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Predicción II
(predicción modelos ARMA)
“There are two kind of forecasters: those who don´t know and those who don´t know they don´t know”
John Kenneth Galbraith (1993)
Predicción Optima de modelos ARMA
Sea un modelo ARMA general
 ( L) Z t  ( L)a t
( L)
Zt 
a t   ( L)a t  a t   1a t 1   2 a t 2  .....
 ( L)
Objetivo: dada la información hasta el periodo n, Z n , Z n 1 ,......Z1
queremos predecir ‘l-periodos adelante’
Zˆ n (l )
en t  n  l
Z l n 


j 0
j
a n l  j 
l 1


a n l  j   j a n l  j
j 0
j l

 

j
futuro a
ˆZ (l )   *a  *l 1a  *l 2a  ......
n
l n
n 1
n 2
pasadoa
Que es  * ?
Criterium: Minimizar el error cuadrático medio
2
ˆ
min
E
(
Z

Z
(
l
))
n l
n
*

l 1
E ( Z n l
 Zˆ n (l )) 2   2 a  j   a
j 0
2
2

 (
j 0
l j
 l  j )
* 2

E ( Z n l  Zˆ n (l )) 2
2
*
  a  2( l  j  l  j )( 1)  0 
*

j 0
 l j   l j
*
Zˆn (l )   l an  l 1an1  l 2an2  ........
Otra interpretación de la predicción optima
Sea
l 1

j 0
j 0
Z l  n   j a n l  j   l  j a n  j

E ( Z n l | Z n , Z n 1 .....)   l  j a n  j   l a n   l 1a n 1   l 2 a n 2  ....
j 0
Entonces
Zˆ n (l )  E ( Z n l | Z n , Z n 1 .....)
Dada una función de perdida cuadratica, la predicción optima es la
esperanza condicional, donde condicionamos sobre el conjunto
de información pasada.
Fuentes del error de predicción
Sea nuestra predicción
ˆ) :
 n (I n , 
ˆ
e n (l)  Z n  l   n (I n , ) 
{Z n  l  E[ Z n  l | I n ]} 
{E[ Z n  l | I n ]   n (I n , )} 
ˆ
{ h (I n , )   h (I n , )}
Propiedades del error de prediccion
l 1

j 0
j 0
Z l n   j an l  j   l  j an j
Como Z n l  Zˆ n (l )  en (l )
l 1
error de predicción  en (l )  Z n l  Zˆ n (l )   j an lMA(l-1)
j
j 0
1. La predicción Zˆ n (l ) y el error de predicción en (l ) estan
incorrelacionados
2.
E (en (l ))  0
Insesgado
l 1
3. Var (en (l ))   j  a
2
2
j 0
4.
en (l ) para l  1 estan correlacio nados
Intervalos de Predicción
Asumiendo normalidad en los errores, los (1-a) 100% limites
del intervalo de predicción se calculan como
l 1

2 1/ 2
Z n (l)  N  / 2 [1   j ]
j 0
a
donde N  / 2 son los valores criticos de una Normal (0,1), tal
que P( N  N )   / 2 .
 /2
Propiedades del error de prediccion (cont)
Errores de predicción 1-periodo adelante, e n (1), e n 1(1).....e n  l (1) ,
están incorrelacionados en (1)  Zn1  Zˆn (1)  an1
En general los errores de predicción, l-periodos adelante
estan correlacionados
en (l )  Z n l  Zˆ n (l )  an l   1an l 1  ...... l 1an 1
en  j (l )  Z n  j l  Zˆ n  j (l )  an  j l   1an  j l 1  ...... l 1an  j 1
cov( en (l ), en  j (l )) 
n-j
n l  j
2



 i n i n  j
i  n 1
n
n-j+l n+l
jl
Predicción de un proceso AR(1)
Z t  Z t 1  at  Zˆ n (l )  ?
l 1
Z n 1  Z n  an 1
E ( Z n 1 |  n )  Z n
l2
Z n  2  Z n 1  an  2
E ( Z n2 |  n )   2 Z n
l
ˆ
for any l Z n (l )   Z n
La predicción decae geometricamente cuando l aumenta
Predicción de un proceso AR(p)
Z t  1Z t 1  2 Z t 2  ........ p Z t  p  at 
Zˆ n (l )  E ( Z n l | Z n , Z n 1 ,.....)  ?
l  1 Z n 1  1 Z n  2 Z n 1  ........ p Z n  p 1  an 1
Zˆ n (1)  E ( Z n 1 |  n )  1Z n  2 Z n 1  ........ p Z n  p 1
l  2 Z n 2  1 Z n 1  2 Z n  ........ p Z n  p 2  a n 2
Zˆ n (2)  E ( Z n 2 |  n )  1Zˆ n (1)  2 Z n  ........ p Z n  p 2
para cualquiera
l Zˆ n (l )  1Zˆ n (l  1)  2 Zˆ n (l  2)  ........ p Zˆ n (l  p )
Necesitamos calcular las predicciones previas l-1,l-2,….
Algunos autores llaman a este metodo “plug-in”.
Predicción de un proceso MA(1)
Z t  at  at 1
Zˆn (l )  E ( Znl | I n )  ?
l 1
Z n 1  an 1  an
Zˆ n (1)  E ( Z n 1 )  an
l2
l 1
Z n  2  an  2  an 1
Zˆ n 2   0
Zˆ n (l )  0
Zn
an 
1  L
Esta es la media del proceso
Predicción de un proceso MA(q)
Z t  (1  1 L   2 L  ...... q L )at
2
q
( l   l 1 L   l 2 L  .... q L )an l  q
Zˆ n (l )  E ( Z nl | I n )  
lq
0
1
donde an 
Z
q n
1  1 L  .... q L
2
q l
Actualización de predicciones
Supongamos que tenemos las siguientes predicciones con información
hasta el periodo “n”
Zˆ (1), Zˆ (2),......Zˆ (l )
n
n
n
Z n 1
Cuando llega nueva información,
podemos actualizar las predicciones previas?
1.
2.
en (l )  Z n  l  Zˆ n (l ) 
en 1 (l  1) 
en 1 (l  1) 
3.
l 11

j 0
l 1

j 0
j
j
l 1

j 0
j
an  l  j
an 1l 1 j 
l

j 0
j
an  l  j
an  l  j   l an  en (l )   l an
Z n  l  Zˆ n 1 (l  1)  Z n l  Zˆ n (l )   l an
Zˆ n (l )  Zˆ n 1 (l  1)   l an
Zˆ n 1 (l )  Zˆ n (l  1)   l an 1
Problems
P1: Para cada uno de los siguientes modelos:
(i) (1 - 1L) Z t  a t
(ii ) (1  1L   2 L2 ) Z t  a t
(iii ) (1 - 1L)(1  L) Z t  a t
(a) Encuentra la predicción l-periodos por delante de Zn+l
(b) Encuentra la varianza del error de predicción a l-periodos
por delante para l=1, 2, y 3.
P2: Con la ayuda del operador annihilator (definido en el
apendice) escribe la expresión para la predicción de un
modelo AR(1) en terminos de Z.
P3: Haz P2 para un modelo MA(1) .
Apendice I : El operador annihilator
Buscamos una expresión compacta del operador de retardos que nos
sirva para expresar las predicciones
(L)
 L s  1L1 s  ...  s 1L1  s L0  s 1L1  s  2 L2  ...
Ls
El operador annihilator es
[
 (L)
]  s L0  s 1L1  s  2 L2  ..
Ls
(L)
Entonces si Z  (L)a , E[ Z
|
a
,
a
,
...]

[
] a t
t
t
t  s t t 1
Ls
Apendice II: Predicción basada en retardos de Z
Sea
 ( L) Z t  a t
Z t  ((L)) 1 a t   (L)a t
Entonces
(L)
1
E[ Z t  s | Z t , Z t 1 , ...]  [
]
Zt
(L)
Ls
Formula de
Wiener-Kolmogorov