Transcript Chapitre 5 Choix et demande

Chapitre 5
Choix et demande
Rationalité économique
 Un
consommateur choisit un panier
préféré dans l’ensemble des paniers
disponibles.
 Ensemble des paniers disponibles =
ensemble de budget.
 Nous avons vu au chapitre précédent ce
qu’on voulait dire par « préféré »
 Nous voulons dans ce chapitre intégrer
ces deux dimensions (ensemble de
budget et préférences)
Rationalité économique
 Notre
objectif: étudier comment le
panier choisi par le consommateur
est affecté par des changements
exogènes dans les prix ou dans la
richesse du consommateur.
 Important: Les prix et/ou la richesse
changent mais les préférences ne
changent pas.
Programme mathématique (PC)
décrivant le choix rationnel souscontrainte
max U ( x1 ,...xn ) s.c.q. 1) p1 x1  ...  pn xn  R
x1 ,... xn
2) ( x1 ,..., xn )  C
Le programme mathématique
(PC)
A
toujours au moins une solution
(théorème de Bolzano-Weirstrass)
 Une solution est un panier qui est
préféré par le consommateur à tous
les autres paniers disponibles
 Peut on obtenir une intuition
géométrique sur ce choix rationnel ?
Choix Rationnel sous contrainte
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
Disponible mais
pas optimal
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
Le préféré parmi
les paniers
Disponibles.
disponible, mais
pas optimal.
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
Utilité
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
Utilité
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
paniers
disponibles
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
Paniers
disponibles
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
Paniers préférés
Paniers
disponibles
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
Paniers
préférés
Paniers
disponibles
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
x2*
x1*
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x2
(x1*,x2*) est le panier
préféré dans l’ensemble
des paniers disponibles.
x2*
x1*
x1
Choix Rationnel sous contrainte
 Le
panier préféré dans l’ensemble des
paniers disponibles (solution du
programme PC) est appelé DEMANDE
MARSHALLIENNE
 Cette demande Marshallienne est une
fonction (si solution unique) ou une
correspondance (si solution multiples)
des prix et de la richesse.
 On note cette relation fonctionnelle
x1*(p1,p2,R) et x2*(p1,p2,R).
Choix rationnel sous contrainte
C = Rn+ et xi* > 0 pour tous
les biens i, le panier demandé est dit
INTERIEUR.
 Si acheter (x1*,…,xn*) coûte R euros
alors la contrainte budgétaire est
saturée.
 Lorsque
Choix Rationel sous-contrainte
x2
(x1*,x2*) est intérieur.
(x1*,x2*) sature la
Contrainte budgetaire.
x2*
x1*
x1
Choix Rationnel sous Constrainte
x2
(x1*,x2*) est intérieur.
(a) (x1*,x2*) sature la C. B.
p1x1* + p2x2* = R.
x2*
x1*
x1
Choix Rationnel sous Contrainte
x2
(x1*,x2*) est intérieur .
(b) La pente de la courbe
d’indifférence à (x1*,x2*)
est égale à la pente
de la droite de budget.
x2*
x1*
x1
Choix Rationnel sous contrainte
 (x1*,x2*)
satisfait 2 conditions:
 (a) la contrainte budgétaire est
saturée
p1x1* +…+ pnxn* = R
 (b) la pente de la droite de budget,
-pi/pj, et la pente de la courbe
d’indifférence passant par (x1*,x2*)
sont égales à (x1*,x2*).
Choix Rationnel sous contrainte
 La
condition (a) sera vérifiée par tout
choix d’un panier préféré dès lors que
les préférences sont localement nonsaturables (que le panier demandé
soit intérieur ou non)
 La condition (b) ne sera vérifiée que si
le panier choisi est intérieur.
Comment résoudre PC ?

max U ( x1 ,...xn ) s.c.q. 1) p1 x1  ...  pn xn  R
x1 ,... xn
2) ( x1 ,..., xn )  C
Comment résoudre PC ?
Puisque la contrainte budgétaire est
saturée (si les préférences sont
localement non-saturables) on peut
écrire
 p1x1* +…+ pnxn* = R 
 x1* = (R - p2x2* -…- pnxn* )/p1

(PC) devient donc:
max
x2 ,... xn
p n xn
R p 2 x2
U( 
 ... 
, x2 ,..., xn )
p1 p1
p1
Les solutions intérieures de ce
programme (sans contrainte) satisfont (si
dérivabilité) les conditions de 1er ordre:
U ( x ,..., x ) pi
U ( x ,..., x )
( ) 
0 i
x1
p1
xi
*
1
*
n
*
1
U ( x ,..., x )
xi
pi


*
*
U ( x1 ,..., xn )
pj
x j
*
1
*
n
*
n
 i, j
Et donc:
pi
TMS ij ( x ,..., x ) 
pj
*
1
avec
*
n
 i, j
évidemment
*
*
p
x
p
x
R
n n
2 2
*
x1 

 .... 
p1
p1
p1
Si les préférences sont convexes,
ces conditions sont en fait
SUFFISANTES pour indiquer un
panier optimal
Plus précisément un panier (x1*,…xn*)
qui satisfait:
pi
TMS ij ( x ,..., x ) 
pj
*
1
*
n
 i, j
*
*
et
pn x n
p2 x 2
R
x 

 .... 
p1
p1
p1
*
1
est préféré faiblement à tous les
autres paniers qui satisfont C.B.
Déterminer les demandes
marshalliennes: un exemple
Cobb-Douglas
 On
se rappelle que les préférences
Cobb-Douglas se représentent par la
fonction d’utilité.
a b
U( x1 , x 2 )  x1 x 2
Déterminer les demandes
marshalliennes: un exemple
Cobb-Douglas
 Si
les préférences se représentent
par.
U( x1 , x 2 )  x1a xb
2
 Alors
U
MU1 
 ax1a  1xb2
 x1
U
MU2 
 bx1axb2  1
 x2
Déterminer les demandes
Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas.
 Donc
le TMS est
TMS
a 1 b
1
2
a b 1
1 2
dx2
 U / x1

 

dx1
 U / x2
ax x
ax2

 .
bx x
bx1
Déterminer les demandes
Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas.
 Donc
le TMS est
dx2
 U / x1
ax x
ax2
TMS 
 

 .
dx1
 U / x2
bx x
bx1
a 1 b
1
2
a b 1
1 2

A
(x1*,x2*), TMS = -p1/p2 donc
ax*2
p1


*
p2
bx1

* bp1 *
x2 
x1 .
ap2
(A)
Déterminer les demandes
Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas.
 Puisque
(x1*,x2*) sature également la
contrainte budgétaire, on a
p x  p x  R.
*
1 1
*
2 2
(B)
Déterminer les demandes
Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas..
 Nous
savons donc que
* bp1 *
x2 
x1
ap2
*
*
1 1
2 2
p x  p x  R.
(A)
(B)
Déterminer les demandes
Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas..
 Nous
savons donc que
* bp1 *
x2 
x1
ap2 dans (B)
 Substituons
*
*
1 1
2 2
p x  p x  R.
(A)
(B)
Déterminer les demandes
Marshallienne un exemple CobbDouglas.
 Nous
savons donc que
* bp1 *
x2 
x1
ap2
Substituons
p x  p x  R.
*
1 1
*
2 2
(A)
(B)
Pour obtenir
bp1 *
*
p1 x1  p2
x1  R.
ap2
Ce qui se simplifie pour donner ….
Déterminer les demandes
Marshallienne un exemple CobbDouglas .
aR
x 
.
(a  b) p1
*
1
Déterminer les Demandes
Marshalliennes – un exemple CobbDouglas.
aR
*
x1 
.
( a  b) p1
En substituant pour x1* dans
px p x R
*
1 1
*
2 2
On obtient
bR
x 
.
( a  b) p2
*
2
Déterminer les demandes
Marshalliennes – Un exemple
Cobb-Douglas.
Nous avons donc découvert que le panier
disponible préféré d’un consommateur
avec des préférences Cobb-Douglas
U( x1 , x 2 )  x1axb2
est
aR
bR
(x , x )  (
,
).
(a  b) p1 (a  b) p 2
*
1
*
2
Préférences Cobb-Douglas: une
illustration géométrique.
x2
U( x1 , x 2 )  x1axb2
x 
*
2
bR
( a  b) p 2
aR
x 
(a  b) p1
*
1
x1
Qu’arrive t-il si le panier préféré
contient une quantité nulle d’un bien ?
Un exemple: le cas des substituts
parfaits
x2
TMS = -1
x1
Un exemple: Le cas des substituts
Parfaits
x2
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 > p2.
x1
Un exemple: le cas des substituts
parfaits
x2
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 > p2.
x1
Un exemple: Le cas des substituts
parfaits
x2
R
x 
p2
TMS = -1
*
2
pente = -p1/p2 avec p1 > p2.
x*1  0
x1
Un exemple: le cas des substituts
parfaits
x2
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 < p2.
x*2  0
R
x 
p1
*
1
x1
Un exemple: Le cas des substituts
parfaits
Donc, si U(x1,x2) = x1 + x2, la demande
marshallienne est
R 
( x ( p1 , p2 , R), x ( p1 , p2 , R)   ,0 
 p1 
 R
M
M
( x1 ( p1 , p2 , R), x2 ( p1 , p2 , R)   0, 
 p2 
M
1
M
2
si p1 < p2
si p1 > p2.
Un exemple- le cas des substituts
parfaits
x2
R
p2
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 = p2.
R
p1
x1
Un exemple: le cas des substituts
parfaits
x2
R
p2
Tous les paniers satisfaisant
la contrainte à égalité sont
préférés aux autres
Paniers disponibles lorsque
p1 = p2.
R
p1
x1
Un exemple: Le cas des substituts
parfaits
Donc, dans ce cas la demande
marshallienne est une correspondance
Définie par
 R 
( x ( p1 , p2 , R), x ( p1 , p2 , R)  ( ,0)
 p1 
M
1
M
2
si p1 < p2


( x1M ( p1 , p2 , R), x2M ( p1 , p2 , R))  ( x1 , x2 )  R2 : p1 x1  p2 x2  R
 R 
( x ( p1 , p2 , R), x ( p1 , p2 , R)  (0, )
 p2 
M
1
M
2
si p1 = p2
si p1 > p2.
Autre exemple de solution de coin
-des préférences non-convexes
x2
x1
Autre exemple de solution de
coin- des préférences nonconvexes
x2
x1
Autre exemple de solution de coin
– des préférences non-Convexes
x2
Quel est le panier disponible
préféré?
x1
Autre exemple de solution de
coin – des préférences nonconvexes
x2
Le panier disponible
préféré
x1
Autre exemple de solution de coin–
des préférences non-convexes
x2
Notons que la condition
(de 1er ordre) TMS = p1/p2
ne caractérise pas le panier
disponible préféré ici.
Le panier disponible
préféré
x1
Un exemple non-dérivable- Les
préférences pour les compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
a
x2 = ax1
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
TMS = 0
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
TMS = -

x2 = ax1
TMS = 0
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
TMS = - 
TMS pas défini
x2 = ax1
TMS = 0
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
Quel est le panier disponible
préféré ?
x2 = ax1
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
Le panier disponible
préféré
x2 = ax1
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
x2*
x1*
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2
(a) p1x1* + p2x2* = R
x2 = ax1
x2*
x1*
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2
(a) p1x1* + p2x2* = R
(b) x2* = ax1*
x2 = ax1
x2*
x1*
x1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
La substitution à partir de (b)
de x2* dans (a) donne
p1x1* + p2ax1* = R
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
La substitution à partir de (b)
de x2* dans (a) donne
p1x1* + p2ax1* = R
ce qui nous permet d’obtenir
R
x 
p1  ap 2
*
1
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
La substitution à partir de (b)
de x2* dans (a) donne
p1x1* + p2ax1* = R
ce qui nous permet d’obtenir
R
x 
p1  ap 2
*
1
aR
et x 
p1  ap 2
*
2
Un exemple non-dérivable- les
préférences pour des compléments
parfaits
x2
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x 
*
2
x2 = ax1
aR
p1  ap 2
R
x 
p1  ap 2
*
1
x1
Un exemple non-dérivable – les
préférences pour les
compléments parfaits
 Demande
marshallienne est une
fonction (solution unique)
 Préférences strictement convexes et
compléments parfaits: impliquent
toujours unicité des solutions