Transcript Трапеция
Четырехугольники ПАРАЛЛЕЛОГРАММ H S = DC*AH Свойства параллелограмма 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам Свойства параллелограмма 3. В параллелограмме сумма углов при одной стороне равна 1800 4. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник Свойства параллелограмма 5. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой 6. Биссектрисы углов при одной стороне параллелограмма перпендикулярны Свойства параллелограмма 7. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон d12 + d22 = 2a2 + 2b2. Свойства параллелограмма 7. Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине. Признаки параллелограмма 1. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм Признаки параллелограмма 2. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм Признаки параллелограмма 3. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм Признаки параллелограмма 4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм Трапеция 1 2 S = (AB + DC)*AH H Трапеция Трапеция – четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие непараллельны. «Трапеция» – греческое слово, означавшее «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется в значении «любой четырехугольник, кроме параллелограмма» Стороны трапеции Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Непараллельные стороны называются боковыми сторонами. Виды трапеции Трапеция, один из углов которой прямой, называется ПРЯМОУГОЛЬНОЙ Виды трапеции Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции Пусть АВСD–данная трапеция Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны СD прямую. Она пересекает прямую АD в некоторой точке Е. Треугольники РВС и РЕD равны по второму признаку равенства треугольников. У них СР = DР по построению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а углы РСВ и РDЕ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей СD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ = РЕ, ВС = ЕD. Значит, средняя линия РQ трапеции является средней линией треугольника АВЕ. По свойству средней линии треугольника PQ||AE и отрезок PQ = ½ АЕ = ½ (AD+ВС) A Свойства трапеции: B D C средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме; если трапеция равнобедренная, то ее диагонали равны и углы при основании равны; если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность; если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность. Равенство двух трапеций: Две трапеции равны, если их стороны соответственно равны Прямоугольник S = AD*DC Прямоугольник Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Т. к. прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Свойства прямоугольника 1. В прямоугольнике противоположные стороны равны 2. Диагонали в прямоугольнике точкой пересечения делятся пополам Характеристическое свойство прямоугольника Диагонали прямоугольника равны. Признаки прямоугольника 1. Если диагонали в параллелограмме равны, то этот параллелограмм – прямоугольник Признаки прямоугольника 2. Если около параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник, диагональ которого – диаметр окружности Ромб Ромб Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Т. к. ромб это параллелограмм, он обладает всеми свойствами параллелограмма. Характеристическое свойство ромба Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов Характеристическое свойство ромба В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит в точке пересечения диагоналей Признаки ромба 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом Признаки ромба Если в параллелограмме одна из диагоналей является биссектрисой своих углов, то этот параллелограмм – ромб Квадрат S = АВ 2 Квадрат Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны Квадрат Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат заключает в себе свойства всех этих четырехугольников.