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Modelado Matemático en
Aulas Escolares de
Elemental y Secundaria
Presentado por: Lisa Evered
• El término modelado matemático es nuevo para
describir un proceso antiguo.
• El modelado matemático es similar a la resolución de los
problemas, pero no idéntico a ello.
• La resolución de problemas comienza con un problema
gramaticalmente estructurado al cual los estudiantes
aplican métodos matemáticos previamente enseñados.
• El modelado matemático, tal como se usa hoy día,
comienza con una situación que usualmente no es
estructurada.
• Los métodos matemáticos apropiados para una
situación no estructurada pueden no estar dentro del
repertorio del estudiante más brillante o del profesor
más competente.
• La diferencia principal entre la resolución de problemas
y el modelado matemático es prácticamente la diferencia
que existe entre una tarea estructurada y una no
estructurada.
• La resolución de problemas ha sido la
mayor preocupación de los docentes de
matemáticas desde hace siglos.
• El modelado matemático ha logrado surgir
como una metodología educativa y
científica solo a partir de los últimos 30 o
40 años.
• John Dewey fue uno de los primeros en sugerir
que los matemáticos .deberían preocuparse por
el mundo real.
• Su tesis principal de Aprender Haciendo forzó a
los estudiantes y docentes de matemáticas a
apartarse de los libros texto y adentrarse en el
mundo real.
•Dewey no utilizó el término modelado matemático
pero si escribió acerca del pensamiento
reflexivo requerido para investigar una situación
no estructurada.
Las cinco etapas del pensamiento reflexivo de Dewey son:
1.
2.
3.
Sugerencias para una solución.
Raciocinio del problema
Formar una hipótesis basándose en las sugerencias
y los raciocinios.
4.
Formular la hipótesis
5.
Probar la hipótesis a través de una acción.
Noten las semejanzas que existen entre la lista de Dewey
y a lo que se refieren los científicos como método
científico.
• Wertheimer y Kohler fueron los fundadores de la
psicología Gestault en la Universidad de Berlín a
principios de 1930.
• El libro de Wertheimer, Pensamiento Productivo,
diferenció el modelado de la resolución de
problemas.
•La solución de problemas hace énfasis en el
conocimiento de técnicas.
•El
modelado
matemático
formulaciones imaginativas.
requiere
de
• El trabajo de dos volúmenes de George Polya,
Las Matemáticas y el Razonamiento Plausible,
hace énfasis en la importancia de la formulación
imaginativa.
• Saaty identifica tres temas fundamentales en el
modelado matemático
(1) Conteo (2) Estimación, y (3) Estructuración.
• Estos temas nos guiarán en la selección
de ejemplos con contenidos matemáticos
con motivación intrínseca.
Comenzaremos con el conteo.
Otros ejemplos destacarán (1)
la
estructura como un tema de modelado y
(2) la estimación como un tema de
modelado
¡Una mirada a lo que viene
El conteo como tema de modelado
La hermandad del hombre.
• *¿Están relacionados entre si todos los seres
humanos?
• *¿Hace cuantas generaciones compartimos
ancestros comunes?
• *¿Son Adán y Eva nuestros ancestros comunes
más cercanos?
La estructuración como tema de modelado
La Mesa Estable - - el Dilema del mesero
•¿Se tambalean todas las mesas que tienen
cuatro patas?
•¡Los meseros doblan servilletas para estabilizar
una mesa tambaleante!
•¿Existe otra manera?
La estimación como tema de modelado.
Tomando decisiones sobre relaciones
* ¿Cuantas relaciones se necesitan
antes de encontrar la correcta?
* ¿Como decides cuál es la correcta?
El conteo como tema de modelado
La hermandad del hombre
Cada persona tiene un “árbol genealógico”
•
Supongan que n generaciones están
representadas en cada árbol genealógico.
• ¿Qué tan grande debe ser n para que las ramas
de dos árboles genealógicos cualquiera
contengan el mismo ancestro?
• La población del mundo hoy día es de
aproximadamente 4.5 x 109.
• Asuman que la población de hace n
generaciones no era mayor a la de hoy
día.
•Un modelo de conteo puede ser
desarrollado para mostrar el máximo valor
de n requerido para establecer que dos
individuos están relacionados, es decir,
que tienen un ancestro en común.
• Un individuo que aun vive desciende
de dos individuos – la madre y el
padre.
• Ellos a su vez, descienden cada uno
de
dos
individuos
y
así
sucesivamente.
• ¿Cuántos individuos estarían en la
enésima generación de una P dada?
• Los primeros ancestros de la generación
P son 2 en número.
• Los segundos ancestros de la generación
P son 22 ó 4.
• La enésima generación de P debe ser 2n.
• Consideren el árbol genealógico de Q.
• Q también tendría 2n ancestros en su
enésima generación.
• Si P y Q tienen 2n ancestros en la
enésima generación, ¿Podrían P y Q
tener al menos un ancestro en común?
• Ellos podrían si 2n > 4.5 x 109. ¿Por qué?
• Si 2n > 4.5 x 109 , entonces n > 32.
• Cualquier pareja de individuos no necesita
regresar más de 32 generaciones para
encontrar un ancestro en común.
• Si una nueva generación aparece
aproximadamente cada 25 años, entonces
la búsqueda de un ancestro común no
necesita extenderse más de 800 años.
La estimación como un tema de modelado.
El modelo Mosteller
• ¿Cuántas relaciones se necesitan antes de
encontrar la persona correcta?
• Supongan que un joven barranquillero
conoce a 100 mujeres y desea elegir a su
esposa entre ellas.
• ¿Tiene el que salir con cada una de las
100 mujeres y después elegir?
• El proceso de salir con cada una de las
mujeres sería agotador ( y costoso)
• En algún momento el joven diría: “ estoy
cansado de este juego. Me casaré con la
próxima mujer que se vea mejor que las
demás y le preguntaré si quiere casarse
conmigo!”.
La afirmación del joven es un “algoritmo” de
elección. Lo único que hace falta es:
1. Un criterio para “mejor que las demás”. Y
¿En que momento durante la secuencia de
las 100 mujeres debería ser aplicado el
algoritmo para maximizar la probabilidad
de tomar la mejor decisión?
El primer item depende del gusto que tiene
el joven por las mujeres.
El segundo puede ser modelado
matemáticamente.
Comencemos con una lista mas razonable
de candidatas que consiste de 3 mujeres.
Se les asignarán los puestos 1, 2 y 3,
siendo el # 3 la mujer que más le gusta y
el #1 la que menos le gusta.
Si sale con las 3 en un orden arbitrario,
existen 6 ordenes posibles:
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1
• Supongamos que el decide aplicar el
algoritmo después de su primera cita.
• Después de la primera cita el elige a la
mujer que le gustó más que la mujer con
la que salió primero.
•
Las secuencias señaladas con un
asterisco llevan a elegir a la mujer 3 - quien es la que le gustaría más si tuviera
que salir con las 3.
• Con solo 3 mujeres de donde escoger, el
tiene un 50% de probabilidad de elegir la
mejor para él, al salir con una sola y
luego aplicar el algoritmo.
1, 2, 3
* 1, 3, 2
* 2, 1, 3
* 2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1
• Supongan que hay 4 mujeres de donde escoger.
Asígnenles los puestos 1, 2, 3, 4 siendo el #4 la mujer
que más le gusta. Hay entonces 24 ordenes arbitrarios:
1,2,3,4
1,2,4,3
1,3,2,4
1,3,4,2
*1,4,2,3
*1,4,3,2
2,1,3,4
*2,1,4,3
2,3,1,4
2,3,4,1
*2,4,1,3
*2,4,3,1
* 3,1,2,4
*3,1,4,2
*3,2,1,4
*3,2,4,1
*3,4,1,2
*3,4,2,1
4,1,2,3
4,1,3,2
4,2,1,3
4,2,3,1
4,3,1,2
4,3,2,1
• En cada secuencia señalada con un asterisco, la
estrategia de aplicar el algoritmo después de la primera
cita lleva a elegir la mujer #4, la mejor mujer para él.
• La probabilidad de elegir “a la mejor” mujer
saliendo con una sola y luego escogiendo
la próxima quien es mejor que la primera
(si alguna) es de 11/24. ¡Esto es solo un
poco menos que la probabilidad de
escoger entre únicamente 3 mujeres!.
No podríamos continuar analizando
situación de esta manera.
la
•Aun con una lista de 8 mujeres de donde
escoger,
habrían entonces 40.320
ordenes posibles de citas.
• Para la lista original de 100 mujeres, ¡100!
Secuencias se necesitarían para ser
examinadas.
Las probabilidades de que el joven
consiga la mujer mas adecuada entre una
lista n de mujeres saliendo con las
primeras s mujeres y después eligiendo a
la siguiente mujer la cual le gustó más que
cualquiera con la que haya salido antes
están dadas para varios valores de n y s.
Esta tabla nos da: :
n
1
2
3
4
5
10
20
50
100
s
1
1
2
2
3
4
8
19
38
p (s, n)
1.0000
.5000
.5000
.458
.433
.399
.384
.374
.371
n∞ n /e 1 /e ~ .368
• El mejor momento para que el joven deje
de salir con cada mujer en su lista y
aplicar el algoritmo es aproximadamente
de 1/3 en el recorrido de la lista.
• A medida que n aumenta, la probabilidad
de que esta estrategia le consiga la
“mejor” mujer se acerca 1 /e = .368.