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Cours 7
Problèmes d’ordre 2 en temps :
Analyse modale
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Version 09/2006 (E.L.)
Domaines d’application
Calcul des modes propres et fréquences propres
Application
Décomposition modale
NF04 - Automne - UTC
1
Deux approches possibles de la dynamique …
Approche modale : domaine fréquentiel
Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés
Acoustique
Approche qualitative !
Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel
Crash-tests
Dynamiques rapides (choc …)
Analyse de transitoire (démarrage moteur …)
Propagations d’ondes (airbag …)
Approche quantitative !
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NF04 - Automne - UTC
www.netcar.co.il
2
Intérêts « industriels »
www.otua.org/acier/seisme/
Vibration - acoustique
www.cnes.fr
Couplage fluide-structure
Version 09/2006 (E.L.)
Protection séisme
www.dt.insu.cnrs.fr
«Tacoma narrows bridge »
Ouvrage génie civil
NF04 - Automne - UTC
…
3
Problèmes de dynamiques
La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit :
Avec :
2
M
U
C
2
U K U F
t
t
[M ] : matrice globale de masse
[C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !)
[K ] : matrice globale de rigidité
{F } : vecteur global des sollicitations
Particularités de l’analyse modale :
On considère toujours {F } = {0} !
2. Analyse modale = approche qualitative : conditions initiales inutiles !
1.
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NF04 - Automne - UTC
4
Application 1 (discrète) : 2 masses et 2 ressorts
Modèle physique :
U2(t)
U1(t)
k1
m1
k2
m2
X (m)
Equations du mouvement :
d 2U1 (t )
m1
k1 U1 (t ) k2 U 2 (t ) U1 (t )
dt 2
d 2U 2 (t )
m2
k2 U 2 (t ) U1 (t )
2
dt
Modèle discret :
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m1
0
0 U1 k1 k2
m2 U 2 k2
NF04 - Automne - UTC
k2 U1 0
k2 U 2 0
5
Application 2 (1D) : cas d’une barre élastique
Maillage : deux éléments finis linéaires
1
2
1
Forme forte :
F(t)
X (m)
3
2
E : module de Young [N/m2]
2u ( x, t )
2 u ( x, t )
A
EA
0, x [0, L]
t 2
x 2
u (0, t ) 0 [Dirichlet], F (t ) EA
: masse volumique [kg/m3]
A : section [m2]
u(x,t) : déplacement [m]
u
L [ Neumann]
x
2u ( x, t )
u ( x, t )
u ( x, t )
Forme faible : W x A
dx
EA
dx
EA
2
0
t
x
x
x
0
0
0
L
u ( x, t )
avec EA
( L) F (t ) (0) R(0)
x 0
réaction
L
L
L
inconnue
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6
Modèle éléments finis (1D)
Matrices élémentaires :
telles que :
M
e
AE 1 1
e
,
K
1 2 Le 1 1
ALe 2 1
6
W W e WC . L. 0
e
avec :
U
U
W e 1 2 M e 1 K e 1
U 2
U 2
Assemblage :
(L(1) = L(2) = Le)
2 1 0 U1
1 1 0 U1 0
AE
1 4 1 U 2 e 1 2 1 U 2 0
L
0 1 2 U 3
0 1 1 U 3 F
ALe
6
Condition de Dirichlet :
2 1 0 U1
1 1 0 U1 0
AL
AE
1 4 1 U 2 e 1 2 1 U 2 0
6
L
0 1 2 U 3
0 1 1 U 3 F
Elimination ligne et colonnes .
e
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NF04 - Automne - UTC
7
Application 3 (2D) : cas d’une membrane tendue
Maillage : éléments finis linéaires T3
Exemple d’une peau de tambour
T : tension p.u.l [N/m]
s : masse surfacique [kg/m2]
S : surface [m2]
w(x,y,t) : déplacement [m]
g : gravité [m/s2]
Forme forte :
2 w( x, y, t ) 2 w( x, y, t )
2 w( x, y, t )
s
T
s g , x, y S
2
2
t 2
x
y
w(S , t ) 0 [Dirichlet]
2 w( x, y, t )
dxdy x, y .T w( x, y, t )dxdy
Forme faible : W x, y s
2
t
S
S
x, y T w( x, y, t )ds x, y s g dxdy 0
avec :
S
S
x, y T w( x, y, t )ds
S
S
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R S
réaction
inconnue
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8
Modèle éléments finis (2D)
Matrices et vecteurs élémentaires :
2 1 1
1
e
A
gA
T
M e s 1 2 1 , K e T Ae B B , F e s
1
12
3
(Voir cours sur T3)
1 1 2
1
e
tels que :
W W e WC . L. 0
e
avec :
Assemblage :
W e 1 2
M w K w F
Condition de Dirichlet :
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w1
w1
3 M e w2 K e w2 F e
w
w
3
3
Elimination ligne et colonnes .
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Analyse modale
Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les
modes de déformées propres associés
Méthode : calcul des valeurs et des vecteurs propres associés
« Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K]
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10
Ecriture d’un problème aux valeurs propres
Forme générale « temporelle » :
M U K U 0
On pose une solution de la forme :
U t U e
i t
Ce qui conduit à :
U t U e
2
2 M U K U 0
i t
2 U t
Ecriture « spectrale »
K 2 M U 0
Ecriture générale d’un problème aux valeurs propres !
(au sens mécanique du terme)
Avec :
2 valeur propre,
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U vecteur propre associé
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11
Calcul des valeurs propres
Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non
triviales de :
K M U 0
2
soit à vérifier :
det K 2 M 0
Sur le plan pratique (Matlab) :
Matrice de rigidité
Matrice de masse
>> [V, D]=eig(vkg,vmg)
Matrice diagonale des valeurs propres
Matrice des vecteurs propres
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12
Application 1 : 2 masses et 2 ressorts
Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k
Soient :
1 0
2 1
M
m
,
K
k
0 1
1 1
det K M 0
Equation caractéristique :
2k m
k
0
k
k m
2 m 2 3k m k 2 0
Calcul des racines :
3
1
2
5k
k
0.38
,
2 m
m
Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1
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2
5k
k
2.62
2 m
m
1
U1 1.62 ,
1
U 2 0.62
NF04 - Automne - UTC
3
2
13
Calcul des fréquences et périodes propres
VALEURS PROPRES :
1
rad
/
s
f
0.098Hz
1
1
1
2
i i2
2
f
0.256 Hz
2
2
2
2
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T1
1
10.19 s
f1
T2
1
3.88 s
f2
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Interprétations graphiques
VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE
1
1.62
Mode 1
1
-0.62
Mode 2
La solution générale s’écrit donc :
U (t ) AU1 ei t B U 2 ei t
1
2
Le calcul des constantes d’intégration A et B requiert deux conditions initiales.
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15
Exemple 2D
Déformées modales d’une membrane tendue (type « tambour ») :
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NF04 - Automne - UTC
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Exemple « industriel » de modes de déformées
Déformées modales du divergent du moteur VULCAIN (Ariane V) :
Source :www.insecula.com
Mode ovalisation
Mode 4-lobes
Source : UTC / MQ06
Modèle réel
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Modèle numérique
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Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs
Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante
près en raison de :
det K 2 M 0
Cette condition stipule que l’inverse de la matrice K 2 M n’est pas unique !
Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions
d’orthogonalisation :
1 si i j
U i M U j
0 si i j
si i j
U i K U j i
0 si i j
M-orthonormalisation
K-orthogonalisation
Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes,
outils …
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Application : décomposition modale (1)
Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour
diagonaliser le système couplé :
M U K U F
Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils
définissent une base au sens mathématique du terme.
On note la base des vecteurs propres : X U1
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U 2 ... U N
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Application : décomposition modale (2)
1- On applique le changement de variables :
U (t ) X q(t ) U (t ) X q(t )
2- Injection des formes U (t ) , U (t ) dans le système d’équations :
Coefficients de participation
modale des efforts
Quels modes sont sollicités ?
T
T
T
X M X q X K X q X F
I
3- Multiplication « à gauche » par [X ]T :
M X q K X q F
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
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Application : décomposition modale (3)
4- Pour aboutir à N équations différentielles « scalaires découplées » :
qi i qi fi
i 1,..., N
Résolution classique !
Application du changement de variables aux deux conditions initiales
telles que :
U (0) X q(0)
et
U (0) X q(0)
5- Dernière phase : reconstruction de la solution dans son espace
d’origine !
U (t ) X q(t )
Version 09/2006 (E.L.)
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