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24 Ley de Gauss
24-1 Una nueva vista de la ley de
coulomb
La ley de Gauss se refiere a Campos electricos en
puntos sobre una superficie gausiana ( cerrada )
Y la carga neta encerrada por esa superficie.
24-2 Flujo
(a) La tasa Φes igual a v·A
(b)
  v cos A


(c)   vAcos   v  A
(d) Campo velocidad. Flujo
significa el producto de un area
y un campo a través de esa area.
24-3 Flujo de un campo eléctrico
una definición
provisional del flujo
del campo eléctrico
para la superficie
gaussiana es
 
   E  A
Flujo eléctrico a traves de una superficie
gaussiana
 
   E  dA
El flujo eléctrico Φ de una superficie
Gaussiana es proporcional al total de
líneas del campo eléctrico que pasa a
traves de esa superficie.
Ejemplo problema 24-1
Cual es el flujo del
campo eléctrico a traves
de esta superficie
cerrada?
 
 
 
 
   E  A   E  dA   E  dA   E  dA
Paso Uno:
a
b
c
Paso Dos:
 
0
E

d
A

E
cos
180
dA   E  dA   EA




a


 E  dA 
c
 E cos 0dA  EA
 
0
 E  dA   E cos 90 dA  0


b
Paso Tres:
  EA  0  EA  0
Ejemplo problema 24-2
Cual es el flujo
eléctrico a traves de la
cara derecha, izquierda
y superior?
Cara Derecha:

dA  dAiˆ

 
 
 r   E  dA   3.0 xiˆ  4.0 ˆj  dAiˆ
 3.0 xdA  3.0 3.0dA  9.0 dA
 36 N  m / C
2
Cara
Izquierda:
Cara
superior:
 l  12 N  m / C
2

 
 t   3.0 xiˆ  4.0 ˆj  dAˆj
 16 N  m / C
2
24-4 Ley de Gauss
La ley de Gauss y la ley de colomb, a
pesar de que se expresan en forma
diferente, son maneras equivalentes de
describir la relación entre la carga y el
campo eléctrico en situaciones estáticas.
La ley de Gauss es :
 0  qenc
Superficies esfericas Gaussianas
a) carga puntual positiva
Flujo Positivo
a) carga puntual negativa
Flujo Negativo
o
 
 0  E  dA  qenc
Superficie S1
El campo eléctrico esta
hacia afuera Para todos los
puntos en esta superficie.
Superficie S2
El campo eléctrico esta hacia
adentro para todos los puntos
en esta superficie.
Superficie S3
Esta superficie no encierra carga y por lo
tanto qenc=0
SuperficieS4
Esta superficie no encierra carga neta,
porque las cargas positivas y negativas
encerradas tienen magnitudes iguales.
Ejemplo problema 24-3
Cual es el flujo
eléctrico neto a traves
de la superficie si
q1=q4=+3.1nC,
q2=q5=-5.9nC,
and q3=-3.1nC?

qenc
0

q1  q2  q3
0
 670 N  m / C
2
24-5 Ley de Gauss y ley de
coulomb
Ley de Gauss como:
 
 0  E  dA   0  EdA  qenc
 0 E  dA  q
 0 E 4r   q
2
q Ley de
E
2
40 r colomb
1
La ley de Gauss es equivalente a la ley de
colomb.
24-6 Un conductor aislado
cargado
Si un exceso de cargas es
colocado en un conductor
aislado, esa cantidad de carga
se moverá completamente a
la superficie del conductor.
Nada del exceso de carga se
encontrara dentro del cuerpo
del conductor.
Un conductor aislado con cavidad
No hay carga neta en la cavidad de las paredes.
El conductor removido.
El campo eléctrico se establece por las
cargas u no por el conductor. El conductor
simplemente provee una ruta inicial para
que las cargas tomen su posición.
El campo eléctrico Externo
Superficie conductora:

E
0
Ejemplo problema 24-4
Idea clave
El flujo a traves de una superficie Gaussiana
debe ser también cero. La carga neta cerrada
por la superficie gaussiana debe ser cero. Con
un punto de carga de -5.0μC Dentro del
casquillo, caparazón o concha, una carga de
+5.0 μC debe situarse en la pared interna del
casquillo, caparazón o concha.
Puedes pensar en otra idea clave?
24-7 Aplicación de la ley de Gauss,
simetría cilíndrica
  EA cos 
 E (2rh) cos 0  E (2rh)
 0  qenc
 0 E 2rh   h

E
20 r
Debido a una línea de carga infinita,
con carga lineal uniforme de
densidad el campo eléctrico en
cualquier punto λ, es perpendicular
a la línea de carga y su magnitud.

E
20 r
Donde r es la distancia perpendicular de la
línea de carga al punto.
Ejemplo problema 24-5
Si las moléculas de aire se descompone
(ionizan) en un campo eléctrico excediendo
3×106N/C, Cual es la columna?
Idea clave
La superficie de la columna de carga debe
estar al radio r donde la magnitud de es E
3 ×106N/C, Porque las moléculas de aire
dentro de ese radio se ionizan mientras que las
lejanas no.

r
 6m
20 E
Puedes pensar otra idea clave?
24-8 Aplicando la ley de Gauss
simetría plana
Hoja no conductora
Debido a una hoja no
conductora con carga lineal
uniforme de densidad σes
perpendicular al plano de
la hoja y tiene magnitud.

E
2 0
Dos platos conductores:
E
2 1
0


0
Ejemplo problema 24-6
Paso uno:
  
5
E  
 3.84 10 N / C
2 0
  
5
E  
 2.43 10 N / C
2 0
Paso dos:
El  E   E   1.4 10 N / C
5
Eb  E   E   6.3 10 N / C
5
24-9 Aplicando la ley de Gauss
simetría esférica
Un casquillo, caparazón o concha de carga
uniforme atrae o repele una partícula cargada
que se encuentra afuera de la casquillo,
caparazón o concha como si toda la carga de
casquillo, caparazón o concha estuviera
concentrada en el centro de la casquillo,
caparazón o concha.
Un casquillo, caparazón o concha de carga
uniforme ejerce una fuerza no electrostática
sobre una partícula cargada que se encuentra
dentro de la casquillo, caparazón o concha.
Casquillo, caparazón o concha esférico,
campo a r ≥R
1
q
E
2
40 r
Caparazón esférico r ＜R
E 0
Distribución esférica, campo a r
≥R
1
'
q
E
2
40 r
Carga uniforme, campo a r ≤R
E (
q
40 R
)
r
3
Electric Flux
•Electric Flux is the amount of electric field flowing through a surface
•When electric field is at an angle, only the part perpendicular
E
to the surface counts
•Multiply by cos 
En

•For a non-constant electric field,
or a curvy surface, you have to
integrate over the surface
E = En A= EA cos 
 E   E  dA   E cos dA
•Usually you can pick your surface so that the integration doesn’t
need to be done given a constant field
Electric Flux
•What is electric flux
E
through surface
surrounding a charge q?
R
charge q
ke q
 4 R E  4 R 2  4 ke q
R
 E  4 ke q
2
2
 E  2 ke q  2 ke q
 4 ke q
Answer is
always 4keq
Gauss’s Law
•Flux out of an enclosed region
depends only on total charge inside
E 
qin
0
charge q
A positive charge q is set down outside a sphere. Qualitatively, what
is the total electric flux out of the sphere as a consequence?
A) Positive
B) Negative
C) Zero
D) It is impossible to tell from the given information
Gauss’ Law and Coulumb’s
•Suppose we had
measured the flux as:
 E  4 ke q
•From Gauss’ law:
 E  4 R E  4 ke q
2
E
R
charge q
Keq
R2
So Gauss’ law
implies
Coulomb’s law
•What if we lived in a
Universe with a different
number of physical
dimensions?
Gauss’s Law
charge q’’
charge q’
charge q
E 
 E  dA  4 k q  4 k q '  4 k  q  q '
e
e
 4 ke q ''
 E   E  dA  4 ke qin 
e
qin
0
Applying Gauss’s Law
•Can be used to determine total flux through a surface in simple
cases
•Must have a great deal of symmetry to use easily
Charge in a long triangular channel
What is flux out of one side?
charge q
E 
q
0
q
S 
3 0
  S 1   S 2   S 3   E1   E 2  3 S  0
Applying Gauss’s Law
L
R
r
•Infinite cylinder radius R charge density 
•What is the electric field inside and outside the cylinder?
•Draw a cylinder with the desired radius inside the
cylindrical charge
•Electric Field will point directly out from the axis
•No flux through end surfaces
qin
V

  AE  2 rLE 
0
0
r
E
2 0
r L

0
2
Applying Gauss’s Law
L
R
r
•Infinite cylinder radius R charge density 
•What is the electric field inside and outside the cylinder?
•Draw a cylinder with the desired radius outside the
cylindrical charge
•Electric Field will point directly out from the center
•No flux through endcaps
2
  AE  2 rLE 
R2 
E
2 0 r
qin
0

V
0
 R L

0
Applying Gauss’s Law
r
E
3 0
Sphere volume:
V = 4a3/3
R
r
Sphere area:
A = 4a2
•Sphere radius R charge density . What is E-field inside?
•Draw a Gaussian surface inside the sphere of radius r
What is the magnitude of the
electric field inside the
sphere at radius r?
A) R3/30r2
B) r2/30R
C) R/30
D) r/30
  AE  4 r E 
2

V
0
4 r 

3 0
3
qin
0
Conductors in Equilbirum
•A conductor has charges that can move freely
•In equilibrium the charges are not moving
•Therefore, there are no electric fields in a conductor in
equilibrium
F  qE  ma
=0
qin   0    0  E  dA
=0
•The interior of a conductor never has any charge in it
•Charge on a conductor is always on the surface
Electric Fields near Conductors
•No electric field inside the conductor
•Electric field outside cannot be tangential – must be perpendicular
•Add a gaussian pillbox that penetrates the surface
Area A
  0  0  AE 
Surface charge 
qin
0

A

E  nˆ
0
0
•Electric field points directly out from (or in to) conductor
Conductors shield charges
No net charge
•What is electric field outside
the spherical conductor?
Charge q
•Draw a Gaussian surface
•No electric field – no charge
•Inner charge is hidden – except
Charge -q
Charge +q
E
•Charge +q on outside to
compensate
•Charge distributed uniformly
qrˆ
4 0 r
2
Flujo eléctrico
El flujo eléctrico se representa por medio del número de líneas
de campo eléctrico que penetran alguna superficie.
Área A
E
El número de líneas que penetra
una superficie es proporcional a
EA. Al producto de la intensidad
del campo E por el área de la
superficie perpendicular A se le
llama flujo eléctrico .
 = EA
Si la superficie no es perpendicular al campo, el flujo es igual
al producto de la magnitud del campo por el área por el
coseno del ángulo entre el campo y la normal a la superficie.
Normal

 = EAcos 
El flujo  a través de un pequeño elemento Ai es:
 = Ei Ai cos  = Ei • Ai
Ai

Ei
El flujo a través de toda la
superficie es:
  lim
A i 0
 E  A   E  dA
i
i
Superficie
Si sin más las líneas que salen, el flujo neto es positivo. Si son
más las líneas que entran, el flujo neto es negativo.
Si la superficie es cerrada el flujo es:
   E  dA
Ley de Gauss
Considere una carga puntual q. El flujo en una
esfera de radio r será:
   E  dA  E  dA 
dA
r
q
E


ke q
q
2
4

r

4

k
q

e
r2
0
La ley de Gauss establece que el
flujo eléctrico neto a través de
una superficie cerrada es igual a
la carga neta dentro de la
superficie dividida por 0.
Aplicaciones de la ley de
Gauss
Distribución esférica de carga
r
a
r
Esfera
gaussiana
a
Esfera
gaussiana
Reglas para la aplicación de la
ley de Gauss
1. El valor del campo eléctrico puede considerarse, por
simetría, como constante sobre toda la superficie.
2. El producto punto E  dA puede escribirse como EdA.
3. El producto punto E  dA es cero porque E y dA son
perpendiculares.
4. Puede decirse que el campo sobre la superficie es cero.
Conductores en equilibrio
electrostático
Los conductores tienen las siguientes propiedades:
El campo eléctrico es cero en cualquier punto del interior del
conductor.
Cualquier carga reside en su superficie.
El campo eléctrico en la superficie es perpendicular a la
superficie y tiene una magnitud de /0.
La carga tiende a acumularse en las partes con radio de
curvatura más grande.