Transcript Integración Numérica Práctica 6

Práctica 6
Integración Numérica
Integración Numérica
Integral Definida: Cálculo
Fórmula del Punto Medio
Fórmula de los Trapecios
Regla de Simpson
Integración de Romberg
Métodos Adaptativos
Métodos de Newton-Cotes
Integral definida: Cálculo
Regla de Barrow

b
f ( x )dx  F(b)  F(a)
a
Pero...

Funciones sin primitiva sencilla


0

sen(x)
dx
x
Datos experimentales

t
0
e
x2
dx
Fórmula del Punto Medio
Simple
IM  (b  a)  f ( a2b )
Compuesta
h  (b  a) n
x k  a  (k  21 )h
n 1
IM  h   f ( x k )
k 0
a
h

b
Punto Medio con paso
variable
Subintervalos
Pesos
(¡pasos!)
Nodos
Integral
a  t0  t1    tn  b
hk  tk 1  tk ; k  0, ..., n  1
xk  tk  hk 2
n 1
IM 
h
k
k 0
 f ( xk )
Fórmula de los Trapecios
Simple
f (a)  f (b)
IT  (b  a)
2
Error
(b  a)3
ET  
f (), para cierto   [a, b]
12
Exacta para polinomios de grado 1
Fórmula de los Trapecios
Compuesta
h
IT [h]  ( y0  2y1  2y 2    2yn1  yn )
2
Error
h2
ET  
(b  a)f (),
12
para cierto   [a, b]
Algoritmo de los Trapecios
y0
y1
y2
yn
h
x0
x1
x2
...
xn
Algoritmo iterativo de
trapecios
Estimación
actual
Nuevos
nodos
h
IT [h]  ( y0  2y1  2y 2  ...  2yn1  yn )
2
xk  a  k  h, k 
1 , 3 , 5 , ...,
2 2 2
n  12
yk  f ( xk )
Refinamiento iterativo
1
h  y 1  y 3  y 5  ...  y 1 
IT [h / 2]  IT [h]   2
n 
2
2
2
2
2

Algoritmo TRAPITER
Entrada: a, b, n, tol, maxiter.
Salida: I, incr, iter
Proceso:Calcular IT[h] por trapecios con paso h
Inicializar incr y el contador de iteraciones, iter
Mientras incr > tol y iter < maxiter
Hallar los nodos nuevos, x=[x1/2, x3/2 ... xn1/2]
Calcular el vector de ordenadas y = f(x)
Refinar IT[h/2] = IT[h] /2 + h/2*sum(y)
Calcular incr, incrementar iter
Dividir h por 2
Actualizar IT[h]
Regla de Simpson
Simple

ba
IS 
f (a)  4f ( ab )  f (b)
2
6

Error
(b  a)5 IV
ES  I  IS  
f (), para cierto   [a, b]
2880
Exacta para polinomios de 3er grado
Regla de Simpson
Compuesta
h
IS [h]  ( y0  4y1  2y2    4yn1  yn )
3
n : par,
h  (b  a) n
Error
h4
ES  
(b  a)f IV (), para cierto   [a, b]
180
Extrapolación de Richardson
Saber que el error
de IT[h] es de
orden 2, permite
estimar la integral
con error de menor
orden, a partir de
dos evaluaciones
con distinto h.



2
I  IT [h / 2]  C h 4

I  IT [h]  Ch2
( 4  1)I  4IT [h 2]  IT [h]
4  IT [h 2]  IT [h]
I
 IS [h 2]
4 1
Método de Romberg
Estimaciones
de Simpson



4
I  IS [h / 2]  C h 16

I  IS [h]  Ch4
Eliminación de
la constante
Fórmula de
Romberg
(42  1)I  42IS [h 2]  IS [h]
I
42IS [h 2]  IS [h]
2
4 1
 IR [h 2]
def
Tabla de Romberg
IT [h]
IT [h / 2]
IS [h / 2]
IT [h / 4]
IS [h / 4]
IR [h / 4]
IT [h / 8]
IS [h / 8]
IR [h / 8]
IQ [h / 8]




Expresión general
Ikj 
4 j1Ik, j1  Ik 1, j1
4 j1  1
Error de orden h2j
Exacta para polinomios de grado 2j–1
Algoritmo de ROMBERG
 Entrada:
 Salida:
 Proceso:
a, b, n, tol, maxiter
I, incr, k
Calcular I11
Inicializar incr, k
Mientras incr > tol y k < maxiter
Evaluar Ik1 refinando Ik-1,1
Inicializar j
Mientras incr > tol y j < k
Calcular Ikj
Calcular incr
Incrementar j
Incrementar k
Métodos adaptativos
Limitaciones del Método de Romberg

Condiciones de convergencia
1

0
1  x 2 dx 

 0,1963495
4
Métodos adaptativos de MATLAB


quad: Simpson adaptativo
quad8: Newton-Cotes adaptativo (orden 8)
Métodos de Newton-Cotes
Dados los nodos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b],
determinar pesos p0, p1, p2, ...,pn tales que
para todo polinomio f(x) de grado < n,
b
 f (x)dx  p f (x )  p f (x )    p f (x )
a
0
0
1
1
n
n
Sustituyendo f(x) = 1, x, x2, ... , xn, se obtiene
un sistema lineal del que se despejan los
pesos p0, p1, p2, ..., pn.
FIN