Transcript 2 Mechanisms Design MECN 4110

Inter - Bayamon
Lecture
MECN 4110
2
Mechanisms Design
MECN 4110
Professor: Dr. Omar E. Meza Castillo
[email protected]
http://www.bc.inter.edu/facultad/omeza
Department of Mechanical Engineering
Inter American University of Puerto Rico
Bayamon Campus
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Tentative Lectures Schedule
Topic
Lecture
Introduction of Mechanism and Kinematics
2
1, 2 and 3
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One thing you learn in science is that
there is no perfect answer, no perfect
measure.
A. O. Beckman
Topic 2: Mechanism and
Kinematics
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Kinematics Fundamentals
3
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Course Objectives
 Up on completion of this chapter, the
student will be able to
 Explain the need for kinematic analysis of
mechanism.
 Define the basic components that comprise a
mechanism.
 Draw the kinematic diagram from a view of a
complex mechanism.
 Compute the number of degrees of freedom of a
mechanism.
 Identify a four bar mechanism and classify it
according to its possible motion.
 Identify a slider crank mechanism.
4
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2.1 NUMBER SYSTHESIS
The term number synthesis has been coined to
mean the determination of the number and order
of links and joints necessary to produce motion
of a particular DOF. Order in this context refers
to the number of nodes per link, i.e., binary,
ternary, quaternary, etc.
The value of number synthesis is to allow the
exhaustive
determination
of
all
possible
combinations of links which will yield any chosen
DOF.
This then equips the designer with a definitive
catalog of potential linkages to solve a variety of
motion control problems.
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2.1 NUMBER SYSTHESIS
 Hypothesis: If all joints are full joints, an odd
number of DOF requires an even number of
links and vice versa.
 Proof: Given: All even integers can be denoted
by 2m or by 2n, and all odd integers can be
denoted by 2m - 1 or by 2n - 1, where n and m
are any positive integers. The number of
joints must be a positive integer.
 Let: L = number of links, J = number of joints,
and M = DOF = 2m (i.e., all even numbers)
 Then: rewriting Gruebler's equation (Equation
2.1b) to solve for J,
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2.1 NUMBER SYSTHESIS
 Try: Substituting M=2m, and L=2n (i.e., both
any even numbers)
MECN 4110
 This cannot result in J being a positive integer
as required
 Try: M=2m-1, and L=2n-1 (i.e., both any odd
numbers)
 This also cannot result in J being a positive
integer as required
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2.1 NUMBER SYSTHESIS
 Try: M=2m-1, and L=2n (i.e., odd-even)
 This is a positive integer for m>=1 and n>=2.
 Try: M=2m, and L=2n-1 (i.e., even-odd)
MECN 4110
 This is a positive integer for m>=1 and n>2
 So, for our example of one-DOF mechanism
we can only consider combinations of 2, 4, 6,
8 … links
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2.1 NUMBER SYSTHESIS
 Letting the order of the links be represented
by:
 The total number of links in any mechanism
will be:
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 Since two link nodes are needed to make one
joint
 and nodes
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2.1 NUMBER SYSTHESIS
 Then
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 Substitute J and L in the Gruebler’s equation
 The DOF is independent of number of ternary
link in the mechanism. But because each
ternary link has three nodes, it can only
create or remove 3/2 joints
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2.1 NUMBER SYSTHESIS
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2.2 PARADOXES
 The Gruebler’s criterion pays no attention
to link sizes or shapes, it can give
misleading results in the face of unique
geometric configurations.
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2.3 ISOMERS
 The word isomer is from the Greek and
means having equal parts.
 Linkage
isomers
are
analogous
to
chemical compounds in that the links (like
atoms) have various nodes (electrons)
available to connect to other link’s nodes.
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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION
 There
are
several
transformation
techniques or rules that we can apply to
planar kinematic chains:
1. Revolute joints in any loop can be replaced
by prismatic joints with no change in DOF
of the mechanism, provided that at least
two revolute joints remain in the loop.
2. Any full joint can be replaced by half joint,
but this will increase the DOF by one.
3. Removal of a link will reduce the DOF by
one.
4. The combination of rules 2 and 3 above will
keep the original DOF unchanged.
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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION
5. Any ternary or higher-order link can be
partially “shrunk” to a lower-order link by
coalescing nodes. This will create a
multiple joint but will no change the DOF of
the mechanism.
6. Complete shrinkage of a higher-order link
is equivalent to its removal. A multiple
joint will be created, and the DOF will be
reduced.
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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION
 A
fourbar
crank-rocker
linkage
transformed into the fourbar slider-crank
by the application of rule #1.
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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION
 A fourbar slider-crank transformed via
rule #4 by the substitution of a half joint
for the coupler.
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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION
 A fourbar linkage transformed into a earnfollower linkage by the application of rule
#4. Link 3 has been removed and a half
joint substituted for a full joint between
links 2 and 4.
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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION
(a) shows the Stephenson's sixbar chain
transformed by partial shrinkage of a
ternary link (rule #5) to create a multiple
joint. It is still a one-DOF Stephenson's
sixbar.
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2.4 LINKAGE TRANSFORMATION
(b) shows the Watt's sixbar chain from
with one ternary link completely shrunk to
create a multiple joint.
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2.5 INTERMITENT MOTION
 Is a sequence of motions and dwells.
Dwell; is a period in which the output link
remains stationary while the input link
continues to move.
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2.5 INTERMITENT MOTION
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2.6 INVERSION
 An inversion is created by grounding a
different link in the kinematic chain. Thus
there are as many inversions of a given
linkage as it has links.
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2.6 INVERSION
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2.6 INVERSION – All inversions of the Grashof fourbar linkage
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
3.- Coupler
Link
4.- Follower
Link
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2.- Input
Link
1.- Fixed
Link
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
3.- Coupler
Link
4.- Follower
Link
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2.- Input
Link
1.- Fixed
Link
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 The four bar linkage, shown in previous
slide, is a basic mechanism which is quite
common. Further, the vast majority of
planar one degree-of-freedom (DOF)
mechanisms have "equivalent" four bar
mechanisms. The four bar has two
rotating links ("levers") which have fixed
pivots, (bodies 2 and 4 above). One of the
levers would be an input rotation, while
the other would be the output rotation.
The two levers have their fixed pivots with
the "ground link"(body 1) and are
connected by the "coupler link" (body 3).
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2.7 THE GRASHOF CONDITION - Definitions
 Crank- a ground pivoted link which is
continuously rotatable.
 Rocker- a ground pivoted link that is only
capable of oscillating between two limit
positions and cannot rotate continuously.
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2.7 THE GRASHOF CONDITION - Definitions
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 Then if: S+L<=P+Q
 Grashof Condition- is a very simple
relationship which predicts the rotation
behavior or rotability of a fourbar
linkage's inversions based only on the link
lengths
 Let:
 S=length of shortest link
 L=length of longest link
 P=length of one remaining link
 Q=length of other remaining link
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 The linkage is Grashof and at least one
link will be capable of making a full
revolution with respect to the ground
plane. This is called a Class I kinematic
chain.
 If the inequality is not true, then the
linkage is non-Grashof and no link will be
capable of a complete revolution relative
to any other link. This is a Class II
kinematic chain.
 The order of the assemble in the
kinematic chain in S, L, P, Q, or S, P, L, Q
or any other order, will not change the
Grashof condition.
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 The motions possible from a fourbar
linkage will depend on both the Grashof
condition and the inversion chosen. The
inversions will be defined with respect to
the shortest link. The motions are:
 For the Class I case, S + L < P + Q:
 Ground either link adjacent to the
shortest and you get a crank-rocker, in
which the shortest link will fully rotate
and the other link pivoted to ground
will oscillate.
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 Ground the shortest link and you will
get a double-crank, in which both links
pivoted to ground make complete
evolutions as does the coupler.
 Ground the link opposite the shortest
and you will get a Grashof doublerocker, in which both links pivoted to
ground oscillate and only the coupler
makes a full revolution.
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 For the Class II case, S + L > P + Q:
 All inversions will be triple-rockers in
which no link can fully rotate.
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 For Class III case, S+L = P+Q
 All inversion will be either
cranks, or crank-rocker
double-
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 For Class III case, S+L = P+Q
 All inversion will be either
cranks, or crank-rocker
double-
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
 For Class III case, Special Grashof Case
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2.7 THE GRASHOF CONDITION
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2.8 LINKAGES OF MORE THAN FOUR BARS
 Geared Fivebar Linkages
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2.8 LINKAGES OF MORE THAN FOUR BARS
 Sixbar Linkages
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44
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Example
 Statement:
 Find the Grashof
classification.
condition
and
the
Baker
Solution:
 Grashof Condition
S+L<P+Q
(12 + 32)<(26+30)
44<56
L2
CRANK-ROCKER
 Baker Classification
Type 2, L2=s=input
Class I-2, Baker’s designation Grashof crankrocker-rocker, Code GCRR, also known as
crank-rocker.
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Example– GRASHOF CONDITION - SOLIDWORKS
 Examples of Grashof Criterion for Four-Bar
Mechanisms
 http://www.me.unlv.edu/~mbt/320/Grash
of.html
 Examples of
SolidWorks
links,
planar
joints
in
MECN 4110
 http://wahyutjakraningrat.blogspot.com/2009/02/solid
work-planar-joints.html
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2.9 ROTABILIDAD
 Mecanismo de cuatro barras
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2.9 ROTABILIDAD
 Nomenclatura
1. El eslabón 1, MN, cuya longitud es a1, se
conoce como bastidor, marco o eslabón
fijo.
2. El eslabón 2, MA, cuya longitud es a2, se
supone el motriz y se conoce como
manivela, eslabón de entrada, motriz o
conductor.
3. El eslabón 3, AB, cuya longitud es a3, se
conoce como eslabón acoplador.
4. El eslabón 4, NB, cuya longitud es a4, se
conoce como seguidor, eslabón de salida o
conducido.
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2.9 ROTABILIDAD
 Dependiendo de la capacidad de rotar de los
eslabones motriz y conducido respecto a su
eje de rotación, rotabilidad, los mecanismos
de cuatro barras se clasifican en:
1. Doble oscilatorio - double rocker - cuando
ambos
eslabones
únicamente
pueden
oscilar, obviamente, el ángulo de oscilacion
es menor a 360◦.
2. Rotatorio oscilatorio - crank rocker cuando uno de los eslabones motriz o
conducido puede rotar, mientras que el
otro solamente puede oscilar.
3. Doble rotatorio - double crank - cuando
ambos eslabones pueden rotar.
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2.9 ROTABILIDAD – POSICIONES CRITICAS
 La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida
de un mecanismo, esta íntimamente ligada a la
aparición de ciertas posiciones conocidas como
posiciones criticas. Existen dos diferentes tipos de
posiciones criticas:
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1. Posición límite: Una posición límite para el eslabón
de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre
cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador
y el de entrada es de 180o o 360o; es decir, las
uniones M, A y B están en línea, vea la figura.
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2.9 ROTABILIDAD – POSICIONES CRITICAS
2. Posición de puntos muertos: Una posición de puntos
muertos para el eslabón de salida, en un mecanismo
de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior
entre el eslabón acoplador y el de salida es de 180o o
0o, las uniones A, B y N están en línea, vea la figura.
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
 Excepción del Criterio de Grubler:

La primera condición que un mecanismo de 4 barras
debe satisfacer es que el mecanismo pueda formarse
y moverse, la condición viene dada por:

Donde am es la longitud del eslabón más grande y ai
es el eslabón del i-esimo eslabón.
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 Si la relación es de igualdad el sistema es una
estructura. Si por el contrario, la relación es
una desigualdad del tipo >, la cadena no puede
cerrarse.
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
 El objetivo de este análisis consiste en determinar
las relaciones que deben satisfacer las longitudes
de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro
barras a fin de que el mecanismo sea doble
rotatorio; como un subproducto se mostraran las
posiciones criticas que se producen cuando los
eslabones de entrada o salida solo oscilan.
PRIMERAS CONDICIONES:
Intuitivamente
debe
reconocerse
que
las
situaciones más comprometidas ocurren cuando
los eslabones de entrada y salida se alinean con el
eslabón fijo; primero se analizaran las condiciones
que aparecen cuando los eslabones de entrada y
salida tratan de extenderse hacia el “exterior”.
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD

Eslabón de Entrada:
La primera situación critica para el eslabón de
entrada se muestra en la figura. De la desigualdad
del triángulo, se tiene
(1)
MECN 4110
Si se satisface esta condición, el eslabón dos podrá
tomar la posición θ2 =180o.
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
Si, por el contrario, se satisface que
(2)
MECN 4110
Se presenta una posición de puntos muertos, un
ejemplo de esa posición se muestra en la siguiente
figura. El ángulo para el cual ocurre esta posición
esta dada por
Lecture 2
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
MECN 4110
Como puede observarse, las condiciones (1 y 2) no
son excluyentes y cuando se satisfacen ambas se
obtiene que
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MECN 4110
2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
El eslabón de entrada puede tomar la posición
θ2=180o; mas sin embargo, se presenta una posición
de puntos muertos que al mismo tiempo constituye
una posición limite. Esta posibilidad se muestra en la
siguiente figura. Esta situación se repetirá en los
otros análisis pero en aras de una mayor fluidez, no
se volvera a mencionar.
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD

Eslabón de Salida:
La primera situación crítica para el eslabón de salida
se muestra en la siguiente figura. De la desigualdad
del triángulo, se tiene
(3)
MECN 4110
Si se satisface esta condición, el eslabón 4 podrá
tomar la posición θ4=0o.
Lecture 2
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
Si, por el contrario, se satisface que
(4)
Se presenta una posición limite tal como la mostrada
en la siguiente figura. El ángulo para el cual ocurre
esta posición esta dada por
MECN 4110
Donde:
Lecture 2
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
A partir de
probarse que
identidades
trigonométricas
puede
MECN 4110
Por lo tanto,
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
SEGUNDAS CONDICIONES:
Las segundas condiciones más comprometidas
ocurren cuando los eslabones de entrada y salida
tratan de extenderse hacia el “interior” del
mecanismo. Es decir, cuando los eslabones de
entrada y salida tratan de obtener las posiciones
asociadas con θ2=0º y θ4=180º respectivamente.
MECN 4110

Eslabón de Entrada:
Deben distinguirse dos diferentes situaciones:
 a2 > a1: Considere el mecanismo plano de cuatro
barras mostrado en la siguiente figura. La
desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones
3 y 4 conducen a
(5)
(6)
Lecture 2
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
MECN 4110
a1 > a2: Considere el mecanismo plano de cuatro
barras mostrado en la siguiente figura. La
desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones 3
y 4 conducen a
(7)
(8)
Lecture 2
Inter - Bayamon
2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
Las cuatro ecuaciones (5, 6, 7 y 8) pueden resumirse
en
Si por el contrario, se tiene que
MECN 4110
Se presenta una posición de puntos muertos, un
ejemplo de la cual, cuando a4 > a3, se muestra en la
siguiente figura.
El ángulo para el cual ocurre esta posición es
Lecture 2
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
MECN 4110

Eslabón de Salida:
Deben distinguirse dos diferentes situaciones:
 a1 > a4: Considere el mecanismo plano de cuatro
barras mostrado en la siguiente figura. La
desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones
2 y 3 conducen a
Lecture 2
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MECN 4110
2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
(9)
(10)
 a4 > a1: Considere el mecanismo plano de cuatro
barras mostrado en la siguiente figura. La
desigualdad del triangulo aplicado a los eslabones
2 y 3 conducen a
Lecture 2
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MECN 4110
2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
(11)
(12)
Las cuatro ecuaciones (9, 10, 11 y 12) pueden
resumirse en
Lecture 2
Inter - Bayamon
2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
Si por el contrario, se tiene que
Se produce una posición limite, semejante a la
mostrada en la siguiente figura, esta posición límite
ilustra la situación que ocurre cuando a3 > a2.
El ángulo para el cual ocurre esta posición es
MECN 4110
Resumiendo, las condiciones
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
aseguran la rotabilidad del eslabón 2, que se ha
supuesto es el motriz. El incumplimiento de estas
condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce
a una posición de puntos muertos por cada
condición.
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2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
Similarmente las condiciones
MECN 4110
aseguran la rotabilidad del eslabón 4. El incumplimiento de
estas condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a
una posición limite por cada relación.
Bajo estas condiciones el mecanismo sería:
1. Doble oscilatorio: Cuando sus longitudes no
satisfagan alguna o ambas de las condiciones
de rotabilidad del eslabón 2 y del eslabón 4.
Lecture 2
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MECN 4110
2.10 ANALISIS DE ROTABILIDAD
2. Oscilatorio rotatorio: Cuando sus longitudes
satisfagan ambas condiciones de rotabilidad del
eslabón 2 y no satisfagan alguna o ambas del
eslabón 4 o viceversa. En el primer caso el
eslabón capaz de rotar será el 2 y se presentara
al menos una posición limite. En el segundo
caso el eslabón capaz de rotar será el 4 y se
presentara al menos una posición de puntos
muertos.
3. Doble rotatorio: Cuando las cuatro condiciones
anteriores se satisfagan.
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71
Lecture 2
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MECN 4110
Example
 Statement:
 Considere el mecanismo plano de cuatro barras
mostrado en la figura cuyas longitudes son:
a1=10; a2=2; a3=8; a4=6. Primeramente se
determinara la clase del mecanismo empleando
la condición de Grashof. En una segunda etapa,
se confirmara este resultado empleando las
condiciones de rotabilidad y, adicionalmente, se
determinaran las, posibles, posiciones criticas
de los eslabones de entrada y de salida.
Solution:
 Grashof Condition
S+L<P+Q
(2 + 10)<(8+6)
12<14
Class I case, como a2=S es un CRANK-ROCKER
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Lecture 2
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Example
MECN 4110
 Eslabón 2 (entrada)
73
Lecture 2
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Example
MECN 4110
 Eslabón 4 (salida)
74
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MECN 4110
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Example
75
Lecture 2
MECN 4110
Inter - Bayamon
Example
76
Lecture 2
MECN 4110
Inter - Bayamon
Example
77
Lecture 2
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Inter - Bayamon
Example
78
Lecture 2
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79
Lecture 2