑝 。 此展開非常類似向量對一組基底作分量的展開！ r ( x1 , x 2 , x 3 ) 3 x i eˆ i i 1 若視動量的所有本徵函數𝑒 𝑖𝑘𝑥 為一組基底，𝜙𝑘 就是Ψ(𝑥)相對於此基底的各個分量 𝑘 就是基底的足標（例如3D向量的1,2,3）。 因此所有的粒子狀態波函數Ψ(𝑥)組成一個向量空間 此向量空間的基底𝑒 𝑖𝑘𝑥 數目是無限大，所以維數是無限大 這樣的無限維向量空間有一個特別的名字：Hilbert Space 所有的粒子狀態波函數Ψ 𝑥 組成一個無限維的向量空間 波函數最重要的特性就是可疊加性！ 任何有可疊加性（可作線性組合）的物件幾乎都可以看成向量空間。 量子世界特性二A：電子的狀態可以是兩個古典情況下彼此互不相容的狀態的疊 加！ a 1 b 2 或許在微觀下疊加態不是很怪，但如果是巨觀的物件： 若不去觀察，放射性物質的狀態會演化為已衰變的狀態與未衰變狀態的疊加 若衰變，會導致貓的死亡！因此……. 這是貓的狀態！ pˆ 動量的本徵函數 pˆ p 0 ( x ) p 0 p 0 ( x ) 所有的動量的本徵函數 Ψ𝑝 組成一組此向量空間的基底 x x0 ( x ) x 0 x0 ( x ) 位置的本徵函數 xˆ x0 𝑥 所有的位置的本徵函數 Ψ𝑥 組成另一組此向量空間的基底 Hˆ E E E 所有的Hamiltonian(能量)的本徵函數 Ψ𝐸 組成另一組此向量空間的基底 x k e ikx 因此此式可以看成狀態向量沿一組基底的分量展開 k 以此展開來計算動量的期望值： p * ( x ) i ( x ) dx x 可見 𝜙𝑘 2 k k k * k p (k ) k 是測量此粒子動量得到 ℏ𝑘 的機率密度 Ψ 狀態向量沿此基底的分量 𝜙𝑘 = 測量得到粒子動量為 ℏ𝑘 的振幅 大膽推測： 狀態向量 Ψ 沿 𝜓𝑎 (𝑥) 的分量 = 對應於 𝐴 的測量得到結果是 𝑎 的振 幅。 2 所有的位置的本徵函數 𝜓𝑥0 也組成另一組此向量空間的基底 𝜓𝑥0 𝑥 x0 𝑥 整個波函數可以切成一個個尖函數 𝜓𝑥0 的組合，比重就是當地波函數的高度 Ψ(𝑥) ∞ Ψ 𝑥 = Ψ(𝑥′) ∙ 𝜓𝑥′ = 𝑥′ 𝑑𝑥′ ∙ Ψ(𝑥′) ∙ 𝜓𝑥′ Ψ(𝑥) Ψ(𝑥′) −∞ 與向量分量展開比較 r ( x1 , x 2 , x 3 ) 3 x i eˆi i 1 ⋯ ⋯ ⋯ 波函數 Ψ(𝑥′) 就是 Ψ 以此 𝜓𝑥′ 集合為基底的的分量 x’ 就是基底的足標（例如3D向量的1,2,3）。 𝑥′ 此分量 Ψ 𝑥 ′ 就是測量位置 𝑥 時得到 𝑥 ′ 的振幅 符合推 測： 狀態向量 Ψ 沿 𝜓𝑎 (𝑥)的分量= 對應於 𝐴 測量得到結果是 𝑎 的振幅 。 量子力學的原則 𝐴 的所有本徵函數 𝜓𝑎 (𝑥)組成一組基底。本徵值 𝑎 即足標。 任一狀態向量 Ψ 可以此 𝐴 本徵函數組成的基底作分量展開。 Ψ 𝑥 = 𝑐𝑎 ∙ 𝜓𝑎 (𝑥) 𝑎 量子狀態如同向量可以以不同的基底的分量展開來表示， 此電子狀態Ψ 𝑥 也可以以 𝑐𝑎 ∀𝑎 來表示。波函數並不是必要的。 波的圖像並不是必要的！波函數只是以位置本徵函數為基底時的分量。 狀態向量 Ψ（在此 𝐴 本徵函數組成的基底）沿 𝜓𝑎 𝑥 的分量 𝑐𝑎 = 對應於 𝐴 測量得到結果是 𝑎 的振幅 。 分量是向量沿基底的投影。 投影的計算就是向量與基底的內積： r 3 x i eˆ i x i r eˆ i i 1 狀態向量與基底的內積可以在任一組基底中計算， 最方便的是在位置本徵函數基底，x’ 就是基底的足標（等同3D向量的1,2,3） 內積對足標求和，現在寫成對空間 x 的積分: ∞ 𝑐𝑎 = Ψ ∙ 𝜓𝑎 → 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 ∗ ∙Ψ 𝑥 −∞ 這就是 𝐴 測量得到結果是 𝑎 的振幅！ 狀態向量在此基底的分量𝑐𝑎 可以寫成波函數與本徵函數的空間積分: Ψ 𝑥 = 𝑐𝑎 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 𝑎 ∞ 𝑐𝑎 = 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 ∗ ∙Ψ 𝑥 −∞ ∞ ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 −∞ ∗ ∙Ψ 𝑥 = 𝑐𝑏 ∙ 𝑏 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 −∞ ∗ ∙ ∗ ∙ 𝜓𝑏 𝑥 𝑐𝑏 ∙ 𝜓𝑏 𝑥 𝑏 −∞ ∞ = 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 == 𝑐𝑏 ∙ 𝛿𝑏𝑎 = 𝑐𝑎 𝑏 x k e ikx 狀態向量沿一組基底的分量展開可以看成傅立葉分析 k Ψ 狀態向量沿此基底的分量 𝜙𝑘 可以反傅立葉分析計算 ∞ 𝜙𝑘 = ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑘 𝑥 −∞ ∗ 𝑑𝑥 ∙ 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ∙ Ψ 𝑥 ∙Ψ 𝑥 = −∞ Aˆ 測量期望值 * ( x ) Aˆ ( x ) dx Ψ 𝑥 = 𝑐𝑎 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 狀態向量對本徵函數基底展開。 𝑎 𝑐𝑎 2 是𝐴 測量得到結果是 𝑎 的機率！ 狀態向量在此基底的分量𝑐𝑎 就是 𝐴 測量得到結果是 𝑎 的振 幅。 ∞ ∞ 𝑑𝑥 ∙ Ψ ∗ 𝑥 ∙ 𝐴Ψ 𝑥 = 𝐴 = −∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝑐𝑏 ∙ 𝜓𝑏 𝑥 𝑏 −∞ ∞ 𝑎 ∙ 𝑐𝑏∗ ∙ 𝑐𝑎 ∙ = 𝑎 𝑏 𝑐𝑏 ∙ 𝜓𝑏 𝑥 ∙𝐴∙ ∗ ∙ 𝑎 ∙ 𝑐𝑎 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑏 𝑥 𝑎 ∙ 𝑐𝑏∗ ∙ 𝑐𝑎 ∙ 𝛿𝑏𝑎 = 𝑏 𝑐𝑎 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 𝑎 ∗ ∙ 𝜓𝑎 𝑥 −∞ = 𝑎 ∗ 𝑏 −∞ ∞ = 𝑑𝑥 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐𝑎 𝑎 2 對應於 𝐴 測量得到結果是 𝑎 的振幅等於 Ψ 𝑥 與 𝜓𝑎 (𝑥) 的內積。。 ∞ 𝑐𝑎 = Ψ ∙ 𝜓𝑎 → 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 ∗ ∙Ψ 𝑥 −∞ 在 Ψ 狀態下測量發現粒子位於 𝜓 狀態的振幅等於 Ψ 𝑥 與 𝜓(𝑥) 的內積。 ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝜓 𝑥 −∞ ∗ ∙Ψ 𝑥 Dirac Notation 粒子的狀態可視為向量，因此可以以抽象的向量符號來代表。 如此波函數只是表現的一種，很方便，但並不是絕對 的。 所有之前的討論都可以以新的抽象語言重寫。 狀態 狀態的線性疊加 Ket ( x) Ψ vectors Bra ( x) Ψ co-vectors * 𝑐1 Ψ1 + 𝑐2 Ψ2 在此一向量空間上有一內積的結構： ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝜓 𝑥 −∞ ∗ ∙Ψ 𝑥 𝜓Ψ Bra Ket → Bracket 算子 A A ( x ) 物理量 𝐴Ψ 線性變換 如果足標是離散的，線性變換就是矩陣！ 算子就是普遍化（連續足標）的矩陣！ 測量期望值 Aˆ * ˆ ( x ) A ( x ) dx ( x) * 與 Aˆ ( x ) x 就是基底的足標 內積 𝐴Ψ 與 Ψ 內積 𝐴 = Ψ ∙𝐴 Ψ = Ψ 𝐴 Ψ 測量值確定的本徵態 Aˆ a x a a x 𝐴 𝜓𝑎 = 𝑎 𝜓𝑎 狀態向量 Ψ 可以此 𝐴 本徵函數組成的基底作分量展開。 Ψ 𝑥 = 𝑐𝑎 ∙ 𝜓𝑎 (𝑥) Ψ = 𝑎 𝑐𝑎 𝜓𝑎 𝑎 組成基底的狀態有正交關 𝜓𝑎 𝜓𝑏 = 𝛿𝑎𝑏 係： 分量等於 Ψ 與 𝜓𝑎 的內積（就如同在一般向量分析一樣）。 在 Ψ 狀態下測量發現粒子位於 𝜓𝑎 狀態的振幅 ∞ 𝑐𝑎 = 𝑑𝑥 ∙ 𝜓𝑎 𝑥 ∗ −∞ ∙Ψ 𝑥 𝑐𝑎 = 𝜓𝑎 Ψ 在 Ψ 狀態下測量發現粒子位於 𝜓 狀態的振幅等於 Ψ 與 𝜓 的內積。 ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝜓 𝑥 −∞ ∗ ∙Ψ 𝑥 𝜓Ψ 𝐴 𝜓𝑎 = 𝑎 𝜓𝑎 pˆ xˆ 動量的本徵函數 p0 pˆ p 0 p 0 p 0 位置的本徵函數 x0 x0 xˆ x 0 x 0 x 0 x 波函數 ( x ) ( x) x 就是以 x 為基底表示的向量分量！ (x) x * 你一樣可以選擇其他基底例如： p p p Stern-Gerlach Experiment 1922 讓原子束通過不均勻的磁場 Fz z dB 垂直位置與 z 方向角動量相關 dz 這個實驗等於是對 Lz 的測量。 2l 1 2 l 1 2 靜止時，電子也有角動量，稱為自旋 Spin 角動量 S ，大小固定，無法增加 S s ( s 1) S z ms s 1 2 ms 1 2 電子的自旋只有兩個態， 自旋向上及自旋向下 電子自旋只有兩個本徵態，因此其狀態是一個兩維的向量空 間。 狀態 𝑐1 𝑐1 ↑ + 𝑐2 ↓ = 𝑐 2 算子 𝑎11 𝐴= 𝑎 21 𝐴 = Ψ𝐴Ψ 1 0 𝐿𝑥 = 2 1 1 0 𝑎12 𝑎22 就以矩陣乘積來計算 1 0 𝐿𝑦 = 2 −𝑖 量子力學的數學就是線性代數！ 𝑖 0 1 1 0 𝐿𝑧 = 2 0 −1 若以算子𝐴的本徵態 𝜓𝑎 為基底，算子𝐴所對應的矩陣是對角化的！ 𝑎1 𝐴= ⋮ 0 ⋯ ⋱ ⋯ 0 ⋮ 𝑎𝑛 我們已經找到一個數學架構可以以獨立於基底（適用於任何基底）的方式對待狀 態。 是否可以也有一種辦法以”獨立於基底” 的方式來對待算子？ 算子與數最大的不同就是算子沒有交換性： xˆ pˆ pˆ xˆ x pˆ xˆ i x i x i xˆ pˆ x x x xˆ pˆ pˆ xˆ xˆ , pˆ i 0 xˆ , pˆ i 由這個關係可以推導出測不準原理： x p 兩個物理量能否同時精確測量，由它們是否可交換決定！ xˆ pˆ pˆ xˆ xˆ , pˆ i 0 電子的動量與位置不能同時測準！ Oˆ , Oˆ Oˆ Oˆ 1 2 1 2 Oˆ , Oˆ Oˆ Oˆ Oˆ 2 Oˆ 1 0 1 這兩物理量不能同時測量。 2 1 2 Oˆ 2 Oˆ 1 0 這兩物理量能同時測量。 他們不能有共同的 eigenfunction 他們有共同的 eigenfunction Lˆ Lˆ , Lˆ Lˆ Lˆ x , Lˆ z Lˆ x Lˆ z Lˆ z Lˆ x 0 2 2 z More on this later! z 2 Lˆ z Lˆ 0 幾個有用的公式： 𝐴, 𝐵 = − 𝐵, 𝐴 𝐴 + 𝐵, 𝐶 = 𝐴, 𝐶 + 𝐵, 𝐶 𝐴, 𝐵𝐶 = 𝐴, 𝐵 𝐶 + 𝐵 𝐴, 𝐶 𝐴𝐵, 𝐶 = 𝐴 𝐵, 𝐶 + 𝐴, 𝐶 𝐵 xˆ , pˆ i Canonical Commutation Relation p 是位置在Hamiltonian機制下的共軛動量： 𝜕𝐿 𝑝= 𝜕𝑥 有了這個關係，所有粒子運動的量子力學，都可以推導出 來。 我們以SHM的能階作例子來說明！ Quantum SHO 量子彈簧 2 1 1 1 𝑞 1 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚𝑥 2 − 𝑘𝑥 2 = − 𝜔𝑞 2 2 2 2𝜔 2 𝜕𝐿 𝑞 𝑝= = 𝜕𝑞 𝜔 𝑞≡ 𝑘 𝑥 = 𝑚𝜔𝑥 𝜔 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 = 𝑞𝑝 − 𝐿 現在引入量子化條件 Quantization Condition： 將ℏ設為1。 再引入一組位置與動量的線性組合：新的算子𝑎及他的共軛𝑎† ： 𝑞= 𝑎 + 𝑎† 2 𝑝= 𝑎 − 𝑎† 𝑖 2 量子化條件會給出算子𝑎及共軛𝑎† 的對易關係 Communication Relation： 將 Hamiltonian 以 a 算子來表示： 𝑞= 𝑎 + 𝑎† 2 𝑝= 𝑎 − 𝑎† 𝑖 2 由算子𝑎及共軛𝑎† 的對易關係可以得出算子𝐻與𝑎及𝑎† 的對易關係 AB , C ABC CAB A B , C A , C B 現在將共軛算子𝑎† 作用在算子𝐻的一個本徵態上 H E = E E 因此𝑎† 𝐸 也是算子𝐻的一個本徵態，其本徵值是原來的𝐸加上一個𝜔。 如果是算子𝑎作用在算子𝐻的一個本徵態 𝐸 因此𝑎 𝐸 也是算子𝐻的一個本徵態，其本徵值是原來的𝐸減掉一個𝜔。 The operator a+ can be used to raise the energy by one unit 𝜔. The operator a can be used to lower the energy by one unit 𝜔. a+ is called Raising Operator while a Lowering Operator. 連續使用 a the Lowering Operator，必須有停止之處： 𝑎 0 = 0 符合此條件的態只能有一個。（無簡併） 此態的能量為零： 𝐻 0 = 𝜔𝑎† 𝑎 0 = 0 這個本徵值為零的能量本徵態就稱為基態 Ground State！ 將𝑎† (Raising Operator) 連續作用在基態上，就得到整個能階態： 因此我們就得到量子彈簧的量子化能階（能量的本徵態）！ 𝐻 𝑛 = 𝜔 ∙ 𝑎† 𝑎 𝑛 = 𝑛𝜔 ∙ 𝑛 可以定義𝑎† 𝑎為粒子數算子𝑁 ： 𝑁 𝑛 = 𝑎†𝑎 𝑛 = 𝑛 𝑛 只定義 𝑛 到可以自由乘上一個係數 選擇此係數將這些能量本徵態歸一： 𝑛𝑛 =1 SHM的整個量子空間就被定義為以這些能量本徵態為基底所展開的空 間！ 在這個空間中， 𝑎及共軛𝑎† 的作用可以完全被決定了！ 𝑎† 𝑛 ∝ 𝑛 + 1 設係數為𝑐𝑛 ： 取此態與自己的內積： 𝑛 𝑎† † ∙ 𝑎† 𝑛 = 𝑐𝑛 利用類似的方法： 2 ∙ 𝑛+1 𝑛+1 𝑎† 𝑛 = 𝑛 + 1 ∙ 𝑛 + 1 𝑎 𝑛 = 𝑛∙ 𝑛−1 在這個空間中， 𝑎及共軛𝑎† 的作用已經完全被決定了！ 注意位置算子𝑞與動量算子𝑝是𝑎及𝑎† 的組合 因此𝑞與𝑝在這個空間的作用也就完全被決定了！ 1 1 Exercise 1:計算在能量本徵態 𝑛 ，位能2 𝜔𝑞 2 及動能2 𝜔𝑝2 的期望 值。 提示：𝑎 𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 𝑎† 𝑛 = 𝑛 + 1 ∙ 𝑛 + 1 qˆ , pˆ i 𝑝= 𝜕𝐿 𝜕𝑥 Canonical Commutation Relation 有了這個關係，所有粒子運動的量子力學，都可以推導出 來。 物理學家假設這個量子化條件適用於所有的物理系統！ 物理系統的量子化： 𝜕𝐿 找到次系統的自由度𝑞𝑖 ，求出對應的共軛動量𝑝𝑖 ： 𝑝𝑖 = 𝜕𝑞𝑖 寫下此系統的 Hamiltonian 𝐻 𝑞𝑖 , 𝑝𝑖 將𝑞𝑖 及𝑝𝑖 升級為算子： 𝑞𝑖 及𝑝𝑖 加入量子化條件： 𝑞𝑖 , 𝑝𝑗 = 𝑖ℏ𝛿𝑖𝑗 兩個物理量能否同時精確測量，由它們是否可交換決定！ xˆ pˆ pˆ xˆ xˆ , pˆ i 0 電子的動量與位置不能同時測準！ Oˆ , Oˆ Oˆ Oˆ 1 2 1 2 Oˆ 2 Oˆ 1 0 這兩物理量不能同時測量。 Oˆ , Oˆ Oˆ Oˆ 1 2 1 2 Oˆ 2 Oˆ 1 0 這兩物理量能同時測量。 他們不能有共同的 eigenfunction 他們有共同的 eigenfunction Lˆ Lˆ , Lˆ Lˆ Lˆ x , Lˆ z Lˆ x Lˆ z Lˆ z Lˆ x 0 2 2 z z 2 Lˆ z Lˆ 0 定理：若 𝐴, 𝐵 = 0，𝐴的本徵態 𝜓𝑎 也會是𝐵的本徵態 證明：考慮狀態𝐵 𝜓𝑎 ，計算算子𝐴對它的作用 𝐵 𝜓𝑎 𝐴 𝐵 𝜓𝑎 = 𝐴𝐵 𝜓𝑎 = 𝐵𝐴 𝜓𝑎 = 𝐵𝑎 𝜓𝑎 = 𝑎 ∙ 𝐵 𝜓𝑎 因此 𝐵 𝜓𝑎 是 𝐴 算子的本徵態，本徵值亦為 𝑎 一般來說，若無簡併（簡併的情況另議），一個本徵值對應一個本徵 態， 因此 𝐵 𝜓𝑎 必須正比於 𝐴 算子的本徵態 𝜓𝑎 （本徵值為 𝑎） 若 𝐵 𝜓𝑎 = 𝑐 𝜓𝑎 可見 𝜓𝑎 也是𝐵的本徵態，本徵值為 𝑐。得證！ 結論：因此𝐴與𝐵可以同時測量。 角動量算子 L r p Lˆ x yˆ pˆ z zˆ pˆ y Lˆ y zˆ pˆ x xˆ pˆ z Lˆ z xˆ pˆ y yˆ pˆ x 𝐿𝑧 , 𝐿𝑦 = 𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 , 𝑧𝑝𝑥 − 𝑥𝑝𝑧 = 𝑥𝑝𝑦 , 𝑧𝑝𝑥 + 𝑦𝑝𝑥 , 𝑥𝑝𝑧 = 𝑥, 𝑧𝑝𝑥 𝑝𝑦 + 𝑦 𝑝𝑥 , 𝑥𝑝𝑧 = 𝑧 𝑥, 𝑝𝑥 𝑝𝑦 + 𝑦 𝑝𝑥 , 𝑥 𝑝𝑧 = 𝑖 𝑧𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑧 = −𝑖𝐿𝑥 𝐿𝑦 , 𝐿𝑧 = 𝑖 𝐿𝑥 𝐴, 𝐵𝐶 = 𝐴, 𝐵 𝐶 + 𝐵 𝐴, 𝐶 𝐴𝐵, 𝐶 = 𝐴 𝐵, 𝐶 + 𝐴, 𝐶 𝐵 角動量算子的對易關係 𝐿𝑦 , 𝐿𝑧 = 𝑖 𝐿𝑥 𝐿𝑧 , 𝐿𝑥 = 𝑖 𝐿𝑦 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 = 𝑖 𝐿𝑧 𝐿2 , 𝐿𝑧 = 𝐿2𝑥 + 𝐿2𝑦 + 𝐿2𝑧 , 𝐿𝑧 = 0 Exercise 2: Prove it! L2 及 Lz可以有共同的本徵函數，記為： 𝑎, 𝑚 ， 𝑎ℏ2 及𝑚ℏ為其本徵 值。 𝐿2 𝑎, 𝑚 = 𝑎ℏ2 ∙ 𝑎, 𝑚 𝐿𝑧 𝑎, 𝑚 = 𝑚ℏ∙ 𝑎, 𝑚 𝐿 𝑧 , 𝐿𝑥 = 𝑖 𝐿𝑦 𝐿𝑧 , 𝐿𝑦 = −𝑖 𝐿𝑥 𝐿𝑧 , 𝐿𝑥 + 𝑖 𝐿 𝑦 = 𝐿 𝑥 + 𝑖 𝐿𝑦 𝐿𝑧 , 𝐿𝑥 − 𝑖 𝐿𝑦 = − 𝐿𝑥 − 𝑖 𝐿 𝑦 定義兩個算子：𝐿± ≡ 𝐿𝑥 ± 𝑖𝐿𝑦 𝐿𝑧 , 𝐿± = ±𝐿± 比較此式，與SHO中 𝑎及𝑎† 與H的commutator 𝑎(𝑎† )算子可以減少（增加）𝐻的本徵值一個𝜔 𝐿± 𝑎, 𝑚 = 𝑎, 𝑚 ± 1 𝐿± 可以增加及減少𝐿𝑍 的本徵值一個量子ℏ 𝐿𝑍 的本徵值是量子化的 Griffiths Cat Book 4-3 𝐿+ 增加Lz的本徵值不能無限制地繼續， 𝑎, 𝑚 中的𝑚一定有一極大值𝑚max 𝐿+ 𝑎, 𝑚max = 0 𝐿− 𝐿+ 𝑎, 𝑚max = 0 𝐿− 𝐿+ 𝑎, 𝑚max = 𝐿2 − 𝐿2𝑧 − ℏ𝐿𝑧 𝑎, 𝑚max = 0 2 𝑎ℏ2 − 𝑚max ℏ2 − ℏ2 𝑚max 𝑎, 𝑚max = 0 2 𝑎 = 𝑚max + 𝑚max 𝑎, 𝑚 中的𝑚一定也有一極小值𝑚min 𝐿 𝑎, 𝑚 − min = 0 類似的推理顯示： 2 𝑎 = 𝑚min − 𝑚min 因此： 𝑚min = −𝑚max ≡ −𝑙 𝑎 = 𝑙2 + 𝑙 2𝑙 必須是整數 L2 及 Lz可以有共同的本徵函數： 𝑙, 𝑚 L2 及 Lz的本徵值是量子化的： 𝐿2 𝑙, 𝑚 = 𝑙 𝑙 + 1 ℏ2 ∙ 𝑙, 𝑚 𝐿𝑧 𝑙, 𝑚 = 𝑚ℏ∙ 𝑙, 𝑚 m l , l 1,.... 0 ..... l 1, l l 0 ,1, 2 ,3 ..... 或是： m l , l 1,..... l 1, l l 1 3 5 , , ..... 2 2 2 以這些本徵態為基底建立線性空間。 角動量算子在這個空間的所有作用都可以被決定： 𝐿+ 𝑙, 𝑚 = 𝑙 − 𝑚 𝑙 + 𝑚 + 1 𝑙, 𝑚 + 1 𝐿− 𝑙, 𝑚 = 𝑙 + 𝑚 𝑙 − 𝑚 + 1 𝑙, 𝑚 − 1 角動量的本徵態可以根據量子數 𝑙 收集為一個一個的空間，稱為 Representation. 𝑙=0 Singlet æ 1 ö ç ÷ ç 2 ÷ ç 1 ÷ ç - ÷ è 2 ø 1 𝑙= 2 Doublet 2 æ 1 ö ç ÷ ç 0 ÷ ç -1 ÷ è ø 𝑙=1 Triplet 3 3 𝑙= 2 Quartet 4 0 æ ç ç ç ç è 3/2 1/ 2 -1 / 2 -3 / 2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø 所有角動量相關的算子在此空間中的作用已完全被決定！ 角動量算子是旋轉變換算子的generator， 因此角動量的Representation就是旋轉變換群的Representation 𝑙=0 Singlet æ 1 ö ç ÷ ç 2 ÷ ç 1 ÷ ç - ÷ è 2 ø 1 𝑙= 2 Doublet 2 æ 1 ö ç ÷ ç 0 ÷ ç -1 ÷ è ø 𝑙=1 Triplet 3 0 但在旋轉中，𝐿2 是不變的， 一個Representation中的狀態不會被”轉”到其他Representation中。 因此一個 Representation 在對稱變換下是封閉的 closed！ 在旋轉變換中，一個Representation中的狀態會”轉”（變換）到其他狀態。 如果物理在旋轉變換下是不變的，一個Representation中的所有狀態性質相同。 Schrodinger Picture States evolve with time, but not the operators: (t ) It is the default choice in wave mechanics. 狀態 波函數 測量 算子 Oˆ ö ¶Y æ 2 ¶2 ˆ i = ç+V (x)÷ Y = HY 2 ¶t è 2m ¶x ø Y(x, t) = x Y(t) xˆ x pˆ i x 𝑑 𝜓 𝑡 = −𝑖𝐻 𝜓S 𝑡 𝑑𝑡 S 此式的解可以如此來表示： 𝜓S 𝑡 = 𝑒 −𝑖𝐻𝑡 𝜓S 0 Evolution Operator: the operator to move states from 𝑡 = 0 to 𝑡. Heisenberg Picture In quantum mechanics, only expectation values are observable. For the same evolving expectation value, we can instead ask operators to evolve. O S ( t ) O S S ( t ) e S (0) e iHt OSe iHt iHt S (0) O S e iHt S (0) S ( 0 ) S ( 0 ) O t S ( 0 ) That is, we can move the time evolution to the operators: O H t e iHt OSe iHt Now the states do not evolve. H S (0) How does the operator evolve? d dt O H t iH e iHt OSe iHt ie iHt OSe i HO H t O H t H i H , O H t iHt H Heisenberg Equation The rate of change of operators equals their commutators with H. 在不確定的年代，還有甚麼是確定的？ 光譜是完全確定 由不確定所造成的完全確定的 量子彈簧 e 一個如電子的微觀粒子，位於一個彈簧般的位能 內： 1 2 1 2 E kx p 2 2m 測不準原理強制微觀的位置及動量無法同時測準！ 位置與動量是無法交換的算子 1 2 1 2 ˆ E k xˆ pˆ 2 2m 令人驚訝的是，將位置及動量算子代入計算能量，能量的測量值竟然不是連續的 E nhf 粒子位置，動量無法同時確定 n 0 ,1, 2 , 3 量子彈簧能量是量子化的！ 處於一個能階狀態上的彈簧能量是完全確定的 由不確定所造成的完全確定的 角動量大小及分量可以加上一個磁場來加以測量 加上一 z 方向磁場，觀察原子光譜，即可測角動量 U B e 2m L U Be 2m Lz Zeeman Effect