Transcript Document 7727374

‫تئوری پایداری سازه ها‬
Stability Theory of Structures
‫كريم عابدي‬
‫فصل پنجم‬
‫بررس ی پایداری سازه ها‬
‫با استفاده از تحلیل غیرخطی‬
‫عناصر محدود‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫‪ ‬آنچه که از بررس ی عمیق و همه جانبه فصول پیشین بر می آید‪ ،‬این است که ”کارآمدترین“‪،‬‬
‫”موثرترین“‪” ،‬جامع ترین“‪” ،‬سهل ترین“ و ”فراگیرترین“ روش برای بررس ی پایداری سیستم‬
‫های سازه ای‪ ،‬روش عناصرمحدود است‪.‬‬
‫‪ ‬نتیجه دیگری که از بررس ی مذکور به دست می آید‪ ،‬این است که در تحلیل پایداری سیستم‬
‫های سازه ای برای نیل به نتایج قابل اطمینان‪ ،‬نزدیک به واقعیت‪ ،‬دقیق و صحیح باید‬
‫غیرخطی های هندس ی و مصالح درنظرگرفته شده و لحاظ شوند‪.‬‬
‫‪ ‬بنابراین الزمه بررس ی ”قابل اطمینان‪ ،‬دقیق‪ ،‬صحیح و جامع“ پایداری سیستم های سازه ای‪،‬‬
‫انجام تحلیل های غیرخطی مصالح و هندس ی با استفاده ازروش عناصرمحدود است‪.‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫فرضیات اساس ی‬
‫درتحلیل خطی‬
‫الف‪ -‬تغییر مکان ها در مجموعه همبسته عناصر محدود‪ ،‬بینهایت کوچک‬
‫(‪ )Infinitesimal small‬می باشند‪.‬‬
‫ب‪ -‬مصالح دارای رفتاراالستیک خطی (‪ )Linear Elastic‬می باشند‪.‬‬
‫عناصرمحدود‬
‫پ‪ -‬طبیعت شرایط مرزی به هنگام اعمال بار به مجموعه همبسته عناصر‬
‫محدود‪ ،‬ثابت و دست نخورده باقی می مانند ‪.‬‬
‫با لحاظ نمودن فرض های مذکور‬
‫استخراج معادالت تعادل عناصرمحدود برای تحلیل‬
‫استاتیکی به صورت‬
‫‪ ‬ثابت بودن ماتریس سختی ‪K‬‬
‫‪ ‬تغییرمکان ‪ U‬تابعی خطی‬
‫(‪ )Linear Function‬از بردار بار‬
‫‪R‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫کوچک بودن تغییرمکان ها درتعیین ماتریس سختی ‪ K‬زیروارد شده است‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪K    B .C .B dV‬‬
‫‪ Volume‬‬
‫حجم اولیه (‪ B‬‬
‫‪ ‬کلیه انتگرال ها روی ‪.U‬‬
‫‪ )Original‬عناصر محدود انجام شده فرض‬
‫)‪(m‬‬
‫شده است‪.‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫) ‪( x, y,z‬‬
‫) ‪( x, y ,z‬‬
‫)‪( m‬‬
‫)‪( m‬‬
‫)‪( m‬‬
‫‪T‬‬
‫)‪( m‬‬
‫)‪( m‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ ‬ماتریس کرنش‪-‬تغییرمکان ‪ B‬هرعنصرثابت و مستقل ازتغییرمکان های عنصراست‪.‬‬
‫بنابراین اگر هر یک از سه فرض مورد استفاده در تحلیل‬
‫صور‬
‫یکرد‪.‬تحلیل‬
‫کرنشت با‬
‫شود‪،‬از در‬
‫االستیکنحو‬
‫خطی به‬
‫ثابت ‪ C‬دا‬
‫اینتنش‪-‬‬
‫ماتریس‬
‫نقضاستفاده‬
‫خطییداللت بر‬
‫‪ ‬فرض مصالح‬
‫غیرخطی سروکار خواهیم داشت‪.‬‬
‫‪ ‬فرض ثابت و دست نخورده باقی ماندن شرایط مرزی در به کارگیری روابط قیدی‬
‫(‪ )Constraint Relations‬ثابت انعکاس یافته است‪.‬‬
‫به عنوان مثال اگر در طی بارگذاری‪ ،‬یک شرط مرزی تغییرمکانی باید تغییر یابد‪ ،‬در این صورت پاسخ سیستم تنها تا‬
‫قبل ازتغییرشرایط مرزی خطی می باشد‪ .‬این حالت در مسائل تماس ی(‪ )Contact Problems‬پیش می آید‪.‬‬
‫ مقدمه‬-1
:‫رده بندی تحلیل غیرخطی که مورد بحث قرارخواهد گرفت به قرارزیراست‬
Typical
Typical Typical
formulation
Type
of
analysis
Description
Type of analysis Description
Description
Type of analysis
formulation
formulation
used
used used
Large Materially- Fiber extensions
and
Total
Lagrangian
Infinitesimal
MateriallyLarge displacement,
Displacements
and
Total
Lagrangian
displacements,
angle changes
between nonlinear-only
(TL)
nonlinear-only
displacements
large rotation,
but
rotations
of fibers
(TL)
large rotations,
fibers are
fiber
andlarge,
strains;
(MNO)
small strains
are large,
but
fiberthe
and large strains
displacements
and
Updated
stress-strain
extensions
and angle
rotations
may be
Lagrangian
relation
is also
changes
between
large; the
stress-strain
(UL)
nonlinear
fibers are
small;
Updated
relation may be linear
stress-strain relation Lagrangian
or nonlinear(often is
may be linear or
(UL)
nonlinear)
nonlinear
(often is linear)
Stress
and
strain
Stress
andand
strain
Stress
strain
measures
measures
measures
Second
PiolaEngineering
Second
Piola-Kirchhoff
Kirchhoff
stress Green-Lagrange
andstress,
strain
stress,
Green-Lagrange
strain
strain
Cauchy stress,
Cauchy stress, Almansi
Logarithmic
strain
strain
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫‪ ‬در یک تحلیل واقعی‪ ،‬الزم است تصمیم گرفته شود که مساله مورد نظردر کدام رده از تحلیل‬
‫باید قرار گیرد و در نتیجه از کدام نوع فرمول بندی برای توصیف موقعیت واقعی فیزیکی‬
‫استفاده شود‪.‬‬
‫‪ ‬مطمئنا به کارگیری فرمول بندی بسیار عمومی کرنش های بزرگ همواره صحیح و درست‬
‫خواهد بود‪ ،‬ولی استفاده از فرمول بندی هایی با محدودیت های زیاد می تواند از نقطه نظر‬
‫محاسباتی موثر باشد و نیز اطالعات بیشتر و کامل تر و همه جانبه تری در مورد رفتار سازه‬
‫واقعی فراهم نماید‬
‫بنابراین چالش های اساس ی در تحلیل غیرخطی عبارتند از‬
‫‪ -1‬انتخاب نوع تحلیل غیرخطی‬
‫‪ -2‬انتخاب نوع فرمول بندی ‪ T.L‬و‪MNO, U.L‬‬
‫( معیارهای کرنش و تنش مورد استفاده درتحلیل خطی‪ ،‬کارآمدی و کارایی الزم را در تحلیل‬
‫غیرخطی ندارند (انتخاب معیارهای جدید))‪.‬‬
‫‪ -3‬حجم کنونی که انتگرال گیری ها روی آن انجام می گیرند‪ ،‬مجهول می باشد‪.‬‬
‫‪ -4‬متغیربودن‬
‫‪ -5‬متغیربودن‬
‫در هرترازباردر تحلیل غیرخطی هندس ی‪.‬‬
‫درهر ترازباردر تحلیل غیرخطی مصالح‪.‬‬
‫‪ -2‬مساله اساس ی درتحلیل غیرخطی‬
‫‪ ‬مساله اصلی دریک تحلیل عمومی عناصرمحدود‪ ،‬یافتن حالت تعادل جسم متناظربا‬
‫بارهای وارده است‪.‬‬
‫به عنوان تراز بار در زمان ‪ ،t‬شرایط تعادل یک سیستم عناصر محدود را‬
‫‪ ‬با فرض‬
‫که نمایشگرجسم مورد نظراست می توان به صورت زیربیان کرد‪:‬‬
‫بردارنیروهای نقاط گرهی خارجی بر‬
‫جسم دربافتارمربوط به زمان ‪t‬‬
‫بردارنیروهای نقاط گرهی متناظربا تنش‬
‫های عنصری دربافتارمربوط به زمان ‪t‬‬
‫با مشخص نمودن تنش های کنونی‬
‫(‪ )Currents Stress‬به عنوان تنش‬
‫های اولیه‬
‫)‪(m‬‬
‫‪.  . dV‬‬
‫‪(m) t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪( m )T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫)‪t V (m‬‬
‫‪R F ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪I‬‬
‫‪m‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ -2‬مساله اساس ی درتحلیل غیرخطی‬
‫‪ ‬روشن است که دریک تحلیل تغییرشکل های بزرگ عمومی‪ ،‬تنش ها و حجم جسم درزمان‬
‫‪ t‬مجهول هستند‪.‬‬
‫‪ ،‬تعادل سیستم در هندسه تغییرشکل یافته کنونی ( ‪Current‬‬
‫‪ ‬رابطه‬
‫‪ )Deformed Geometry‬را با درنظرگرفتن تمامی عوامل غیرخطی بیان می کند‪.‬‬
‫‪ ‬اگر تحلیل غیرخطی برای یک تراز معین بار ( مثال در زمان ) مورد نظر باشد‪ ،‬در این‬
‫باید حل شده و ارضا گردد‪ .‬به عبارت دیگر با یک تحلیل‬
‫صورت رابطه‬
‫تک گامی (‪ )One-Step Analysis‬روبرو هستیم‪.‬‬
‫‪ ‬ولی هنگامی که تحلیل شامل شرایط غیرهندس ی یا مصالح وابسته به مسیر (‪Path-‬‬
‫درطول زمان مورد نظراز‪0‬‬
‫‪ )dependent‬باشد‪ ،‬دراین صورت رابطه‬
‫تا باید حل شده و ارضا گردد‪ .‬بنابراین دراین صورت با یک تحلیل نموی گام به گام‬
‫(‪ )Step by Step Incremental Solution‬مواجه‬
‫هستیم‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫تحلیل غیرخطی گام به گام نموی‪ ،‬درنظرگرفتن این فرض است که جواب‬
‫بنیادی‬
‫روش‬
‫یک‪: t+‬‬
‫ماندر‪Δt‬‬
‫بنابراین درز‬
‫درزمان گسسته ‪ t‬معلوم است و جواب درزمان گسسته ‪ t+ Δt‬مورد نیازاست که درآن ‪ Δt‬نمو‬
‫زمانی مناسب انتخابی است‪.‬‬
‫جواب درزمان ‪ t‬معلوم است‪ .‬پس می توان نوشت‪:‬‬
‫بردار‪ ، F‬نمو درنیروهای نقاط گرهی متناظر‬
‫با نمو درتغییرمکان ها و تنش ها اززمان ‪ t‬تا ‪Δt‬‬
‫‪ t+‬است‪.‬‬
‫بردار‪ F‬را می توان با استفاده ازیک ماتریس سختی مماس ی‬
‫هندس ی و مصالح درزمان ‪ t‬است تقریب سازی نمود‪.‬‬
‫که متناظربا شرایط‬
‫‪ U‬بردارتغییرمکان های نموی نقاط‬
‫گرهی اززمان ‪ t‬تا ‪ t+ Δt‬است‬
‫بنابراین ماتریس سختی مماس ی‪ ،‬متناظربا مشتق نیروهای نقاط گرهی عنصری‬
‫نسبت به تغییرمکان نقاط گرهی است‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫اکنون می توان رابطه زیررا نوشت‪:‬‬
‫و می توان را محاسبه‬
‫دراین معادله با توجه به معلوم بودن ‪،‬‬
‫کرد و لذا تقریبی به بردارتغییرمکان درزمان ‪ t+ Δt‬را می توان به صورت زیر‬
‫به دست آورد‪:‬‬
‫توجه‪ :1‬تغییرمکان های واقعی کامل درزمان ‪ t+ Δt‬آن تغییرمکان هایی هستند‬
‫می باشند‪.‬‬
‫که متناظربا بارهای وارده‬
‫‪ ،‬تنها تقریبی به تغییرمکان های واقعی درزمان‬
‫توجه‪ :2‬درمعادله‬
‫‪ t+ Δt‬را محاسبه نموده ایم‪.‬‬
‫توجه‪ :3‬درمورد نحوه تعیین‬
‫و بعدا به تفصیل و با جزئیات مربوط بحث خواهیم نمود‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫با یافتن تقریبی به تغییرمکان های واقعی درزمان ‪( t+ Δt‬‬
‫می توان تقریبی به تنش ها درزمان ‪( t+ Δt‬‬
‫)‬
‫)‬
‫درنتیجه تقریبی به نیروهای نقاط گرهی متناظردرزمان ‪( t+ Δt‬‬
‫و سپس انجام محاسبات برای نمو زمانی بعدی را ادامه داد‪.‬‬
‫)‬
‫جواب‪F‬های مذکور می توانند دارای خطاهای‬
‫‪،‬‬
‫نکته‪ :‬با توجه به فرض مورد استفاده در‬
‫‪ t KU‬‬
‫بسیار قابل توجهی باشند و بسته به اندازه گام زمانی(‪ )Time Step‬یا همان گام بار مورد استفاده‬
‫(‪ )Load Step‬می تواند در شرایطی خاص ناپایدارعددی باشند‪.‬‬
‫ضروری است ازیک راه حل تکراری( تکراردرداخل هرگام بار) استفاده شود تا اینکه جواب هایی‬
‫با دقت کافی حاصل شوند‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫روش های تکراری(‪ )Iteration Methods‬که به طور وسیعی در تحلیل های غیرخطی‬
‫عناصر محدود مورد استفاده قرار می گیرند‪ ،‬بر اساس تکنیک های نیوتن‪-‬رافسون‬
‫(‪ )Newton-Raphson Technique‬استوارند‪.‬‬
‫تکنیک نیوتن‪-‬رافسون در واقع‬
‫بسطی از تکنیک نموی ساده مورد‬
‫استفاده دردو قسمت است‪:‬‬
‫بعد از محاسبه یک نمو در تغییرمکان های نقاط گرهی که یک بردار تغییرمکان کلی‬
‫جدیدی (‪ )New total displacement vector‬را تعریف می کند‪ ،‬می توان روش نموی ارائه‬
‫شده فوق را با استفاده از تغییرمکان های کلی کنونی معلوم ( ‪Currently known total‬‬
‫‪ )displacement‬به جای تغییرمکان ها درزمان ‪ t‬تکرارنمود‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫معادالت مورد استفاده درروش تکراری نیوتن‪-‬رافسون به ازای …‪i = 1, 2, 3,‬‬
‫اولیه‬
‫با شرایط‬
‫توجه‪ :1‬درنخستین تکرار‪ ،‬روابط فوق به صورت معادالت‬
‫درمی آیند‪.‬‬
‫و‬
‫توجه‪ :2‬درتکرارهای بعدی‪ ،‬آخرین تخمین تغییرمکان های نقاط گرهی برای تعیین‬
‫تنش های عنصری متناظرو بردارهای نیروهای نقاط گرهی متناظرمعادله‬
‫مورد استفاده قرارمی گیرند‪.‬‬
‫و ماتریس سختی مماس ی‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫بردار بار خارج از توازن(‪ )Out-of-balance load vector‬متناظر با یک بردار است که هنوز به‬
‫وسیله تنش های عنصری متوازن نشده است و بنابراین یک نمو در تغییرمکان های نقاط گرهی‬
‫مورد نیاز است‪ .‬این به هنگام نمودن (‪ )Updating‬تغییرمکان های نقاط گرهی در تکرار باید تا‬
‫آنجا ادامه یابد که نیروهای خارج ازتوازن و تغییرمکان های نموی بسیارکوچک شوند‪.‬‬
‫روش نیوتن‪ -‬رافسون به صورت شماتیک‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫مراحل عملیاتی روش‬
‫تکراری نیوتن – رافسون‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫تعدیل یافته به ااززای …‪2, 3,‬به‪1,‬روش= ی‪i‬‬
‫معادالت مورد استفاده درروش نیوتن‪-‬ر‬
‫افسونصحیح‬
‫محاسبه‬
‫دو نکته بسیارمهم درروش تکراری کارآمد و مناسب‬
‫نیوتن – رافسون‬
‫محاسبه صحیح‬
‫با شرایط اولیه‬
‫کارآمد و مناسب‬
‫از‬
‫به روش ی‬
‫با توجه به هزینه محاسباتی قابل توجه مورد نیازدرتعیین ماتریس سختی مماس ی‬
‫درهرتکرار‪ ،‬در‬
‫و نیزدرتعیین نیروهای نقاط گرهی معادل‬
‫عمل می توان بسته به غیرخطی های موجود درتحلیل‪ ،‬تعیین ماتریس سختی مماس ی جدید در‬
‫زمان های معین کارایی داشته باشد‪.‬‬
‫درروش تعدیل یافته نیوتن‪-‬رافسون(‪ ،)Modified Newton-Raphson method‬یک‬
‫ماتریس سختی مماس ی‪ ،‬صرفا درابتدای هرگام بارایجاد می شود‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫روش تعدیل یافته نیوتن‪ -‬رافسون به صورت شماتیک‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫مراحل عملیاتی روش‬
‫تکراری نیوتن – رافسون‬
‫تعدیل یافته‬
‫‪ -3‬روش بنیادی درتحلیل غیرخطی‬
‫نکته مهم درروش تکراری تعدیل یافته نیوتن‪-‬رافسون‪ ،‬محاسبه صحیح‬
‫به روش ی کارآمد و مناسب است‪.‬‬
‫از‬
‫الزم به ذکر است که استفاده از روش های تکراری‪ ،‬ایجاب می کند که معیارهای همگرایی‬
‫مناسبی(‪ )Appropriate Convergence Criteria‬اختیارشوند‪.‬‬
‫اگرمعیارهای غیرمناسبی اتخاذ شوند‪ ،‬دراین صورت دو اتفاق می تواند بیفتد‪:‬‬
‫الف)تکرارقبل ازرسیدن به دقت حل مورد نیازپایان پذیرد‪.‬‬
‫معیار همگرایی سست (‪)Loose Convergence Criteria‬‬
‫ب) تکراربعد ازرسیدن به دقت حل مورد نیازادامه یابد‪.‬‬
‫معیار همگرایی سفت (‪)Stiff Convergence Criteria‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫الف) مقدمه‬
‫برای استخراج معادالت غیرخطی عناصر محدود ضروری است که از روش جامع و مؤثر‬
‫استفاده شود‪.‬‬
‫جامع ترین و مؤثرترین روش‪ ،‬روش سازگار مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته‬
‫(‪ )Consistent Continuum- Mechanics-based Approach‬است‪.‬‬
‫به عبارت دیگر الزم است معادالت حاکم بر مکانیک محیط پیوسته ( ‪Governing‬‬
‫‪ )Continuum Mechanics Equations‬برای یک روش حل عناصر محدود مبتنی بر‬
‫تغییرمکان(‪ )Displacement-Based Finite Element Solution‬ارائه گردد‪.‬‬
‫در این حالت نیز(همچون تحلیل خطی عناصر محدود)‪ ،‬از اصل کار مجازی باید استفاده‬
‫نماییم‪ .‬اما‪ ،‬باید امکان وقوع تغییرمکان ها‪ ،‬دوران ها‪،‬کرنش های بزرگ و نیز رابطه غیرخطی‬
‫کرنش‪-‬تنش را نیزدرفرمول بندی وارد نماییم‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫بنابراین معادالت حاکم محیط پیوسته درواقع بسطی ازرابطه عمومی ارائه شده برای‬
‫تحلیل خطی عناصرمحدود خواهد بود‪:‬‬
‫خطیبسط معادالت‬
‫ایجاد و‬
‫بگیریم‪ ،‬بعد‬
‫عمومی را‬
‫یک جسم‬
‫غیرخطی‬
‫تحلیلاگر‬
‫بنابراین‬
‫مبنا در‬
‫معادالت ازحاکم‬
‫نظرایجاد‬
‫برای‬
‫عنوان پایه و‬
‫مذکور به‬
‫تحلیلابطه‬
‫در‬
‫خطی‪ ،‬ر‬
‫مشابه‪ ،‬برای ایجاد معادالت‬
‫مکانیک( محیط پیوسته‪ ،‬مراحل تحلیل) راموربهدطریقه‬
‫مناسب‬
‫کامالگرفتند‪.‬‬
‫ایقرار‬
‫استفاده‬
‫عناصرمحدود‬
‫غیرخطی عناصرمحدود که حاکم برپاسخ غیرخطی جسم می باشند‪ ،‬دنبال خواهیم کرد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫‪ -1‬تعادل جسم را باید در بافتارکنونی ( ‪Current‬‬
‫‪ )Configuration‬درنظرگرفت‪.‬‬
‫دریک تحلیل غیرخطی‬
‫‪ -2‬درحالت کلی باید ازیک فرمول بندی نموی‬
‫(‪ )Incremental Formulation‬استفاده شود‪.‬‬
‫‪ -3‬برای توصیف بارگذاری و حرکت جسم ازیک‬
‫زمانی استفاده نماییم‪.‬‬
‫متغیر‬
‫برای ایجاد فرمول بندی‪ ،‬حرکت(‪ )Motion‬یک جسم عمومی را در یک دستگاه مختصات‬
‫ثابت دکارتی(‪ )Stationary Cartesian System‬درنظر می گیریم و فرض می نماییم که جسم می‬
‫تواند تغییرمکان های بزرگ‪ ،‬کرنش های بزرگ شده و رفتارغیرخطی مصالح ازخود نشان دهد‪.‬‬
‫هدف اصلی‪ ،‬تعیین موقعیت های تعادل(‪ )Equilibrium Positions‬کل جسم در نقاط‬
‫زمانی گسسته ‪ 0‬و ‪ Δt‬و ‪ 2Δt‬و ‪ 3Δt‬و ‪ ...‬است و ‪ Δt‬نمو درزمان می باشد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫برای ایجاد یک استراتژی حل(‪)Solution Strategy‬‬
‫فرض‬
‫جواب ها برای متغیرهای سینماتیک و استاتیکی برای همه گام های زمانی از ‪ 0‬تا زمان ‪( t‬از‬
‫جمله خود ‪ )t‬به دست آمده اند‬
‫فرآیند حل برای موقعیت تعادل مورد نیاز بعدی متناظر با زمان” ‪ “ t+ Δt‬یک فرآیند نمونه‬
‫و شاخص به شمار می رود و می تواند به طور مکرر مورد استفاده قرار گیرد تا مسیر کامل پاسخ‬
‫حاصل شود‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫نکته ‪ :1‬از آنجایی که در تحلیل‪ ،‬تمامی ذرات (‪ )Particles‬جسم را در حرکتشان از بافتار‬
‫اولیه (‪ )Original Configuration‬تا بافتار نهایی نسبت به یک دستگاه مختصات ثابت دنبال می‬
‫کنیم‪ ،‬از آن رو در واقع یک فرمول بندی الگرانژی (‪ )Lagrangian Formulation‬را اتخاذ نموده‬
‫ایم‪.‬‬
‫نکته ‪ :2‬فرمول بندی الگرانژی درمقابل فرمول بندی اولری(‪ )Eulerian Formulation‬قراردارد که‬
‫معموال درتحلیل مسائل مکانیک سیاالت مورد استفاده قرارمی گیرد‪.‬‬
‫نکته ‪ :3‬درفرمول بندی اولری‪ ،‬حرکت ماده درمیان یک حجم کنترل ثابت‬
‫(‪ )Stationary Control Volume‬درنظرگرفته می شود‪.‬‬
‫نکته ‪ :4‬الزم به ذکر است که در تحلیل جامدات و سازه ها‪ ،‬عموما از فرمول بندی الگرانژی‬
‫استفاده می شود که بیانگر یک روش تحلیل بسیار مؤثرتر و در عین حال طبیعی تر نسبت به فرمول‬
‫بندی اولری می باشد‪ .‬به عنوان مثال‪ ،‬با استفاده ازیک فرمول بندی اولری برای تحلیل یک مسئله‬
‫سازه ای با تغییر مکان های بزرگ‪ ،‬حجم های کنترل جدید به دلیل تغییر پیوسته مرزهای جسم‬
‫جامد باید ایجاد گردند که دشواری های بسیارزیادی را درحل پیش می آورند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫با توجه به استفاده ازنمادگذاری تانسوری درایجاد فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی‬
‫عناصرمحدود‪ ،‬درذیل به چند نمونه اشاره می شود‪:‬‬
‫• نمایش یک بردار‪ u‬دردستگاه مختصات دکارتی و درفضای سه بعدی با بردارهای پایه و و‬
‫(برداریک تانسور ازمرتبه اول می باشد)‪:‬‬
‫نکته‪ :‬با توجه به اینکه ‪ i‬می تواند با هر اندیس پایین دیگری( به طور مثال ‪ )j , k‬بدون اینکه در‬
‫تانسور تنش ‪:‬‬
‫نمایش‬
‫تغییری‬
‫حاصل گردد‪ ،‬جایگزین شود‪ ،‬به آن شاخص ظاهری (‪ )Dummy Index‬یا‬
‫نتیجه‬
‫شاخص آزاد (‪ )Free Index‬گفته می شود‪.‬‬
‫• حاصل ضرب اسکالردو بردار‪ u‬و ‪: v‬‬
‫نماد تانسوری‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫در تحلیل نموی الگرانژی (‪ ،)Lagrangian Incremental Analysis‬تعادل‬
‫جسم در زمان ‪ t+ Δt‬را با استفاده از اصل تغییرمکان مجازی ( ‪Principle of‬‬
‫‪ )Virtual Displacements‬بیان می کنیم‪.‬‬
‫ فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬-4
‫ب) بیان مساله اصلی‬
:‫اصل تغییرمکان های مجازی‬
Cartesian
the Cauchy
stress forces
tensorper
(forces
unit
= components
component ofofexternally
applied
unitper
volume
areas in the
deformed
at time
t+Δt geometry)
= component of externally
applied
tractionstoper
= strain
tensorsurface
corresponding
the
unit area at time t+Δt
virtual displacements
= surface at time t+Δt on which external tractions are applied
= components of virtual displacement vector imposed on
configuration
at time t+Δt, a function of
=
=Cartesian coordinates of material point at time t+Δt
= Volume at time t+Δt
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫نکاتی چند درارتباط با رابطه کارمجازی‪:‬‬
‫‪ -1‬سمت چپ رابطه ارائه شده در باال‪ ،‬کار مجازی داخلی(‪ )Internal Virtual Work‬و سمت‬
‫راست رابطه مذکور‪ ،‬کارمجازی خارجی(‪ )External Virtual Work‬است‪.‬‬
‫‪ -2‬رابطه مذکور همانند تحلیل تغییرمکان های بینهایت کوچک خطی است‪ ،‬ولی بافتار کنونی‬
‫(‪ )Current Configuration‬در زمان ‪ ( t+Δt‬با تنش ها و نیروها در آن زمان) مورد استفاده قرار‬
‫می گیرد‪ .‬الزم به ذکر است که در بیان رابطه مذکور فرض می شود که بارهای متمرکز سطحی وجود‬
‫ندارند‪ ،‬به عبارت دیگرمؤلفه های تمامی بارهای سطحی را شامل می شوند‪.‬‬
‫که متناظربا تغییرمکان های مجازی اعمال شده‬
‫‪ -3‬توجه شود که مؤلفه های تانسور کرنش‬
‫می باشند‪ ،‬مشابه مؤلفه های تانسور کرنش بینهایت کوچک می باشند ولی مشتقات نسبت به‬
‫مختصات کنونی درزمان ‪ t+Δt‬می باشند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫نکاتی چند درارتباط با رابطه کارمجازی‪:‬‬
‫‪ -4‬مشکالت اصلی درکاربرد اصل کارمجازی ارائه شده درباال عبارتند از‪:‬‬
‫‪‬‬
‫بافتارجسم در زمان ‪ t+Δt‬مجهول است(مشکل اصلی)‪.‬‬
‫‪ ‬محاسبه تنش های ‪ Cauchy‬در مدت زمان ‪ t+Δt‬باید دوران های صلب جسمی ( ‪ )Rigid Body Rotation‬مصالح را نیز‬
‫درنظربگیرد‪ .‬زیرا‪ ،‬مؤلفه های تانسور تنش ‪ Cauchy‬هنگامی که تحت اثریک دوران صلب جسمی قرارمی گیرند‪ ،‬تغییرمی کنند‪.‬‬
‫‪ -5‬به دلیل تغییربافتارجسم پیوسته دریک تحلیل تغییرشکل های بزرگ‪ ،‬باید به صورت ظریف و دقیق معیارهای مناسب تنش و‬
‫‪‬‬
‫کرنش و روابط مشخصه ای را بکاربرد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫مختصاتیم ‪:‬‬
‫بنابراین دار‬
‫بافتارجسم‬
‫)‬
‫نقطه عمومی (‪Generic Point‬‬
‫‪-4‬‬
‫استفاده ازیک نمادگذاری (‪ )Notation‬مؤثربرای یک تحلیل عمومی تغییرشکل های بزرگ حائز‬
‫اهمیت است زیرا‪ ،‬درتحلیل با کمیت های بسیاری مواجه هستیم‪ .‬درذیل به برخی نکات مهم و‬
‫محور‬
‫مختصات‬
‫تغییرشکل های بزرگ اشاره می نماییم‪.‬‬
‫تحلیل‬
‫قراردادهای مورد استفاده درنمادگذاری بکاررفته در‬
‫مختصات درزمان ‪0‬‬
‫‪ -1‬حرکت جسم دریک دستگاه مختصات دکارتی ثابت درنظرگرفته می شود‪.‬‬
‫مختصات درزمان ‪t‬‬
‫مختصاتبود‪:‬‬
‫دستگاهیرخواهد‬
‫سینماتیکدروزمان‬
‫تغییرمکان ها‬
‫کلیهاین نمو‬
‫و‪-2‬بنابر‬
‫‪t+Δt‬دربهاینصورت ز‬
‫اندازه گرفته‬
‫استاتیکی‬
‫متغیرهای‬
‫مختصات درزمان ‪t+Δt‬‬
‫می شوند‪.‬‬
‫بافتارجسم‬
‫‪ -5‬تغییرمکان ها‬
‫‪ -3‬برای توصیف تحلیل درهمه جا ازنمادگذاری تانسوری (‪ )Tensor Notation‬استفاده‬
‫محور مختصات‬
‫می شود‪.‬‬
‫تغییرمکان درزمان ‪0‬‬
‫تغییرمکان درزمان ‪t‬‬
‫تغییرمکان درزمان ‪t+Δt‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫‪ -6‬به هنگام حرکت جسم‪ ،‬حجم‪ ،‬سطح‪ ،‬چگالی جرم‪ ،‬تنش ها و کرنش ها به طور پیوسته تغییرمی‬
‫کنند‪ .‬بنابراین داریم ‪:‬‬
‫چگالی جرم درزمان ‪ t ،0‬و ‪t+Δt‬‬
‫سطح درزمان ‪ t ،0‬و ‪t+Δt‬‬
‫حجم درزمان ‪ t ،0‬و ‪t+Δt‬‬
‫‪ -7‬به علت نامعلوم بودن بافتارجسم درزمان ‪ ،t+Δt‬تنش ها و کرنش ها را به یک بافتارتعادل‬
‫معلوم ارجاع خواهیم داد‪ .‬دراین صورت اندیس پایین سمت چپ‪ ،‬معرف و نشانگربافتارتعادلی‬
‫خواهد بود که نسبت به آن کمیت مورد نظرتعیین می شود‪ .‬به عنوان مثال‪:‬‬
‫نیروهای حجمی درزمان ‪ t+Δt‬نسبت به بافتار‪ 0‬اندازه گیری می شوند‬
‫نیروهای سطحی درزمان ‪ t+Δt‬نسبت به بافتار‪ 0‬اندازه گیری می شوند‬
‫نکته‪ :‬اگرکمیت مورد نظردرزمان‪ t+ Δt‬نسبت به بافتارمربوط به زمان ‪t+Δt‬‬
‫اندازه گیری شود‪ ،‬دراین صورت نیازی به اندیس پایین سمت چپ نیست‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫‪ -8‬برای بیان مشتق گیری ها از نماد کاما(‪ )Comma Notation‬استفاده می کنیم‪ .‬در این‬
‫نمادگذاری‪ ،‬مشتق گیری نسبت به مختصاتی که بعد از کاما می آید و اندیس پایین سمت چپ نشانگر‬
‫زمان مربوط به بافتاری است که مختصات نسبت به آن بافتاراندازه گیری می شود‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ) معیارکرنش ‪)Green- Lagrange Strain Measure( Green-Lagrange‬‬
‫ازطریق تعریف معیارهای کمکی کرنش و تنش(‪)Auxiliary Stress and Strain Measures‬‬
‫می توان با تغییرمداوم بافتارجسم که واقعیتی بدیهی دریک تحلیل تغییرشکل های بزرگ است‪ ،‬مواجهه‬
‫نمود‪.‬‬
‫ی‬
‫و‬
‫‪ -1‬بیان کارمجاز داخلی برحسب یک انتگرال درر ی حجمی که‬
‫معلوم است‪،‬‬
‫هدف از تعریف معیارهای‬
‫کمکی تنش و کرنش‬
‫‪ -2‬توانائی تجزیه نموی کرنش ها و تنش ها به طریقه ای مؤثر‪.‬‬
‫نکته‪ :‬تانسورهای مختلف تنش و کرنش ی وجود دارند که دراصل می توان ازآنها استفاده‬
‫نمود ولی اگر هدف‪ ،‬یافتن یک روش حل عناصر محدود عمومی و موثر باشد‪ ،‬در این صورت معیارهای‬
‫اندکی وجود دارند که باید درنظرگرفته شوند‪.‬‬
‫یکی ازمهمترین و کارآمدترین معیارهای کرنش که درتحلیل غیرخطی عناصرمحدود‬
‫ازآن استفاده می شود‪ ،‬معیار کرنش ‪ Green-Lagrange‬است‪ .‬برای تعریف معیارکرنش‬
‫‪ Green-Lagrange‬الزم است که درابتدا چند تعریف مبنایی و مقدماتی ارائه شوند‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )1-‬تعریف گرادیان تغییرشکل(‪)Deformation Gradient‬‬
‫تعریف گرادیان تغییرشکل‬
‫ازنقطه نظرمفهوم فیزیکی‪ ،‬گرادیان تغییرشکل‪ ،‬توصیف گرکشامدها(‪ )Stretches‬و‬
‫دوران هایی (‪ )Rotations‬می باشند که تارهای مصالح (‪ )Material Fibers‬اززمان‬
‫‪ 0‬الی زمان ‪ t‬متحمل می شوند‪ .‬به عبارت دیگر‪:‬‬
‫طول کنونی عنصرخطی‬
‫طول‬
‫‪0‬‬
‫مان‬
‫در‬
‫مادی‬
‫تار‬
‫دیفرانسیلی‬
‫ز‬
‫ل‬
‫طو دیفرانسیلی تارمادی درزمان ‪t‬‬
‫طول اولیه عنصرخطی‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )1-‬تعریف گرادیان تغییرشکل(‪)Deformation Gradient‬‬
‫گرادیان تغییرشکل معکوس(‪ ، )Inverse Deformation Gradient‬درواقع با معکوس‬
‫گرادیان تغییرشکل مساوی است‪ .‬یعنی‪،‬‬
‫اثبات‬
‫فرض کنید که ‪ d0X‬طول دیفرانسیلی تارمادی درزمان ‪ 0‬باشد‪ .‬دراین صورت با استفاده ازمشتق‬
‫گیری زنجیره ای‪ ،‬این طول دیفرانسیلی درزمان ‪ t‬به صورت زیربدست می آید‪:‬‬
‫که ‪:‬مشتق گیری زنجیره ای‪ ،‬نتیجه زیرحاصل می شود‪:‬‬
‫استفاده از‬
‫باتوجه شود‬
‫گرادیان معکوس تغییرشکل‬
‫یا داریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )1-‬تعریف گرادیان تغییرشکل(‪)Deformation Gradient‬‬
‫به عنوان مثال‪ ،‬گرادیان تغییرشکل برای عنصرچهارگرهی شکل زیرکه تحت اثرتغییرشکل های‬
‫بزرگ قرارمی گیرد را محاسبه می نماییم‪:‬‬
‫خواهیم‬
‫داشت برای این عنصررا برحسب ‪ r‬و ‪ s‬به‬
‫تغییرمکان‬
‫اینونیابی‬
‫بنابردر‬
‫توابع‬
‫عنوان مختصات طبیعی می توان اسخراج کرد‪.‬‬
‫ازآنجایی که و متناظربا ‪ r‬و ‪ s‬هستند‪ ،‬داریم‪:‬‬
‫گرادیان‬
‫و در‬
‫اکنون‬
‫نهایترو‬
‫تغییرشکلمیبه کنیم‪:‬‬
‫استفاده‬
‫یر‬
‫ابط‬
‫از‬
‫ز‬
‫صورت زیربدست می آید‬
‫مختصات نقاط گرهی درزمان ‪t‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )2-‬تانسورهای تغییرشکل راست و چپ ‪Cauchy-Green‬‬
‫با استفاده از تعریف گرادیان تغییرشکل‪ ،‬تانسور تغییرشکل راست و چپ ‪Cauchy-‬‬
‫‪ Green‬را به صورت زیرتعریف می نماییم‪:‬‬
‫تانسور تغییرشکل راست ‪Cauchy-Green‬‬
‫(‪)Right Cauchy-Green Deformation‬‬
‫تانسور تغییرشکل چپ ‪Cauchy-Green‬‬
‫(‪)Left Cauchy-Green Deformation‬‬
‫نکته‪ :‬درحالت کلی‬
‫و با یکدیگربرابرنیستند‪.‬‬
‫نکته‪ :‬از گرادیان تغییرشکل درتعیین کشامد یک تارمادی و تغییردرزاویه بین‬
‫تارهای مادی مجاور هم به دلیل تغییرشکل استفاده می شود‪ .‬دراین محاسبه‬
‫ازتانسور تغییرشکل راست ‪ Cauchy-Green‬استفاده می کنیم‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )3-‬تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (‪)Polar Decomposition‬‬
‫یک خاصیت مهم گرادیان تغییرشکل‪ ،‬این است که می توان همواره آن را به حاصل ضرب‬
‫منحصربه فرد(‪ )Unique Product‬دو ماتریس تجزیه کرد‪:‬‬
‫‪ ‬ماتریس متقارن کشامد‬
‫‪ ‬ماتریس متعامد‬
‫(‪)Symmetric Stretch Matrix‬‬
‫که متناظربا یک دوران است‬
‫به تجزیه مذکور‪ ،‬تجزیه قطبی (‪ )Polar Decomposition‬اطالق می شود‪.‬‬
‫رابطه فوق را می توان به صورت مفهومی (‪ )Conceptually‬به این صورت تفسیرکرد‬
‫که تغییرشکل کلی ابتدا ازطریق اعمال کشامد و سپس دوران حاصل می شود‪ .‬به‬
‫نوشت که در‬
‫را به صورت‬
‫عبارت دیگر‪ ،‬می توان رابطه‬
‫آن ‪،‬متناظر با یک زمان میانی مفهومی(‪ )Intermediate Conceptual Time‬است‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )3-‬تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (‪)Polar Decomposition‬‬
‫مثال‪ :‬گرادیان تغییرشکل و تجزیه قطبی عنصرچهارگرهی زیررا درزمان ‪ t‬بدست آورید‬
‫حال اگرفرض نماییم که حرکت اززمان ‪ t‬به زمان ‪ t+Δt‬تنها شامل یک دوران صلب جسمی درخالف‬
‫جهتاین صور‬
‫سهولتتازمی توان گرادیان تغییرشکل را به‬
‫باشد‪ ،‬در‬
‫‪t 45‬د‪،‬رجه‬
‫ساعت و به‬
‫تعیین های‬
‫برایعقربه‬
‫جهت‬
‫می توان‬
‫اندادرزهزمان‬
‫تغییرشکل‬
‫گرادیان‬
‫دررد‬
‫بدست آو‬
‫صورت ز‬
‫آن‪ :‬بافتارفرض ی مفهومی متناظربا کشامد صرف تارها می باشد‪.‬‬
‫استفادهیرکرد که‬
‫نکته‪ :‬گرادیان تغییرشکل را مستقیما می‬
‫توانستیم ازتعریف گرادیان تغییرشکل‬
‫بدست آوریم‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫اکنون می توان تانسور کرنش ی را که درتحلیل عناصرمحدود حائزارزش می باشد‪ ،‬تعریف نمود‪.‬‬
‫تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬را می توان برحسب تانسور کشامد راست نوشت‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬برحسب تانسور تغییرشکل ‪ Cauchy-Green‬به صورت زیرنوشته‬
‫می شود‪:‬‬
‫مؤلفه های تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬را می توان برحسب تغییرمکان ها نوشت‪ .‬روابط زیررا‬
‫قبال ارائه داده ایم‪:‬‬
‫همچنین داریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫اکنون می خواهیم به عنوان مثال‬
‫را به دست آوریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫بنابراین درحالت کلی را به صورت مؤلفه ای زیرمی توان نوشت‪:‬‬
‫الزم به یادآوری است که در تعریف تانسور کرنش ‪ ،Green- Lagrange‬تمامی مشتقات نسبت به‬
‫مختصات اولیه (‪ ) Initial Coordinate‬ذرات مادی می باشند‪ .‬به این دلیل است که می گوییم‪،‬‬
‫تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬نسبت به مختصات اولیه جسم تعریف می شود‪.‬‬
‫ می توان نشان داد که مؤلفه های تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬تحت اثریک دوران صلب‬‫جسمی مصالح ناوردا (‪ )Invariant‬است یعنی‪:‬‬
‫مؤلفه های تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬درزمان ‪ t‬به صورت زیرمشخص می شوند‪:‬‬
‫که درآن گرادیان تغییرشکل درزمان ‪ t‬است که متناظربا دستگاه مختصات ثابت و‬
‫می باشد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫فرض می کنیم که مصالح اززمان ‪ t‬تا زمان ‪ t+Δt‬تحت اثریک دوران صلب جسمی قرارمی گیرد‪ .‬دراین‬
‫صورت متناسب با دستگاه مختصات ثابت داریم‪:‬‬
‫که درآن ‪ R‬متناظر با دوران است‪ .‬بنابراین خواهیم داشت‪:‬‬
‫ناوردایی تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬درمثال زیرنشان می دهیم‪:‬‬
‫یک عنصر چهار گرهی را درنظر بگیرید که تا زمان ‪ t‬تحت کشامد قرار گرفته و سپس از زمان ‪ t‬تا ‪t+Δt‬‬
‫بدون اعوجاج‪ ،‬عنصرمذکور تحت یک دوران صلب جسمی قرارمی گیرد‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫(روش اول) مؤلفه های تانسور ‪ Green- Lagrange‬درزمان ‪ t‬را می توان از رابطه زیر‬
‫بدست آورد‪:‬‬
‫(روش دوم) مؤلفه های تانسور ‪ Green- Lagrange‬درزمان ‪ t‬را می توان از رابطه زیرنیز‬
‫بدست آورد‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫بعد ازدوران صلب جسمی مختصات نقاط گرهی عبارتند از‪:‬‬
‫‪Node‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫با استفاده ازروش مورد استفاده درتعیین برای عنصرچهارگرهی که تحت اثر‬
‫تغییرشکل های بزرگ قرارگرفته بود‪ -‬با بکارگیری توابع درونیابی‪ -‬می توان را به صورت زیربدست‬
‫آورد‪:‬‬
‫الزم به یادآوری است که ازرابطه‬
‫نیزمی توانستیم‬
‫را به صورت زیربدست آورد‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیارتنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫اکنون که تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬را تعریف نمودیم‪ ،‬حاال باید تانسور تنش مناسبی را‬
‫که بتوان با این تانسور کرنش مورد استفاده قرارداد‪ ،‬تعریف نماییم‪.‬‬
‫یک معیار تنش که همراه با تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬مورد استفاده قرار می گیرید و مزدوج‬
‫کاری(‪ )Work- Conjugate‬با آن تانسور کرنش می باشد‪ ،‬تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬می‬
‫باشد که به صورت نمایش داده می شود و به صورت زیرتعریف می شود‪:‬‬
‫چگالی جرمی(‪ )Mass density‬درزمان ‪0‬‬
‫تانسور تنش ‪ Cauchy‬درزمان ‪t‬‬
‫چگالی جرمی(‪ )Mass density‬درزمان ‪t‬‬
‫می توان را به راحتی برحسب نوشت‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیارتنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫تانسور تنش معرفی شده را می توان به صورت مؤلفه ای زیرنوشت‪:‬‬
‫نکته‪ :1‬تانسور تنش نخست ‪ Piola-Kirchhoff‬به صورت‬
‫تعریف می شود‪.‬‬
‫نکته‪ :2‬مباحث فراوانی در مورد طبیعت فیزیکی تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬انجام شده‬
‫است‪ .‬اگرچه‪ ،‬می توان تبدیل انجام شده درروی تانسور تنش ‪– Cauchy‬‬
‫ را به برخی استدالالت هندس ی ارتباط داد‪ ،‬ولی باید به این نکته اذعان‬‫به صورت‬
‫نمود که تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬مفهوم و معنی فیزیکی اندکی دارد و در عمل تنش های‬
‫‪ Cauchy‬باید محاسبه شوند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیارتنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫همانند تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬می توان ثابت نمود که مؤلفه های تانسور تنش‬
‫دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬تحت اثر یک دوران صلب جسمی مصالح‪ ،‬ناوردا (‪ )Invariant‬می‬
‫باشند‪ .‬به عبارت دیگر‪:‬‬
‫اگر یک دوران صلب جسمی به مصالح از زمان ‪ t‬تا زمان ‪ t+Δt‬اعمال کنیم‪ ،‬در این صورت‬
‫گرادیان تغییرشکل به صورت زیرتغییرمی کند‪:‬‬
‫به صورت زیرتعریف می شود‪:‬‬
‫با توجه به اینکه ‪ ،det [R]=1‬ازاینرو داریم‪:‬‬
‫همچنین داریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیارتنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫با جایگذاری روابط بدست آمده دررابطه تانسورتنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬داریم‪:‬‬
‫به هنگام دوران صلب جسمی مصالح‪ ،‬تانسور تنش ‪ Cauchy‬درزمان ‪ t+Δt‬به صورت زیراست‪:‬‬
‫درنهایت خواهیم داشت‪:‬‬
‫اکنون ناوردایی تانسورتنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬را درمثال زیرنشان می دهیم‪:‬‬
‫شکل زیر یک عنصر چهار گرهی در بافتار مربوط به زمان ‪ ∆t‬را نشان می دهد‪ .‬عنصر تحت اثر یک‬
‫قرار دارد‪ .‬فرض کنید که عنصر مذکور در زمان ‪ 0‬الی ‪ Δt‬به صورت دوران صلب‬
‫تنش اولیه‬
‫جسمی با اندازه دوران پیدا کرده است و نیز تنش در دستگاه مختصات متصل به جسم(‪Body-‬‬
‫که در شکل نشان داده‬
‫‪ )attached coordinate system‬تغییر ننموده است‪ .‬بنابراین مقدار‬
‫مساوی است‪ .‬نشان دهید که مؤلفه های تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬در‬
‫شده است با‬
‫نتیجه یک دوران صلب جسمی تغییرنمی کند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیارتنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬درزمان ‪ 0‬با تانسور ‪ Cauchy‬مساوی است زیرا‪ ،‬تغییرشکل‬
‫های عنصرمساوی صفراست‪ .‬بنابراین داریم‪:‬‬
‫مؤلفه های تانسور ‪ Cauchy‬درزمان‪ Δt‬که درمختصات و بیان می شود عبارتند از‪:‬‬
‫با استفاده ازمشتقات توابع درونیابی‪ ،‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬درزمان ‪ Δt‬عبارت است از‪:‬‬
‫که دراین حالت داریم‪:‬‬
‫گرادیان تغییرشکل را به همان طریق مثال هاي ارایه شده در قسمت های قبلی به دست می‬
‫آوریم‪ .‬مختصات نقاط گرهی عنصردرزمان ‪ Δt‬عبارتند از‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ث) رابطه کارمجازی داخلی با استفاده ازمعیار تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬و معیار کرنش‬
‫‪Green-Lagrange‬‬
‫پیش ازبیان کارمجازی داخلی با استفاده ازمعیارهای تعریف شده برای تنش و کرنش‪ ،‬ابتدا جسمی را‬
‫دربافتارتغییرشکل یافته اش درزمان ‪ t‬به گونه ای که درشکل زیرنشان داده شده است‪ ،‬درنظرمی‬
‫و تغییرمکان های کنونی ( ‪Current‬‬
‫گیریم‪ .‬مختصات کنونی ذرات مادی جسم‬
‫می باشند‪.‬‬
‫‪،)displacement‬‬
‫فرض می کنیم که یک میدان تغییرمکان مجازی(‪ )Virtual displacement field‬به جسم‬
‫اعمال می شود که به صورت نمایش می دهیم‪ .‬میدان تغییرمکان مجازی به عنوان‬
‫یک وردش(‪ )Variation‬درتغییرمکان های کنونی درنظرگرفته می شود‪ .‬به عبارت‬
‫‪ .‬ولی وردش درتغییرمکان های مجازی باید متناظربایک تغییردر‬
‫دیگر‬
‫مؤلفه های کرنش کنونی ‪ ،Green-Lagrange‬باشد و نیزباید متناظربا یک تغییردرمؤلفه های‬
‫باشد که به بافتارکنونی ارجاع داده می شود ‪ .‬می خواهیم نشان دهیم که ‪:‬‬
‫تانسور کرنش‬
‫یا به صورت مؤلفه ای می خواهیم نشان دهیم که ‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ث) رابطه کارمجازی داخلی با استفاده ازمعیار تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬و معیار کرنش‬
‫‪Green-Lagrange‬‬
‫ابطه کارمجازی داخلیدارایم‪:‬‬
‫تعریف‬
‫توجه به‬
‫حل‪ :‬با‬
‫با استفاده از معیار تنش دوم ‪Piola-‬‬
‫اکنون می‬
‫توانیم ر‬
‫‪ Kirchhoff‬و معیارکرنش ‪ Green-Lagrange‬بنویسیم‪:‬‬
‫را به صورت زیرتعریف می کنیم(فرض می کنیم)‪:‬‬
‫توجه داشته باشید که دررابطه آخر‪ ،‬ازاصل بقای جرم و رابطه‬
‫ایم‪.‬‬
‫استفاده کرده‬
‫بدین ترتیب درواقع مزدوج کاری(‪ )Work – Conjugacy‬معیار تنش دوم‬
‫‪ Piola-Kirchhoff‬و معیارکرنش ‪ Green-Lagrange‬اثبات می شود‪.‬‬
‫درارتباط با رابطه کارمجازی داخلی ارائه شده درباال ذکرنکاتی چند ضروری است‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ث) رابطه کارمجازی داخلی با استفاده ازمعیار تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬و معیار کرنش‬
‫‪Green-Lagrange‬‬
‫‪ ‬رابطه مذکور که به فرم مؤلفه ای نوشته شده است‪ ،‬درواقع یک معادله تانسوری است‪.‬‬
‫‪ ‬رابطه مذکور یک عبارت بنیادی برای فرمول بندی الگرانژی کلی ( ‪Total‬‬
‫‪ )Lagrangian Formulation‬و فرمول بندی الگرانژی به هنگام شده (‪Updated Lagrangian‬‬
‫‪ )Formulation‬است که در تحلیل نموی جامدات و سازه ها مورد استفاده قرارمی گیرد‪.‬‬
‫‪ ‬انتگرال گیری ها روی حجم اولیه انجام می گیرد‪.‬‬
‫‪ ‬به جای بافتاراولیه‪ ،‬هربافتارپیشین محاسبه شده ای را می توان مورد استفاده قرارداد که درآن‬
‫تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬و معیار کرنش ‪ Green-Lagrange‬نسبت به آن بافتارتعریف می شوند‪.‬‬
‫‪ ‬به طور مشخص اگربافتارمربوط به زمان مورد استفاده قراربگیرد‬
‫دهیم دراین صورت ازرابطه زیراستفاده می کنیم‪:‬‬
‫که درآن تنش های دوم ‪،Piola-Kirchhoff‬‬
‫همان صورت پیشین تعریف می شوند ولی‪ ،‬به جای‬
‫استفاده قرارمی گیرند‪.‬‬
‫‪ ،‬و مختصات درآن زمان را با‬
‫و کرنش های ‪،Green-Lagrange‬‬
‫‪ ،‬مختصات‬
‫نشان‬
‫به‬
‫که متناظربا بافتارمربوط به زمان می باشند مورد‬