Transcript Cours 2 Méthode des différences finies Approche stationnaire

Cours 2
Méthode des différences finies
Approche stationnaire
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Version 09/2006 (E.L.)
Technique de discrétisation en 1D
Construction du système
Prise en compte des conditions aux limites
Notion de convergence
Extension au 2D
NF04 - Automne - UTC
1
Méthode des différences finies
Objectif : transformer une équation « continue » valable sur un domaine
continu en un système à N équations pour N inconnues associées
à un domaine discret appelé maillage
u  2u
L(u, , 2 ...)  f  0
x x
+ conditions aux limites
 k11 k12
k
 21 k22
 k31 k32
k13   u1   f1 
   
k23  u2    f 2 
k33  u3   f3 
Méthode : écrire sous forme discrète (i-1, i, i+1 …) tous les termes de
dérivées présents dans l’équation d’équilibre appliquée en i
ainsi que dans les C.L.
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Différences finies 1D : méthode générale
d 2T  x 
 f  0,  x   0, L 
Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par : k
2
dx
T ( x  0)  30
dT
q  L   k
( L)  h T  L   Text 
dx
1. On discrétise le domaine en « N » nœuds (maillage) :
A domaine discret, équation « discrète » !
2.
d 2T
On applique alors cette équation au nœud « i » : k 2  fi  0  i  1,..., N
dx i
A ce stade, il nous faut donc discrétiser le terme de dérivée seconde !
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Discrétisation des termes de dérivées

Utilisation des développements limités :
notation indicielle
T  x  x   T  i  1  T (i ) 
T  x  x   T  i  1  T (i ) 

dx
x 
i
dx
2
i
x 
d T x
i
dx
2
i
2
2
d T x
3

2
2
dT
dx
d T x
2
dT
2
dx
3
i
6
d T x
3

dx
3
i
3
6
3
 x (...)
(1)
 x (...)
(2)
4
4
On combine ces deux équations. Par exemple, la somme de (1) et de (2) :
T  i  1  T  i  1  2 T (i )  2
permet d’isoler :
2
d T
dx

2
i
d T x
2
dx
2
i
2
2
1   2 
 x (...)
4
T  i  1  2 T (i )  T  i  1
x 2
 x (...)
2
représentatif de l’ordre de tous les termes tronqués
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Principales formes discrètes à connaître
En combinant de différentes manières, on obtient ainsi les approximations
discrètes suivantes :
Précision du schéma
(1)

T T
dT
 i 1 i
dx i
x
x ...
Décentré droit
(2)

T T
dT
 i i 1
dx i
x
x ...
Décentré gauche
1   2 
T  2Ti  Ti 1
d 2T
 2  i 1
dx i
x 2
x 2 ... Centré
1   2 

T T
dT
 i 1 i 1
dx i
2x
x 2 ... Centré
Nouvelle notation : T(i+1)=Ti+1
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Termes
tronqués
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Type
5
Interprétation graphique
Discrétisation centrée :
relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré
(noeud i) sont équivalentes.
Discrétisation décentrée :
relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré
(noeud i) ne sont pas équivalentes.
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Construction globale du système

La relation discrète finalement obtenue s’écrit :

x 2
Ti 1  2Ti  Ti 1  
fi
ou encore :
k
Elle est applicable seulement aux nœuds i=2, …, N-1 :
i  2:
i  3:
x 2
T1  2T2  T3  
f2
k
x 2
T2  2T3  T4  
f3
k
i  N  1: TN  2  2TN 1  TN  
x
f ( N 1)
k
2
0 0 0

1 2 1

0 1 2



0 0 0

0 0 0
0 ... 0
0 ... 0
1 ... 0
0 ... 1
0 ... 0
k
Ti 1  2Ti  Ti 1
 fi  0
2
x
0  T

0 0  T

0 0   T



2 1  T

0 0   T
0
1
2
3
N 1
N
 
 
 f
 
   f

 
 
  f
 
 


x 
k

x 
k



x 
k

0

0
2
2
2
3
2
N 1
Écriture sous forme matricielle
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Condition à la limite de type DIRICHLET
On a la condition suivante :
T ( x  0)  T  30
1
Méthode : on ajoute :
1. un terme unité « 1 » sur la diagonale du nœud concerné
2. la valeur connue dans le 2nd membre
1 0 0

1 2 1

0 1 2



0 0 0

0 0 0
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0 ... 0
0 ... 0
1 ... 0
0 ... 1
0 ... 0
0  T

0 0  T

0 0   T



2 1  T

0 0   T
0
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1
2
3
N 1
N
30
 

 


x
 f

k
 

x 
   f
k


 

 


x
  f
k
 

0
 

2
2
2
3
2
N 1
8
Condition à la limite de type CAUCHY (1/2)
On a la condition suivante :
avec noeud fictif !
dT
q  L   k
( L)  h T  L   Text 
dx
Méthode : on discrétise le terme de dérivée présent dans la condition à la
limite (aussi appelée condition de type « flux »).

Avec noeud fictif : plus long mais précis !
On applique la relation d’équilibre
T T
k N 1 N 1  h TN  Text 
discrète en N car le nœud N+1
2x
existe :
hx
x 2
 TN 1  TN 1  2
TN  Text 
i  N : TN 1  2TN  TN 1  
fN
k
k
hx 
x
x

 2TN 1   2  2
T


f

2
h
Text
N
 N
k 
k
k

2
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Condition à la limite de type CAUCHY (2/2)
sans noeud fictif !

Sans noeud fictif : rapide mais perte en précision !
On a recours à une formule décentrée pour la CL : k
conduisant ainsi à :
TN  TN 1
 h TN  Text  (précis ordre 1)
x
x 
x

TN 1  1  h  TN   h Text
k 
k

+ : rapide à mettre en oeuvre
- : on diminue la précision globale du schéma
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Système final à résoudre
1 0 0

1 2 1

0 1 2



0 0 0


0 0 0

0 ... 0

 T
0
0

 T

0
0
  T



2
1
 T
hx   

2  2  2
   T
k  

0
0
1
0 ... 0
2
1 ... 0
3
0 ... 1
N 1
0 ... 0
N
30

 
 
 f x
k
 
 
 f x
k
 

 
 
 f x
k
 
  x
x
 
f  2h T
 k
k
2
2
2
3
2
N 1
2
N
ext













Rem : ce système est basé sur le traitement de la CL avec nœud fictif
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Affichage et post-traitement de la solution
Pour des systèmes de tailles supérieures à 3-4, on a généralement
recours à des outils informatiques dédiés à la résolution et l’affichage.
Apprentissage de l’outil Matlab lors des séances TP de NF04
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Pour résumer …

Mailler le domaine

Discrétiser l’équation d’équilibre et les conditions aux limites :


En remplaçant toutes les dérivées par leur forme discrète
Construire le système global

En appliquant les équations discrètes sur les nœuds concernés

Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab)

Post-traiter :
Tracer la solution
 Calculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) …

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Fiabilité du modèle : notion de convergence
Modèle
mathématique
(continu)
k
d 2T  x 
 f 0
dx 2
Modèle
numérique
(algébrique)
k
Ti 1  2Ti  Ti 1
 fi  0
x 2
Erreur introduite en négligeant les termes des
développements limités à partir d’un certain ordre
Question : comment s’assurer que l’équation discrète est représentative,
en termes de phénomènes physiques, de l’équation de départ ?
Méca. Flu., thermique : transport, diffusion …
MMC : traction, flexion, dynamique …
Idée : le comportement du modèle numérique doit converger vers le
comportement du modèle mathématique (censé être proche du réel …).
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Notion de convergence
Méthode : s’assurer de la propriété de CONVERGENCE de l’équation discrète.
Théorème de LAX :
Convergence = consistance + stabilité
Comportement numérique
proche du « réel »
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Absence d’oscillations
parasites
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Notion de consistance

Définition : on appelle erreur de troncature t, l’ensemble des termes
négligés dans les développements limités lors de l’obtention
d’une équation (ou schéma) discrète
Il est en effet possible d’écrire :
Équation continue = Équation discrète + t

Définition : un schéma est dit consistant si son erreur de troncature tend
vers 0 lorsque le pas x tend vers 0
lim t  0
x 0
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Exemple de calcul de l’erreur de troncature
Considérons les développements limités suivants :
Ti 1  Ti 
Ti 1  Ti 
dx
x 
i
dx
2
i
x 
i
d T x
dx
2
i
2
d T x
3

2
2
dT
dx
d T x
2
dT
2
dx
3
i
6
d T x
3

2
dx
3
i
3
6
3


d T x
4
dx
4
i
4
4
i
 x (...)
5
24
d T x
dx
4
4
24
 x 5 (...)
x 2
Ti 1  2Ti  Ti 1  
fi
k
que l’on injecte dans l’équation discrète.
2

x
Ce qui conduit à :
x  4
 x (...)  
fi
2
dx i
dx i 12k
k
2

dT
x 2  d 4T 1
2
soit :
k 2  fi 
 x ...   0

dx i
k  dx 4 i 12

2
dT
Equation continue en i
d T x
4
2
4
6
Erreur de troncature
Conclusion : le schéma est bien consistant avec l’équation de départ
Remarque : la solution par différences finies sera mathématiquement
exacte dans ce cas précis. La solution math. est quadratique d’où t = 0 !
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Effets « visibles » de l’erreur de troncature
Le comportement graphique de la solution est un indicateur des effets
de l’erreur de troncature
Le schéma est dit DISPERSIF si
des dérivées impaires apparaissent.
Effets néfastes pouvant entraîner
l’instabilité des résultats
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Le schéma est dit DIFFUSIF si
des dérivées paires apparaissent.
Effets bénéfiques mais pouvant
diminuer la précision des résultats
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« Notion » sur la stabilité d’un schéma
Définition : la stabilité est la propriété de contrôler toute perturbation
(numérique dans notre cas) introduite de manière accidentelle.


Un schéma est dit STABLE si la perturbation diminue ou mieux, disparaît.
Un schéma est dit INSTABLE si la perturbation augmente.
Concrètement, apparition d’oscillations parasites (changement du signe
de la pente d’un nœud à l’autre).
(L’étude de la stabilité sera développée ultérieurement.)
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Extension à 2 dimensions (2D)
Thermique : exemple d’une plaque rectangulaire soumises à différentes
conditions aux limites.
Définition du contour du domaine et génération d’un maillage quadrillé :
q.n  h T  Text  W / m 2  (Cauchy)
T  T0
 K  (Dirichlet)
x  y
q.n  
W / m 2  (Neumann)
Rem :
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q.n est le flux normal à la paroi (normale vers l’extérieur)
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Différences finies 2D :
T  x, y  Ti, j
L’équation de la chaleur 2D est la suivante : .q  f  0,   x, y   S
(1)
Divergence
La loi de comportement est :
 k grad T  k T  x, y  (2)
q
Flux thermique
Insertion de éq.(2) dans éq.(1) :
  2T  x, y   2T  x, y  
k

  f  0,  x   0, L 
2
2
y
 x

 2T
x 2

Ti 1, j  2Ti , j  Ti 1, j
i, j
x
2
 x
2
...
 2T
y 2

i, j
Ti , j 1  2Ti , j  Ti , j 1
y
2
 y 2 ...
 T  2Ti , j  Ti 1, j Ti , j 1  2Ti , j  Ti , j 1 
k  i 1, j

  fi , j  0,
2
2
x
y


 i  2,..., N  1,  j  2,..., M  1
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Construction du système



Balayer les lignes les unes après les
autres et appliquer l’équation
discrète si possible
Appliquer les conditions aux limites
discrètes
Résoudre
solutions
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et
post-traiter
les











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K
  T1,1   
  

  T1,2   
  

  T1,3   

  F

  

  
 TN , M 1   

  
  TN , M   
22