Transcript Document 7561537

2. The Principles of Quantum mechanics.
II The postulates of Quantum mechanics.
กลศาสตร์ ควอนตัมมี postulates 5 ข้ อ คือ
Postulates I และ II กฏเกณฑ์ ของ wave function
Postulates III เกีย่ วข้ องกับ Mathematical operator
Postulates IV การแปลความหมายของข้ อมูลทีไ่ ด้ จากการ
ดาเนินการ
Postulates V

2.1 Postulates I and II
Schrödinger eq. จัดว่ าเป็ นหัวใจของกลศาสตร์ ควอนตัม
Time-dependent Schrödinger eq. เป็ น postulate แรกที่
สาคัญทีส่ ุ ดของกลศาสตร์ ควอนตัม
Ψ = Ψ  ζ(t)
Postulate I: All information that can be obtained about
the state of mechanical system is contained in a wave
function, Ψ which is continuous, finite, and single valued
of function of time and of the coordinates of the particles
of the system.
Postulate II: Ψ obeys the Time-dependent Schrödinger eq.


Hˆ   ih
t
- ข้ อมูล, สมบัตขิ องโครงสร้ างจะแฝงอยู่ใน Ψ
- กลศาสตร์ แบบฉบับ จะแฝงอยู่ในตาแหน่ งของอนุภาค
(coordinates) และความเร็ว
- ความสั มพันธ์ ระหว่ าง state of the system และ
wave function เป็ นไปในลักษณะ one-to-one relationship
2.2 Mathematical Operators
Operator: ตัวดาเนินการคณิตศาสตร์ เป็ น symbol ทีใ่ ช้ ใน
การดาเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่ น d/dx เป็ น derivative
operator
z เป็ น multiplication operator ( คูณด้ วย z ) ผลจากการ
ดาเนินการจะได้ ฟังก์ ชันใหม่ เช่ น
f x  ln x
---------- (2.2)
1
g x  
x
---------- (2.3)
เมื่อทาการดาเนินการโดย d/dx บน f(x) จะได้ ฟังก์ ชัน g(x) คือ
df ( x)
1
 g ( x) 
dx
x
---------- (2.4)
- มีเพียงฟังก์ ชัน ex เท่ านั้น เมื่อทาการดาเนินการ
derivative แล้ วยังคงได้ ฟังก์ ชันเดิม
1. Linear Operator ตัวดาเนินการ Â จะเป็ น linear ถ้ า
Â f (q)  g (q)  Âf (q)  Âg (q) ---------- (2.5)
และ
Âcf (q)  cÂf (q)
---------- (2.6)
โดย e เป็ นค่ าคงที่
f และ g เป็ น arbitary functions ของตัวแปร
independent q
ภาพที่ 2.1
2. Hermitian Operator ตัวดาเนินการ Â จัดเป็ น Hermitian
เมื่อ

 



f Âgdq   Âf gdq   Â  f  gdq

---------- (2.7)
q เป็ นตัวแทนของ coordinates ของทุกอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่
อยู่ในสามมิติ
- เช่ น มีอนุภาคจานวนสองอนุภาค dq ได้ แก่
dx1 dy1 dz1 dx2 dy2 dz2
- integral limit มีค่าระหว่ าง   ถึง  
- ในสมการ (2.7) เทอม f* เป็ นค่ า complex conjugate
ของฟังก์ ชัน f
และ Â เป็ น complex conjugate ของ Â complex quantity
ของ z เขียนได้ เป็ น
z = x + iy
---------- (2.8)
x = real part of z
y = imaginary part of z
Complex conjugate
z* = x - iy
---------- (2.9)
3. Operator Algebra
•Identity operator : ตัวดาเนินการเมื่อการดาเนินการไปแล้ ว
ได้ ผลลัพธ์ เป็ นฟังก์ ชันเดิม
Êf (q)  f (q)
---------- (2.9)
หรื อ
Ê  1
•Product of two operator


Ĉf (q)  ÂB̂f (q)  Â B̂f (q)  Âg (q)  Âg (q) ------ (2.10)
ซึ่ง g(q) เป็ น product ทีไ่ ด้ จากการดาเนินการ B̂ บน f(q)
Ĉ  ÂB̂
---------- (2.11)
การคูณกันของตัวดาเนินการมีสมบัตใิ นการจัดหมู่ กล่ าวคือ
 
 
ĈB̂Ĉ  ÂB̂ Ĉ  Â B̂Ĉ
---------- (2.12)
การคูณกันของตัวดาเนินการอาจไม่ มสี มบัตใิ นการสลับที่
(commutative)
---------- (2.13)
ÂB̂  B̂Â
ถ้ า
ÂB̂  B̂Â
อาจกล่ าวได้ ว่า Â และ B̂ commute กัน
*commutator
โดยที่
ของตัวดาเนินการ Â และ B̂ แสดงโดย Â , B̂
Â , B̂  ÂB̂ - B̂Â
เช่ น จงหา commutator ของ
---------- (2.14)
 d 
 x, dx 
พิจารณา commutator ดาเนินการบนฟังก์ ชัน f(x)
df d ( xf )
 d
 x, dx  f ( x)  x dx  dx
df
df
x
x
 f ( x)   f ( x)
dx
dx
แสดง operator equation ได้ เป็ น
------ (2.15)
 d
 x, dx   Ê  -1
2.3 Postulates III:Mathematical Operators in Quantum
Mechanics
Postulate III:To every mechanical variable there is a hermitian
mathematical operator in one-to-one correspondence
one-to-one correspondence : ตัวดาเนินการ Ĥ จะเกีย่ วข้ อง
กับตัวแปร E ค่ าหนึ่งเท่ านั้น และตัวแปรกลศาสตร์ อื่น ๆ เช่ น
momentum , angular momentum หรื อ position ต่ างก็มี
ตัวดาเนินการแบบ one-to-one correspondence
Ĥ  E
ในการพิจารณาตัวแปรกลศาสตร์ อื่นๆ เช่ น จาก classical expression
เทอมของ energy และ Hamitonian operator จะแสดงฟังก์ ชันใน
เทอมของโมเมนตัม ( ไม่ ใช้ velocity )
สาหรับระบบของ cartesian coordinates ค่ าโมเมนตัมเป็ นค่ าผลคูณ
ระหว่ าง mass และ ความเร็ว
พิจารณาอนุภาคหนึ่งเคลื่อนทีข่ นานตามแกน x
ˆ
P
2
2
2
h d
 V( x)  
 V( x)
2
2m
2m dx
x
------- (2.16)
เครื่ องหมาย  คือ “one-to-one correspondence with”
operator ของ Potential en.
operator ของ Kinetic en.
operator ของ momentum
Note :
1 2 p2
E  mv 
2
2m
V̂  V( x)
2
1
h2 d2
K̂ 

ˆ
P
x
2m
2m dx 2
h2 d2
Pˆ x   2m dx 2
2
2.4 Postulates IV : Expection Values
หลักสาคัญของกลศาสตร์ ควอนตัม คือถ้ าทราบwave function
ของระบบแล้ ว เราสามารถทราบสถานะของระบบได้ นอกจากนีแ้ ล้ ว
ข้ อมูลจากตัวแปรกลศาสตร์ จะทราบได้ จาก wave function เท่ านั้น
Postulate IV:
a) If a mechanical variable A is measured without
experimental error , the only possible measured values of a
variable A are eigenvalues of the operator that corresponds to
A
b) The expectation value for the error-free measurement
of a mechanical variable A can be calculated from the formula
A 


 Âdq
 dq

---------- (2.17)
ซึ่ง Â เป็ นตัวดาเนินการซึ่งสั มพันธ์ กบั ตัวแปร A
   q, t  ซึ่งสั มพันธ์ กบั สภาวะของระบบ
-expectation value คือ การทานายค่ าเฉลีย่ ของค่ าต่ าง ๆ ทีส่ ่ ุ ม
มาจาก population
-ในส่ วนที่สองของ Postulate IV (b) นั้นกล่ าวไว้ ว่า expectation
value ทีไ่ ด้ จากการทดสอบทีไ่ ม่ มขี ้ อผิดพลาดแล้ ว ค่ าการทานาย
ค่ าเฉลีย่ จะเท่ ากับผลของการอินทิกรัล ตามสมการที่ (2.17)
Normalization
จากสมการ (2.17) นั้น ตัวหารเป็ นค่ าคงที่ ซึ่ง wave function
ทีป่ รากฎใน Schrödinger eq. จะมีค่าคงทีต่ วั หนึ่งคูณอยู่ด้วย
ดังนั้น ค่ าคงที่ (c) ดังกล่ าวนีส้ ามารถเลือกได้


dq

1


---------- (2.18)
wave function,  จึงถูก normalized
วิธีการดังกล่ าวนีท้ าให้ ละตัวหารในสมการ (2.17) ได้
- Particle in the Box
1. Position Measurements
เมื่อพิจารณาอนุภาคหนึ่งซึ่งเคลื่อนทีต่ ามแนวแกน x ถ้ า
wave function ของอนุภาคนี้ คือ x, t ค่ า expectation ของ
x คือ
x  
*
( x ,t )
x
( x ,t )
โดยที่  x, t  มีสมบัติ normalized
dx
---------- (2.19)
เนื่องจาก multiplication operator, x, มีสมบัติ commute

ในการคูณกับ  ดังนั้น

x   x  x, t   x, t dx   x x, t  dx ----- (2.20)
2
หรื ออาจกล่ าวได้ ว่า quantity ใดทีค่ ูณอยู่กบั complex
conjugate ของตัวเองจะมีค่าเท่ ากับค่ า absolute ของปริมาณนั้น
ยกกาลังสอง
2. Probability Densities
จาก position measurement สิ่ งทีส่ นใจต่ อไปคือโอกาส(probability)
ทีจ่ ะพบปริมาณ (quantity) ต่ าง ๆ ณ ตาแหน่ งทีต่ ้ องการ (position)
ดังนั้น probability ณ ช่ วงตาแหน่ งทีต่ ้ องการอาจแสดงโดย
ภาพที่ 2.2 An example of probability density
Probability that u lies between
u and u  du  f (u)du
---------- (2.21)
= a small range (infinitestmal)
f (u ) = probability density, or a probability per unit length
on the u axis
---------- (2.22)
du
u2
Total probability   f (u)du  1
u1
สาหรับ mean value ของ u แสดงได้ โดย
u2
u   uf (u )du
u1
---------- (2.23)
ทั้งนี้ probability ในการพบอนุภาคระหว่ าง x และ x+dx จะเท่ ากับ
Probability =  ( x, t ) dx
---------- (2.24)
2
Probability density
Probability per unit length on x - axis
Probability =  ( x, y, z, t ) dxdydz ---------- (2.25)
2
“probability per unit volume in three dimensions”
3. Standard deviation ( ) :
เทอมทีแ่ สดงการกระจายโอกาสในการพบอนุภาค

a  A  A
2
2

1
2
---------- (2.26)
Case study : Expectation Values – Particle in a Box
ตัวอย่ าง จงหาค่ า expectation value of position ของอนุภาคซึ่ง
เคลื่อนทีใ่ น one-dimention box ซึ่งมีความยาว a โดย coordinate
wave function คือ eigenfunction ซึ่งมี n=1
solution : the normalized particle-in-a-box wave function คือ
2  nx 
 n x  
sin 

a  a 
expectation value คือ
 xdx


 dx

x

( ในที่นี้  dx ถูก normalized = 1 และ conjugate complex
ของ  คือเทอม e iEt/h จะ cancel กันไป ) ดังนั้น

2
 x 
 x 
x   sin  x sin  dx
a0  a
a
a
2
2  x 
  x sin  dx
a0
a
a
2 a 
  
a  
2
a
0 y sin ( y)dy  2
2
(the predicted mean position of the particle is the middle of the box.)
Note : y sin 2 ydy  y  y sin( 2 y )  cos( 2 y )

4
4
8
หากต้ องการหา standard deviation for the position of a particle
2
 x  2  x 
  sin  x sin  dx
a0  a
a
a
x
2
2 a
  
a  
3
y
2
2
sin ( y )dy
0
1 
1
a   2
 3 2 
2
 x
Note :
 0.282673a
1
2
2
2

 a    0.180757a
2
 0.28273a    
 2  

 x 2  x 2


1
2
ตัวอย่ าง จงคานวณโอกาสทีจ่ ะพบอิเล็กตรอนซึ่งเคลื่อนทีใ่ น
one-dimention box โดยสภาวะ n=2 ภายใต้ ขอบเขต
a
2  nx 
0 x ; n ( x) 
sin 

3
a  a 
solution : Probability
a
3
a
3
2
2  2x 
  sin 
dx
a0
 a 
  ( x) dx
2
0

2 a
a 2
2
3
2
3
1 y 1

   sin( 2 y )
 2 4
0
2
sin
 ( y)dy
0
1   1  4
   sin 
 3 4  3



 0.402249
a
2a
x
How about
?
3
3
Probability = 1- 2(0.40) = 0.20
หมายความว่าอย่างไร ?
2.5 Postulate V: Determining the state of the
system
Postulate V : Immediately after a
measurement of the mechanical variable A
in which the outcome was eigenvalue aj,
the state of the system corresponds to a
wavefunction that is an eigenfunction of
with eigen value equal to aj
The observable operator is constructed
from the following table:
Classical
Quantum Operator
x
x̂
p
h  
 
i  x 
t
E vs. time
tˆ

Ê  ih  
 t 