Transcript Génération de résidus Par observateur d’état (1) ) (

Génération de résidus
Par observateur d’état (1)
Modèle du système
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k )
x(0)  x 0
Système
supervisé
y(k )  Cx(k )  Du(k )
Observateur de Luenberger
xˆ (k  1)  Axˆ (k )  Bu(k )
 L( y(k )  Cxˆ (k )  Du(k ))
xˆ (0)  xˆ 0
Observateur
d’état
Etat estimé
Erreur d’estimation de l’état: e x (k )  x(k )  xˆ (k )
e x (k  1)  ( A  LC)e x (k )
e x (0)  x0  xˆ 0
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Génération de résidus
Par observateur d’état (2)
e x (k ) tend exponentie llement vers zéro
si et seulement si | i ( A  LC) | 1 i  1,...,n
Gain matriciel L approprié permettant de fixer
les valeur propres à 1 ,...,  n  existe 
(C,A) observable
Erreur d’estimation de la sortie
e y (k )  y(k )  Cxˆ (k )  Du(k )  y(k )  yˆ (k )  Ce x (k )
Tend exponentie llement vers zéro quand e x (k )
tend vers zéro
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Génération de résidus
Par observateur d’état (3)
Modèle du système
Défaut
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k )  Ef (k ) x(0)  x 0
Système
supervisé
y(k )  Cx(k )  Du(k )  Gf (k )
Observateur de Luenberger
ˆ (k  1)  Ax
ˆ (k )  Bu(k )
x
ˆ (k )  Du(k ))
 L( y(k )  Cx
ˆ (0 )  x
ˆ0
x
Observateur
d’état
Etat estimé
Erreur d’estimation de l’état
e x (k  1)  ( A  LC)e x (k )  (E  LG)f (k )
e x (0)  x 0  xˆ 0
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Génération de résidus
Par observateur d’état (4)
Erreur d’estimation de la sortie
e y (k )  y(k )  Cxˆ (k )  Du(k )  y(k )  yˆ (k )  Ce x (k )  Gf (k )
Ne tend généralement plus vers zéro quand f n’est
pas nul ou du moins présente un transitoire lors de
l’apparition du défaut.
Peut être utilisé comme résidu
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Génération de résidus
Par observateur d’état (5)
Isolation des défauts de
capteurs
u
y1
Système
supervisé
Concevoir p observateurs
sur la base des modèles
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k )
yi (k )  Ci x(k )  Diu(k )  fi (k )
i  1,...,p
Requiert l’obsevabilité des
p systèmes
Structure à observateurs
dédicacés
Observ. 1

y2
yp
e y1


Observ. p
e yp
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Génération de résidus
Par observateur d’état (6)
ème
i
erreur de sortie ne dépend que de fi
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k )
yi (k )  Ci x(k )  Diu(k )  fi (k )
xˆ i (k  1)  Axˆ i (k )  Bu(k )  Li ( yi (k )  Ci xˆ i (k )  Diu(k ))
e x,i (k  1)  ( A  LiCi )ei (k )  Li fi (k )
e y,i (k )  Cie x,i (k )  fi (k )
avec e x,i (k )  x(k )  xˆ i (k ); e y,i (k )  yi (k )  yˆ i (k )
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Génération de résidus
Par observateur d’état (7)
Cas général en présence d’entrées inconnues
et d’isolation de défauts quelconques
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k )  Edd(k )  E f f (k )
y(k )  Cx(k )  Du(k )  Gdd(k )  Gf f (k )
Problème fondamental de la génération de résidus:
Déterminer un filtre de la forme
x r (k  1)  Ar x r (k )  Bru(k )  Mr y(k )
r (k )  Cr x r (k )  Dru(k )  Nr y(k )
tel que 1) si f  0, r  0 quand t   pour tout u et d
2) si f  0, r est affecté par le défaut
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Génération de résidus
Par observateur d’état (8)
Solution en 2 étapes:
1) Extraire un système observable d’état  (k )  Px(k )
dans lequel l’entrée d n’apparaît pas:
 (k  1)  A (k )  By y(k )  Buu(k )  Ef f (k )
 (k )  My(k )  C (k )  D u(k )  Gf f (k )
2) Concevoir un observateur d’état pour ce système
ˆ(k  1)  Aˆ(k )  By y(k )  Buu(k )
 L(My(k )  C ˆ(k )  D u(k ))
r(k )  My(k )  C ˆ(k )  D u(k )
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Génération de résidus
Par observateur d’état (9)
Observateur fonctionnel (reconstruction de
fonctions linéaires de l’état)
Etape 1 revient à résoudre un système
d’équations algébriques non linéaires
Différentes approches (voir bibliographie)
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