Transcript Clase final - Universidad del CEMA

Estadística
2011
Maestría en Finanzas
Universidad del CEMA
Profesor: Alberto Landro
Asistente: Julián R. Siri
Clase final
1. Metodología Box-Jenkins
1.1. Metodología B-J: Identificación
1.2. Metodología B-J: Estimación
1.3. Metodología B-J: Verificación
1.4. Metodología B-J: Predicción
1. Metodología Box-Jenkins
¿Serie Estacionaria?
Transformación o
Diferenciación
No
Si
(1) Identificación
a) ¿Es el proceso AR?
¿MA? ¿ARMA?
b) ¿Cuál es el valor de p?
¿q?
(2) Estimación de
Parámetros
a) Preliminar
b) Máxima Verosimilitud
No
(3) Verificación
¿El modelo es razonable
desde el punto de vista
estadístico?
Si
(4) Pronóstico
1.1. Metodología B-J: Identificación
•Para la identificación se utilizan:
–La función de autocorrelación muestral (FAC)
–La función de autocorrelación parcial muestral (FACP)
•Como bien saben, estas surgen de estimar los coeficientes k y kk a
partir de los datos que constituyen la serie a modelar.
•Pero OJO! Estos son los coeficientes estimados y no los poblacionales.
Entonces, necesitamos considerar la distribución muestral, y
específicamente, la varianza de los estimadores para juzgar la
significatividad de discrepancias posibles entre estimación y parámetro.
1.1. Metodología B-J: Identificación
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
MA siempre es
estacionario.
Módulo de las
raíces de  p  L   0
mayores que 1.
Condición de
estacionariedad
Módulos de las
raíces de  p  L   0
mayores que 1.
Condición de
invertibilidad
AR siempre es
invertible.
FAC
Infinita.
Finita.
Decrecimiento
exponencial y/o
ciclos amortiguados.
Infinita.
Decrecimiento
exponencial y/o
ciclos amortiguados,
luego de q-p
desfasajes.
FACP
Decrece
asintóticamente
hacia cero. Finita.
Se interrumpe en p.
Infinita. Dominada
por decrecimiento
exponencial y/o
ciclos luego de p-q
desfasajes.
Raíces de q  L   0 Raíces de q  L   0
mayores que 1.
mayores que 1, en
valor absoluto.
Se interrumpe en q.
Infinita. Dominada
por decrecimiento
exponencial y/o
ciclos amortiguados.
1.1. Metodología B-J: Identificación
Ergodicidad:
En las series económicas, es imposible recrear las condiciones bajo las
cuales se realiza un experimento, por lo que la estabilidad y fiabilidad de
nuestra estimación se halla restringida por la imposibilidad de repetir el
experimento en idénticas condiciones.
Eso sí, podemos obtener estimaciones estadísticamente consistentes a
partir de una única serie de tiempo, gracias a una propiedad que cumplen
los procesos estacionarios, la de ergodicidad.
Se prueba que un proceso estacionario es ergódico, si se verifica que:
lim k  0
k 
Siendo ésta condición suficiente pero no necesaria.
1.2. Metodología B-J: Estimación
Trabajaremos con modelos ARMA(p,q). En general, su estimación
conduce aesquemas de cálculo que presentan las siguientes
dificultades:
a) Las ecuaciones a resolver son no lineales en los parámetros.
b) Las ecuaciones implican p valores desconocidos de la variable y y q
valores del shock aleatorio e.
1.3. Metodología B-J: Verificación
En lo que respecta a la verificación del modelo, su validación
abarca los siguientes aspectos:
a) Suficiencia en cuanto a la cantidad de parámetros del modelo
propuesto.
b) Significatividad de los coeficientes estimados.
c) Análisis de las condiciones de estacionariedad e invertibilidad
del modelo estimado.
d) Análisis de los residuos de la estimación.
1.3. Metodología B-J: Verificación
I. Número de parámetros del modelo
La búsqueda de la parsimonia implica que el modelo debe
utilizar el mínimo número de parámetros para representar el
proceso generador de los datos. El exceso de parámetros genera
el “sobreajuste”, creándose problemas adicionales en la
estimación.
II. Significatividad de los coeficientes estimados
Para cada coeficiente en particular es aplicable los test “t”
individuales, suponiendo una distribución asintóticamente
normal del estadístico. De manera conjunta puede contrastarse
el agregado de rezagos de la variable y o en el ruido blanco e,
mediante los test basados en la distribución F.
1.3. Metodología B-J: Verificación
II. Significatividad de los coeficientes estimados
Un criterio alternativo para comparar distintos modelos ARMA
son los ya mencionados criterios de información, tales como el
AIC, el BIC y el AICC.
III. Condiciones de estacionariedad e invertibilidad
Es llevada a cabo mediante la factorización de los polinomios
autorregresivos y de medias móviles, estudiándose las
respectivas raíces. Si alguna está cerca de la unidad, habrá que
diferenciar el proceso.
1.3. Metodología B-J: Verificación
IV. Análisis de los residuos de la estimación
Para un modelo ARMA(p,q):  p  L  yt  q  L  et , se verifica
que:
1
q
et  
 L  p  L yt
Constituye un “ruido blanco” (o sea, que su FAC es siempre
igual a cero).
Pueden evaluarse individualmente los coeficientes de
autocorrelación de las perturbaciones, mediante intervalos de
confianza y la hipótesis nula de que dichos coeficientes son
iguales a cero. A su vez, podemos contruir test de
significatividad conjunta (los ya mencionados test Q de BoxPierce, postergado luego por el estadístico de Ljung-Box, que no
sobreestima a la distribución chi-cuadrado).
1.4. Metodología B-J: Predicción
Hay que distinguir lo que el período muestral de lo que es el período de
predicción. El primero corresponde al período en el que se dispone de
información, utilizada en las etapas de identificación y estimación del
modelo ( t  T ). El segundo remite al lapso para el que se realiza la
predicción ( t  T ).
Los pronósticos a realizar pueden ser tanto puntuales como por intervalo.
Yt  l
1.4. Metodología B-J: Predicción
¿Qué buscamos? Pronosticar un valor futuro de Y, k períodos adelante
en el tiempo, con base en el proceso estocástico subyacente (dado que el
proceso generador de los datos lo desconocemos).
¿Cuán bueno es nuestro pronóstico? La fiabilidad de la predicción se
mide en términos del error cuadrático medio.
1.4. Metodología B-J: Predicción
Propiedades del predictor:
Deseamos que el mismo sea insesgado. Denotando:
YT  k  : predictor en T para T+k;
YT  K : valor real de Y registrado en T+k
Entonces, para que se cumpla tal condición, debe verificarse que:
E YT  k   E YT  k 
Si disponemos de T observaciones de Y, y deseamos pronosticar el
valor futuro k períodos adelante, debemos tomar como predictor a:
YT  k   E YT  k Y1 ,..., YT 
Mientras que su error de predicción será: eT  k   YT  k  YT  k 
1.4. Metodología B-J: Predicción
Estructura del error de predicción
Como mencionamos en la clase pasada, la varianza del error de
predicción depende:

2
eT
2 k 1
e
 k    
i 0
2
i
a) De la naturaleza estocástica del modelo (la varianza de las
perturbaciones, que no puede incorporarse) y del horizonte de
predicción.
b) De la identificación del modelo, que determina las
ponderaciones de los coeficientes  .
c) Errores de estimación, puesto que los parámetros son
estimados en base a una cantidad finita de datos.
1.4. Metodología B-J: Predicción
•A partir del predictor y el error cuadrático medio, podemos
construir un Intervalo de Confianza, suponiendo una distribución
normal para las predicciones:
p YT  k   z 2  eT  k   YT  k  YT  k   z 2  eT  k    1  


1.4. Metodología B-J: Predicción
Evaluación de la capacidad predictiva del modelo
Se realiza comparando los valores predichos contra los
observados finalmente. Podemos realizarlo tanto dentro de la muestra,
como con el período de predicción (una vez que ya se concreta el
mismo).
Resulta útil un gráfico de realización-predicción, volcando las
variaciones porcentuales en los valores predichos (designados con Pt ),
con los cambios porcentuales en los valores reales (en este caso serán At ).
Finalmente, una línea de 45° corresponde a la predicción perfecta.
Los valores observados en los cuadrantes II y IV corresponden a
errores de rotación.
1.4. Metodología B-J: Predicción
Evaluación de la capacidad predictiva del modelo
En base a este gráfico podemos construir un índice de
desigualdad (conocido como índice de Theil):
U2 
T k

t T 1
 Pt  At 
2
T k

t T 1
At 2
El coeficiente de desigualdad viene definido por la raíz cuadrada, con
signo positivo:
0 U   U2  
Un valor cercano a cero corresponde a la predicción perfecta, el valor
unitario indica que el modelo no predice mejor que la repetición del
último valor observado, y en cambio si el valor es mayor a la unidad,
entonces la capacidad predictiva del modelo se encuentra seriamente
comprometida.
FIN
Me pueden escribir a:
[email protected]
Las presentaciones estarán colgadas en:
www.cema.edu.ar/u/jrs06