Transcript Relatividad Prof. Luis Torres 1

Relatividad
Prof. Luis Torres
1
Objetivo terminal:

Al finalizar la discusión:
 Ampliarán sus conocimientos físicos sobre
la importancia de la relatividad en la
investigación científica.

Demostrarán su dominio en la resolución
de problemas relacionados con fórmulas
dentro del proceso de relatividad.
2
La Relatividad
TEORIA QUE DESARROLLO ALBERT
EINSTEIN PARA TRATAR EVENTOS
FISICOS QUE LA FISICA CLASICA NO
PUEDE EXPLICAR
3
Introducción:
Hacia el final del siglo XIX los ciéntificos
estaban convencidos de que habían aprendido
la mayor parte de lo que se necesitaba conocer
acerca de la física, las leyes de movimiento de
Newton y su Teoría de la Gravitación Universal.
 El trabajo de Maxwell en la unificación de la
electricidad y el magnetismo, así como las
leyes de la termodinámica y la teoría cinética
tuvieron un gran éxito en la explicación de una
amplia variedad de fenómenos.

4
Al comenzar el Siglo XX la ciencia se impacto
por una nueva revolución del pensamiento
científico.
 En 1900 Planck brindó las ideas básicas que
llevaron a formular la Teoría Cuántica.
 En 1905 Albert Einstein formuló la Teoría de
la Relatividad.
 Las dos teorías tuvieron un profundo efecto
en nuestra comprensión de la naturaleza.
Pero la historia no termina aún. Los
descubrimientos continúan surgiendo y la
teoría se amplifica haciendo mucho más
profunda nuestra comprensión del mundo
natural.

5
La mayor parte de nuestras experiencias y
observaciones cotidianas se relacionan con
objetos que se mueven a velocidades mucho
menos que la velocidad de la luz.
 Las primeras ideas sobre el espacio, el tiempo
y la mecánica Newtoniana se formularon para
describir el movimiento de dichos objetos.
 La mecánica newtoniana fracasa cuando se
aplica a partículas cuyas velocidades se
acercan a la velocidad de la luz.

6
Es posible acelerar un electrón a una
velocidad de 0.99c empleando una diferencia
de potencial de varios millones de voltios.
 De acuerdo con la mecánica Newtoniana, si la
diferencia en potencial se incrementa por un
factor de cuatro, la velocidad del electrón
debe ser 1.98C.
 Pero la velocidad del electrón al igual que las
velocidades de otras partículas en el universo,
siempre permanece menor que la velocidad
de la luz independientemente del voltaje de
aceleración.

7
La mecánica Newtoniana es contraria a los
resultados experimentales modernos debido a
que no impone un límite superior a la
velocidad de la luz.
 La teoría de la relatividad surge de la
necesidad de resolver contradicciones serias y
profundas en la vieja teoría de las cuales
parece no haber salida.
 La teoría Newtoniana sólo es un caso especial
de la teoría de la relatividad.

8
El Principio de la
Relatividad
Newtoniana
9
Marco Inercial:
 Un
marco inercial es aquel en el
cual la primera Ley de Newton
es válida.
10

No hay un marco inercial privilegiado:
Esto significa que los resultados de un
experimento efectuado en un auto que se
mueve con velocidad constante son iguales a
los resultados de un experimento que se lleve
a cabo en un auto en reposo.
PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD NEWTONIANA
 Las leyes de la mecánica deben ser las
mismas en todos los marcos inerciales

11
Considere dos marcos inerciales
S y S1
S1
S
z1
z
v
P{evento}
x1
vt
x
0
x
y1
y
Figura 1
x1
01
12

El sistema S1 se mueve con una velocidad
constante v a lo largo de los ejes xx1,
donde v se mide en relación con S.

Suponga que un evento ocurre en el punto
P y que los orígenes de S y S1 coinciden en
t = 0, un observador en S describe el evento
con unas coordenadas espacio tiempo,
(x, y, z, t) en tanto que un observador en S1
emplea las coordenadas espacio tiempo
(x1, y1, z1, t1) para describir el mismo evento.
13

Deseamos poder transformar estas coordenadas de
un marco inercial a otro. De la figura 1 estas
coordenadas se relacionan por medio de las
ecuaciones.
1
 x = x + vt




y = y1
z = z1
t = t1
Es lo mismo que:




x1 = x - vt
y1=y
z1=z
t1 = t
 Transformación
de coordenadas
galileana
14

Dentro de el marco de la mecánica clásica,
todos los relojes funcionan al mismo tiempo
sin que la velocidad entre los marcos
inerciales importe;

de modo que el tiempo durante el cual ocurre
un evento para un observador en (S) es el
mismo tiempo para el mismo evento en (S1).

Como consecuencia el intérvalo de tiempo
entre dos acontecimientos sucesivos debe ser
el mimo para ambos observadores.
15

Ésta suposición se vuelve incorrecta
cuando tratamos situaciones en las
cuales (v) es comparable a la velocidad
de la luz.

El punto de tiempos iguales representa
una de las profundas diferencias entre
los conceptos de la teoría newtoniana y
los conceptos de la teoría de la
relatividad.
16

Suponga que dos eventos están separados a
una distancia (dx) y un intérvalo de tiempo
(dt) de acuerdo como lo mide un observado
en (S).

Se deduce de la ecuación x1 = x – vt que la
distancia recorrida (dx1) medida por un
observador en S1 es:

dx1 = dx – vdt donde dx es la distancia
entre los dos eventos medida por un
obsevador en S.
17
Puesto que dt = dt1


dx1 = dx
dt
dt
dx1 = dx
dt
dt
–
–
vdt
dt
v
u 1 x = ux - v
Donde u1 y u son las velocidades instantáneas
del evento en relación S1 y S,
respectivamente, v es la velocidad el marco
inercial S1 desde el punto de vista del
observador en S.

LEY GALILEANA DE ADICIÓN DE
VELOCIDADES (transformación galileana de
velocidades
18
Velocidad de la Luz
19
Albert Michelson (1852-1931)
Edward W. Morley (1838-1923)

Idearon un experimento que
accidentalmente eliminó de un plumazo
la teoría del éter como marco inercial
absoluto,
y con esto la posibilidad de que la luz
tuviera diferentes velocidades en
diferentes marcos inerciales.
20
Olaf Roemer (1644-1710)
Astrónomo danés midió la velocidad de
la luz, observando el eclipse de una de
las lunas de Júpiter.
 Concluyó que la velocidad de la luz es
3 x 108 m/s en el sistema S I.

21
Albert Michelson

Se le debe la primera medición exacta de la
velocidad de la luz calculada en la tierra.

Utilizó un rayo de luz y un espejo rotativo de
8 caras (f = 625 rev/s).

Desde luego la velocidad de la luz fue de 3.0
x 108 m/s.1
1-Raymond A. Serway/ IV Edición /
Págs. 1159-1161
22
Principio de relatividad de
Einstein
23
Albert Einstein propuso la teoría de la
relatividad especial que elimina esta
dificultad y al mismo tiempo alteró por
completo la noción del tiempo. Éste
fundamentó su teoría en dos
postulados.
24
Postulado #1:
Todas las leyes de la física
son las mismas en todos
los marcos inerciales.
25
Postulado #2
La velocidad de la luz es c en
todos los marcos inerciales.
(c = 3 x 108 m/s en el SI)
26
Simultaneidad y relatividad del
tiempo

Una premisa básica de la mecánica
newtoniana es que existe una escala de
tiempo universal que es la misma para todos
los observadores.

La mecánica relativista propone, que una
medida del intérvalo de tiempo depende del
marco de referencia en el cual se efectúa
medida.
27
Figura 2
a)
b)
v
01
A1
01
B1
A
0
v
B1
A1
B
A
0
B
Un vagón se mueve con velocidad uniforme y dos rayos
inciden sobre sus extremos, el observador estacionario dice
que los rayos inciden a la misma vez mientras que el
observador en el vagón dice que el rayo incide en B1
28
primero que en A1

Dos eventos que son simultáneos en un
marco de referencia no son en general
simultáneos en un segundo marco de
referencia que se mueve en relación con el
primero.

La simultaneidad no es un concepto absoluto
si no que depende del marco de referencia
del observador.

Ambos observadores tienen razón cuando
explican el evento desde sus respectivos
marcos de referencias.
29
¿Qué dice el
Principio de la
Relatividad?
30

El principio de la relatividad dice que no
hay un marco inercial privilegiado, o
sea, las leyes de la física son las
mismas en cualquier marco inercial y la
simultaneidad no es absoluta.
31
Figura 3 Dilatación del Tiempo
32

Un observador dispara un rayo hacia un
espejo desde su marco de referencia
que se mueve con velocidad uniforme
respecto a éste.
El tiempo que se tarda el rayo en ir al
espejo y regresar ∆t1= 2d/c.
33
De acuerdo con el observador estacionario el láser se
mueve a la derecha con una velocidad v y la distancia
total es:
dt
= dh + d⊥
(½ c ∆t )2 = (½ v ∆t )2 + d2
(½ c ∆t )2 - (½ v ∆t )2 = d2
(c ∆t )2 - ( v ∆t )2 = d2
4
(c ∆t )2 - ( v ∆t )2 = 4d2
∆t 2 - ( c - v 2 ) = 4d2
∆t =
√4d 2
c2 - v 2
∆t =
2d
√ c2 - v 2
∆t =
2d
c √1- v2
c2
34
Como ∆t1 = 2d sustituyendo
c
35
Este resultado nos dice que el intérvalo
de tiempo ∆t medido por un observador
que se mueve respecto del reloj es más
largo que el intérvalo de tiempo ∆t1
medido por el observador en reposo
respecto del reloj debido a que  es
siempre más grande que la unidad.
Esto es ∆t > ∆t1. Este efecto se conoce
como la dilatación del tiempo.
36
La dilatación del tiempo es un fenómeno verificable.
Por ejemplo los muones son partículas elementales
inestables que tienen una carga igual a la del electrón y
207 veces su masa. Éstos se producen por el choque
de radiación cósmica con átomos a gran altura en la
atmósfera.
Tienen una vida media de 2.2 μs cuando se mide en un
marco de referencia en reposo relativo a ellos. Si la
vida media de un muón es 2.2 μs y suponemos que su
velocidad es cercana a la de la luz encontramos que
estas partículas sólo pueden recorrer una distancia de
aproximadamente 600m antes de su decaimiento.
Entonces éstos no pueden alcanzar la tierra desde la
altura en la atmósfera donde se producen (4,800m).
37

El fenómeno de dilatación del tiempo explica este
evento.

En relación con un observador en tierra los
muones tienen un tiempo de vida t donde t = 2.2
μs es el tiempo de vida media en un marco de
referencia que viaja con los muones.

Por ejemplo si, v = 0.999c,  = 7.1 y t = 16s.
Entonces la distancia recorrida es tv = 4,800m.
38

En el 1976 se inyectaron muones en el
(CERN) laboratorio del Consejo Europeo para
la Investigación Nuclear en Ginebra Suiza.

Éstos
alcanzaron
velocidades
aproximadamente 0.9994C.

Los electrones producidos por los muones en
decaimiento fueron detectados mediante
contadores alrededor del anillo, lo que
permitió a los científicos medir la taza de
decaimiento y por consiguiente el tiempo de
vida del muón.
de
39

El tiempo de vida de muones en
movimiento se midió y se encontró que
era 30 veces mayor que el de un muón
estacionario.

Esto concuerda con la predicción de la
teoría de la relatividad dentro de dos
partes en mil.
40
Contracción de la longitud

La distancia medida entre dos puntos, depende
del marco de referencia.

La longitud propia (Lp) de un objeto se define
como la longitud del objeto medida por alguien
que esta en reposo respecto del objeto.

La longitud de un objeto medida por alguien en
un marco de referencia que se mueve respecto
del objeto, siempre es menor que la longitud
propia.
41
Figura 4
42

Considere una nave espacial que viaja con
velocidad v de una estrella a otra.

Hay dos observadores uno en la tierra y otro
en la nave espacial. El observador en reposo
en la tierra (que se supone que esté en
reposo respecto a las dos estrellas mide la
distancia entre las estrellas Lp).

De acuerdo con este observador el tiempo
que tarda la nave en completar el viaje es
Lp/v
43
¿Qué distancia entre las estrellas mide el
observador en la nave espacial?

Debido a la dilatación del tiempo, el viajero
espacial mide un tiempo de viaje más
pequeño ∆t1 = ∆t /  .

El viajero espacial afirma que está en reposo
y que ve la estrella de destino moviéndose
hacia la nave espacial con velocidad v.
Debido a que el viajero espacial alcanza la
estrella en un tiempo ∆t1 concluye que la
distancia L es más corta que Lp.
44
Esta distancia L medida por el viajero
espacial es:
45

Esta ecuación significa, que si un objeto
tiene una longitud Lp cuando está en
reposo, entonces al moverse con
velocidad v en una dirección paralela a
su
46
Ecuaciones de Transformación
de
Lorentz.
47

Las transformaciones galileanas no son
válidas cuando v se aproxima a la
velocidad de la luz (c).

Estableceremos las ecuaciones de
transformación correctas que son
válidas para todas las velocidades en el
intervalo o ≤ v < c
48
Figura 5.
49

Suponga que un evento que ocurre en algún
punto P se informa por dos observadores uno
en descanso en el marco S y otro en el
marco S1 que se mueve hacia la derecha con
velocidad v (figura 5).

El observador en S, informa sobre el evento
con coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, t).
Mientras el observador en S1 informa sobre el
mismo evento empleando las coordenadas
(x1, y1, z1, t1).

Deseamos encontrar una relación para estas
coordenadas que sea válida para todas las
50
velocidades.

Las ecuaciones que son válidas para
o ≤ v < c y que nos permiten
transformar las coordenadas de S a S1
están dadas por las ecuaciones de
transformación de Lorentz.
51

Las coordenadas y
y
z no son
afectadas por el movimiento a lo largo
de la dirección x.
Aunque el
movimiento a lo largo de x no cambia
las coordenadas y y z, si cambia los
componentes de velocidad a lo largo de
y y z.
52

Estas
ecuaciones
las
desarrolló
Hendrick A. Lorenz (1853-1928) pero
fue

Einstein quien reconoció su significado
físico y dió el audaz paso de
interpretarlas
dentro
del
marco
conceptual de la teoría de la relatividad.
53

Vemos que el valor de t1 asignado a un
evento por un observador en O1 depende
tanto del tiempo t como de la coordenada x
según los mide un observador en O.

Esto es consistente con la noción de que un
evento está caracterizado por cuatro
coordenadas espacio tiempo (x, y, z, t).

En otras palabras en la relatividad el espacio
y el tiempo no son conceptos separados sino
que están estrechamente vinculados uno con
el otro.
54

Si
deseamos
transformar
las
coordenadas del marco S1 en
coordenadas del marco S, simplemente
sustituimos v por – v e intercambiamos
las coordenadas prima y no prima en la
ecuación.
55
Ecuación
56
x1 = x - vt
y1 = y
z1 = z
1
t = t
57

En muchas situaciones deseamos conocer la
diferencia en coordenadas entre dos eventos
en el intérvalo de tiempo entre dos eventos
de acuerdo a como lo ven los observadores
O y O1.

A partir de las ecuaciones de Lorentz
podemos expresar la diferencia entre los
cuatro variables ( x, x1, y, y1 ) de la forma:
58
Donde ∆x1 = x12 - x11 y ∆t1 = t12 - t11, son las diferencias
medidas por el observador en O1 , mientras que ∆x = x2 x1 y ∆t = t2 - t1 son las diferencias medidas por el
observador en O.
NOTA: No se incluye las expresiones para relacionar las
coordenadas y y z debido a que no son afectadas por el
59
movimiento a lo largo de la dirección x.
Transformación
de velocidades
de Lorentz
60

La transformación de velocidades de Lorentz
es la contraparte relativista de la
transformación de velocidades galileana.

En este caso S es el marco de referencia
estacionario y S1 es el marco de referencia
que se mueve a una velocidad v relativa a S.

Suponga que se observa un objeto en el
marco S1 con una velocidad
61
Dada las ecuaciones:
62
y sustituyendo estos valores en u1x = dx1/ dt1
obtenemos
63
por lo que esta última expresión se
convierte en:
De manera similar, si el objeto tiene componentes de
velocidad a lo largo de y é z la componente en s son:
64

En el caso de que ux y v sean mucho más
pequeñas que c (caso no relativista) el
denominador de la ecuación A, se
aproxima a la unidad y u1x = ux – v que es
la ecuación para la transformación de
velocidades galileanas.

En el otro extremo cuando ux = c la
ecuación u1x = . ux – v . se transforma
en
(1 – v ux )
c2
65
66
A partir de este resultado, vemos que un objeto
que se mueve con una velocidad c relativa a
un observador en S tiene también una
velocidad c relativa a un observador S1
independientemente del movimiento relativo de
S y S1.

Esta conclusión es consistente con el segundo
postulado de Einstein que dice que la
velocidad de la luz es c en todos los marcos
inerciales y que la velocidad de la luz es la
velocidad límite.
67
Momento relativista y forma
relativista de las
Leyes de Newton
68

Para describir propiamente el movimiento de
partículas dentro del esquema de la relatividad
especial, las transformaciones galileanas deben de
sustituirse por las transformaciones de Lorentz.

Debido a que las leyes de la física deben
permanecer invariables bajo las transformaciones de
Lorentz, debemos, generalizar las Leyes de Newton
y las definiciones de momento y energía para
ajustarlas a la transformación de Lorentz y al
principio de la relatividad.

Estas definiciones generalizadas deben poder
reducirse a las definiciones clásicas (para v << c).
69
Se define el momento de una partícula
en S como p = mu donde es la masa
de la partícula en Kg. U es la
velocidad << c expresada en m
s
70
NOTA:
Las unidades de p son Nos
En un sistema relativista donde u ~ c se
modifica el momento clásico p = mu
por el momento relativista.
71

La
transformación
del
momento
relativista de la partícula es a partir del
marco del observador que se mueve a
velocidad u respecto de la partícula.

La fuerza relativista F sobre una
partícula cuyo momento es p se define
como:
72
73
Energía relativista

Hemos visto que la definición de momento y
las leyes de momento de acuerdo a la
mecánica
clásica
requieren
de
una
generalización para hacerlas compatibles con
el principio de la relatividad.

Esto significa que la definición de energía
cinética debe de modificarse.
74

Cuando una fuerza hace trabajo sobre una
partícula aumenta su energía cinética y
también causa que su masa aumente por
una cantidad igual al aumento en energía
dividido por c2.

Para una partícula de masa m acelerando a
lo largo de una línea recta bajo la acción de
una fuerza constante F, el trabajo sobre la
partícula es igual al cambio en energía
cinética.
75
Trabajo hecho = fuerza - distancia
76
77
78
79
80
81
KE expresa la energía cinética relativista y
se confirma rutinariamente mediante
experimentos que emplean aceleradores
de partículas de alta energía.
82
Podemos verificar esto empleando la
expansión del binomio
( 1 – x2 ) -½ ≈ 1 + ½ x2 + ... para x << 1
donde las potencias de orden mas alto de x
se desprecian en la expansión.
83
84
En la ecuación KE = m0 c2 - m0 c2 , el termino
m0 c2 es independiente de la velocidad y se
llama energía en reposo de la partícula libre.
Despejando para γ m0 c2 en la ecuac. KE =
m0 c2 - m0 c2 obtenemos:
m0 c2 = KE + m0 c2
Se define m0c2 como la energía total Eт
Eт
=
KE + m0 c2
pero,
85
m0
=
m
entonces,
E = m c2
En muchas situaciones el momento o la
energía de una partícula se mide en
lugar de su velocidad por consiguiente
es útil tener una expresión que
relacione la energía total E con el
momento relativista p.
E2 = ( m0 c2 )
2
+ p2 c2
86
Esta ecuación se deriva de la
siguiente forma:
87
La forma clásica para la energía que se relaciona con el momento
de la partícula es:
E = p2
Nota:
2M
88

Para el caso de partículas que tienen masa
cero la ecuación: E2 = ( m0 c2 ) 2 + p2 c2 se
convierte en:
E2 = p2 c2
E = pc

Esta ecuación es una expresión exacta que
relaciona la energía y el momento para
neutrinos y fotones que viajan siempre a la
velocidad de la luz.
89

La masa mo de una partícula es
independiente de su movimiento, mo
debe de tener el mismo valor en todos los
marcos de referencia por lo tanto mo se le
llama masa invariante.

Por otra parte la energía y el momento
totales de una partícula dependen del
marco de referencia en el cual se miden,
ya que ambos dependen de la velocidad.
90
De acuerdo a la ecuación E2 = m0 2c4 + p2 c2,
la cantidad E2 - p2 c2 = m0 2c4 debe tener el
mismo valor en todos los marcos de
referencia, ya que depende de la masa en
reposo y la velocidad de la luz, ambas
cantidades invariantes en cualquier marco de
referencia.
Entonces E2 - p2 c2 es invariante bajo una
transformación de Lorentz.
91

Cuando trabajamos con partículas
subatómicas es conveniente expresar
su energía en electrón voltios (eV)
debido a que las partículas ganan
energía mediante aceleración producida
por una diferencia de potencial.
1eV = 1.60 x 10 -19 J
92
Ejemplo: La masa de un electrón es 9.11 v10-31 Kg.,
entonces la energía en reposo del electrón es:
moc2 = (9.11 v10-31) (3 x 108) Kg. m2/s2 = 8.20 x 10-14 J
Al convertir esta energía a eV lo hacemos de la
siguiente manera:
8.20 x 10-14 J
1eV_____
1.60 x 10 -19 J
= 0.511 MeV
93
Equivalencia de la
Masa y la Energía
94

Para entender la equivalencia de la
masa y la energía, considere el
siguiente
experimento
pensado,
propuesto por Einstein al desarrollar su
ecuación: E = mc2
95
Imagine una caja de masa M y longitud L como en la figura
a. Suponga que un pulso de la luz se emite desde el lado
izquierdo de la caja (figura B) de la
96
Suponiendo que la caja es muy masiva, la
velocidad de retroceso v es muy pequeña
comparada con la velocidad de la luz y la
conservación del momento produce.
Momento de la caja = momento del pulso
de luz
97

El tiempo que tarda la luz en recorrer la
longitud de la caja es
98
Sustituyendo v = E/Mc
∆ x = v ∆t
∆t = L/c
∆x = EL/Mc2
99

La luz incide después en el extremo derecho de la
caja y le transfiere su momento haciendo que ésta se
detenga.

Con la caja en su nueva posición, en apariencia su
centro de masa se movió hacia la izquierda.

Sin embargo, su centro de masa no puede moverse
debido a que la caja es un sistema aislado Einstein
resolvió esta situación suponiendo que además de
energía y momento la luz también conduce masa. Si
m es la masa equivalente que conduce el pulso de
luz y el centro de masa se mantiene fijo entonces:
100
101
Despejando para E obtenemos E = mc2
De este modo llegó a la conclusión de
que si un cuerpo brinda su energía E en
forma de radiación su masa disminuye
en E/c2 , por lo tanto la masa de un
cuerpo es la medida de su contenido
energético.
102

Se concluye que la masa varía con la
velocidad relativa al observador.

Debemos distinguir entre la masa en
reposo mo, que es la masa medida por
un observador en reposo relativo a la
partícula (y en la misma posición) y la
masa medida en experimentos reales.
103

Para una partícula libre m = γ m0 nos brinda
la masa de una partícula experimentalmente.

En el caso de un gran objeto, cuyo centro de
masa esta en reposo respecto del
observador m = E ∑ im0.

En cualquier caso la masa real es
proporcionada por la energía total E dividida
entre c2.
104

La ecuación E = γ m0 c2 sugiere que cuando
una partícula esta en reposo (γ= 1) este
sigue poseyendo una gran energía ( m0 c2 ).

Prueba de esto esta en las reacciones
nucleares y colisiones de partículas
elementales donde se liberan grandes
cantidades de energía acompañadas por la
liberación de masa.
105
E = mc2
pero m = γm0
106
Problemas
107