Transcript Powerpointslides

Fluid Mechanics
Tetthet
Def
Definisjon av tetthet:
masse
tetthet 
volum
m

V
Enhet for tetthe t :
kg
m
3
Trykk i væske / gass (fluid)
Def
Trykk mot flate:
kraft
trykk 
flate
p 
Stor flate
Lite trykk
dF 
dA
p 
F
Hvis F er konstant
over A
A
Enhet for trykk
(Pascal) :
Pa 
N
m
2
1atm  1 . 013  10 Pa  1 . 013 bar  1013 millibar
5
 14 . 70 lb / in
2
Liten flate
Stort trykk
Pascals lov
Trykk som funksjon av dybden
Trykk som funksjon av dybden:
pA  ( p  dp ) A  dw  0
dw  dm  g   dV  g   Ady  g

dp
  g
dy
p2
 dp
p1
y2
    gdy    g
y1
y2
 dy
y1
y
p2
y2
p 2  p1    g ( y 2  y1 )
p 1   gy 1  p 2   gy 2
p 1  p 2   gh
h = y2 – y1
p1
y1
0
Pascals lov
Eks: Trykkforskjeller i et rom
For gass er antagelsen om konstant tetthet
reallistisk kun over korte vertikale distanser.
Anta at tettheten av luft er konstant lik 1.2 kg/m3 i et 3.0 m høyt rom.
p2
Trykkforskjellen mellom gulv og tak er da gitt ved:
p1
p 1  p 2   gh
 p  p 1  p 2   gh  1 . 2
kg
m
3
 9 .8
m
s
2
 3 . 0 m  35 Pa
Situasjonen for væske er noe annerledes,
Der kan vi som oftest regne tettheten som tilnærmet konstant.
p1   gy 1  p 2   gy 2
Gasstrykk
p1  p 2   gh
p1 = 0
p1 = patm
p1 = 0
y1
y1
y1
h
h
h = y2 – y1
p2
p2
y2
y2
y2
p2 = patm
p 2   gy 2  p 1   gy 1
p 2   gy 2  p 1   gy 1
p 2  p 1   gy 1   gy 2
p 2  p 1   gy 1   gy 2
 p1   g ( y1  y 2 )
 p1   g ( y1  y 2 )
 p atm   gh
 0   g ( y1  y 2 )
  gh
Manometer
p1   gy 1  p 2   gy 2
Sammenheng mellom høyde og tetthet for vann/olje
p1  p 2   gh
p 1 water   water gy 1 water  p 2 water   water gy 2 water
p
0
p
 p0
  water gh water
 p0
  water gh water
p2oil = patm = p0
p2water = patm = p0
y2water = hwater
p 1 oil   oil gy 1 oil  p 2 oil   oil gy 2 oil
p
p
0
 p0
  oil gh oil
 p0
  oil gh oil
p1water = p
p 0   water gh water  p 0   oil gh oil
 water h water   oil h oil

 oil 
h water
h oil
 water
y2oil = hoil
p1oil = p
p1   gy 1  p 2   gy 2
Hydraulisk lift
p1  p 2   gh
Liten kraft F1 = pA1
anvendt på venstre del av liften
F1  pA 1
Stor kraft F2 = pA2
anvendt på høyre del av liften
F 2  pA 2
F2

F1
F2 
pA 2
pA 1
A2
A1
F1

A2
A1
Oppdrift
Innledning
Når et legeme senkes ned i en væske, vil noen legemer kunne flyte i væsken.
Dette henger sammen med at væsken utøver en nettokraft vertikalt oppover.
Nettokraften fra væsken vertikalt oppover kalles for oppdriften.
Tilsvarende oppdrift vil også kunne finne sted i en gass.
Når et legeme senkes ned i en væske,
vil legemet fortrenge noe av væsken.
Archimedes lov forteller at det er en sammenheng mellom
oppdriften og mengden av fortrengt væske.
Oppdriften
er avhengig av
væskens tetthet
Oppdriften nyttiggjøres av
båter, luftballonger, fly, … .
Oppdrift
Ulike legemer
Når et legeme holdes i ro nedsenket i en væske,
vil ulike deler av væsken virke med ulike krefter normalt mot overflaten av legemet.
Kreftene vil være størst på de nederste delene av legemet (trykket vil øke med dybden i væsken).
Alle disse kreftene på legemet fra væsken summerer seg vektorielt til en netto kraft (kalt oppdriften) rettet vertikalt oppover.
Ulike legemer med samme størrelse/form vil ha samme oppdrift.
Når vi skal forsøke å beregne størrelsen av oppdriften,
kan det være hensiktsmessig å erstatte legemet
med et tenkt væskelegeme med samme form/størrelse.
Oppdrift
Archimedes lov
Når et legeme senkes ned i en væske, vil væsken trykke nedover på oversiden av legemet og oppover på undersiden av legemet.
Trykket oppover på undersiden er større enn trykket nedover på oversiden.
Differensen B mellom kraften oppover på undersiden og kraften nedover på oversiden kalles for oppdriften.
Erstatter legemet med et væske-element
med samme volum som legemet
Legeme nedsenket i en væske
F1 = p1A
F1 = p1A
h
Oppdriften
uavhengig av
legemets tetthet
h
G = mVg = VVg
G = mg
F2 = p2A
F2 = p2A
Archimedes lov:
Oppdriften er lik tyngden av fortrengt væskemengde
Newtons2.l ov :
F 2  F1  G  0
Oppdrif t :
F 2  F1  G  m V g
B  mV g
T
B
Oppdrift
Archimedes lov - Eks
G = mgg
En gull-statuett med mass mg = 150 kg heises vha en snor opp fra bunnen av havet.
Tettheten av luft er 1.2 kg/m3.
Tettheten av vann er 1.03103 kg/m3.
Tettheten av gull er 19.3103kg/m3.
a) Bestem strekket i snoren når gull-statuetten er helt nedsenket i vannet.
b) Bestem strekket i snoren når gull-statuetten er helt oppe av vannet.
Nedsenket i fluid
med tetthet f
T  BG  0
T  G  B  mg g  m f g  mg g   fV f g  mg g   fVg g  mg g   f
a)

3
1 . 03  10




m
T  m g g  1  v   150 kg  9 . 80 2  1 

 g 
s 
3

19 . 3  10


kg 

3
1 . 03  10

3 
m   147 N  1 
kg 
3

19 . 3  10

3 
m 

mg
g

f 

g  m g g 1 

 g 

kg 
3 
m   147 N  7 . 84 N  139 N
kg 
3 
m 
Nedsenket i vann
med tetthet v
b)
kg

1 .2 3




m
m
T  m g g  1  l   150 kg  9 . 80 2  1 


g 
s 
3 kg

19 . 3  10

3
m

kg


1 .2 3


m
  147 N  1 
3 kg


19 . 3  10


3
m




  147 N  0 N  147 N



Nedsenket i luft
med tetthet l
Oppdriften i luft
er svært liten
Overflatespenning
G = mgg
Det er mulig for enkelte legemer å flyte på toppen av en væskeoverflate
til tross for at tettheten er større enn væskens tetthet.
Dette skyldes at væskeoverflaten oppfører seg som en membran med overflatespenning.
Overflatespenning opptrer fordi væskemolekylene tiltrekker hverandre.
Inne i væsken er nettotiltrekningen på et væskemolekyl lik null,
men overflatemolekylene får en nettotiltrekning inn mot væsken.
På denne måten tenderer væsken i retning av å minimalisere sin overflate hvilket gir
opphav til denne overflatespenningen
og tendens til kuleform av væsken siden en kule har minst overflate.
Dette forklarer regndråpenes kuleform.
Overflatespenning forklarer også hvorfor varmt såpevann er velegnet for vasking.
For å vaske tøy skikkelig, må vann trenge inn i tynne mellomrom mellom fibrene. Dette
krever at vannets overflate må omformes, dvs økes fra sin minimale kuleform hvilket er
vanskelig pga overflatespenningen. Vaskingen fungerer enklere med varmt vann og
tilsetting av såpe fordi begge minker overflatespenningen.
Strøm i væske/gass
Innledning
Fluid
Væske eller gass.
Ideal fluid
Inkompressibel fluid.
Ingen indre friksjon (viskositet = 0).
Flow line
Steady flow
Veien til en individuell partikkel i en fluid.
Overordnet strøm-mønster endres ikke med tiden.
Strømlinje
Kurve hvor tangenten i hvert punkt
har samme retning som fluid-hastigheten i dette punktet.
Mengden av strømlinjer som strømmer ut av et tenkt tverrsnitt.
Strøm tube
Laminær strøm
Turbulent strøm
Strøm-mønster hvor nabolag av fluid glir kontinuerlig
i en stasjonær strøm.
Ikke-stasjonært strøm-mønster.
Strøm-mønsteret endres kontinuerlig.
Strøm i væske/gass
Kontinuitetsligningen
Figuren viser en væske som strømmer gjennom et rør.
På figuren er tegnet inn to ulike tverrsnitt A1 og A2 på to ulike steder i røret.
La oss anta at væskens tetthet er konstant (inkompressibel væske).
Da må det i løpet av det samme tidsintervallet dt
strømme like mye væske (samme masse)
gjennom tverrsnittene A1 og A2.
Dette gir opphav til den såkalte kontinuitetsligningen.
La v1 og v2 være væskens hastighet gjennom tverrsnittene A1 og A2.
dm 1
 dm 2
 dV 1
  dV 2
 A 1 v1 dt   A 2 v 2 dt
A 1 v1
 A 2v2
Hvis A1 (eller A2) er stor i forhold til A2 (eller A1),
kan vi sette v1 (eller v2) tilnærmet lik null.
A 1 v1  A 2 v 2
Kontinuitetsligningen
Volumstrømning
dV
 Av
dt
Massestrømning
dm
dt
  Av  
dV
dt
Strøm i væske/gass
Kontinuitetsligningen - Eks
Inkompressibel olje med tetthet 850 kg/m3 pumpes gjennom et sylindrisk rør
med volumstrømning på 9.5 liter pr sekund.
Første delen av røret har en diameter på 8.0 cm og siste del har en diameter på 4.0 cm.
Beregn oljens hastighet gjennom første og siste del av røret.
Beregn massestrømningen gjennom første og siste del av røret.
Hastighet gjennom første del av røret:
dV
dt
1 dV
 A1 v1  v1 

A1 dt
1
 4 . 0  10
2
9 .5
m
2
10
3
m
3
 1 .9
s
m
s
Hastighet gjennom siste del av røret:
A1 v1  A 2 v 2  v 2 
A1
A2
v1 
 4 . 0  10
 2 . 0  10
2
2

m
m
2
2
v1  4 v1  4  1 . 9
Massestrømning gjennom første del av røret:
dm
dt

d (V )
dt
 
dV
dt
 850
kg
m
3
 9 .5
10
3
s
m
s
 7 .6
m
s
Volumstrømning og massestrømning
er lik gjennom hele røret
m
3
 8 .1
kg
s
Strømning i væske / gass
Bernoullis ligning
Arbeidet utført på væskesøylen er lik endring i mekanisk energi
(antar neglisjerbar friksjon (viskositet))
dW  dE M
dW  dK  dU
F1 ds 1  F 2 ds 2 
1
2
dm  v 2 
2
p 1 A1 ds 1  p 2 A 2 ds 2 
p 1   gy 1 
1
2
1
2
1
2

2
dm  v1  dm  g  h

 dV v 2  v1   dVg  y 2  y 1 
2
 v1  p 2   gy 2 
2
Bernoullis ligning
2
1
2
v2
2
p1   gy 1 
1
2
 v1  p 2   gy 2 
2
1
2
v2
2
Vanntrykk
Vann tilføres et hus gjennom en vannledning med diameter 2.0 cm
ved et absolutt trykk på 4.0105 Pa (ca 4 atm).
En vannledning med diameter 1.0 cm leder vann opp 5.0 m til
baderommet i annen etasje.
Vannhastigheten ved inngangen til huset er 1.5 m/s.
Bestem hastighet, trykk og volumstrømning på baderommet.
Hastighet:
A 1 v1  A 2 v 2  v 2 
A1
A2
v1 
 (1.0cm)
2
 (0.5cm)
2
 1 .5
m
s
 6 .0
m
s
Trykk:
p 1   gy 1 
p 2  p1 
1
2
1
2
 v1  p 2   gy 2 
2

1
2
v2
2

 v 2  v1   g  y 2  y 1 
2
2
2
2
kg  
m
m 
m

3 kg

 4 . 0  10 Pa   1 . 0  10
 9 . 8 2 5 . 0 m  0 
 6 . 0    1 . 5    1 . 0  10
3 
3
2
m 
s 
s  
m
s

dV
5
Volumstrømning:
 A2 v 2
 3 . 3  10 Pa
dt
5
1
3

  0 . 5  10
2
m

2
 6 .0
m
s
 4 . 7  10
4
m
s
3
Venturimeter
Bestemmelse av hastighet og volumstrømning
Bernoullis ligning
p 1   gy 1 
1
2
 v1  p 2   gy 2 
2
1
2
v2
2

y1  y 2

p1 
1
2
 v1  p 2 
2
1
v2
2
A1 v1  A 2 v 2  v 2 
A1
A2
2
v1
Hvis vi ønsker å bestemme fluid-hastigheten,
kan vi ’strupe’ røret og måle trykkforskjellene.
Kontinuitetsligningen

 A  2

1



p 1  p 2   v1 
 1

2
  A 2 

1
2
 A 

1
  1
 gh   v1  

2
A
  2 

Hastighet
Volumstrømning
2
1
2

v1 
2 gh
dV
2
dt
 A1 


 A  1
 2
 A1 v1  A1
2 gh
2
 A1 

  1
 A2 
Strøming i væske / gass
Luftstrøm - Fly
Bernoullis ligning
p1   gy 1 
1
2
 v1  p 2   gy 2 
2
1
2
v2
2
Flyvingen er utformet slik at luftstrømmen
er større på oversiden enn på undersiden av vingen.
Trykket vil derfor være mindre på oversiden
enn på oversiden av vingen.
Alternativ forklaring:
Flyvingen påfører luften en momentendring nedover.
Luften vil da påføre flyet en momentendring oppover.
Bernoulli-effekten utgjør ca 20% av ’fly-kraften’,
(resten beskrives ved Newtons 3.lov).
Viskositet
Viskositet er indre friksjon i en fluid.
Viskositet motsetter seg relativ bevegelse mellom ulike deler av en fluid.
Viskositets-effekter har stor betydning ved fluidstrøm gjennom rør,
strøm i blodårer, smøring av maskindeler osv.
SI-enheten for viskositet er pascalsekund (Pas).
Lav viskositet gir tyntflytende fluid, høy viskositet gir tyktflytende fluid.
Viskositet er vanligvis sterkt temperaturavhengig,
økende for gass, avtagende for væske for økende temperatur.
Viskositeten i smøreolje er vanligvis designet til å være mest mulig
temperatur-uavhengig.
Viskositet i fluid vil alltid tendere til å la fluiden bli ’festet’ til omliggende fast stoff.
Dette medfører at det vil finnes et ’boundary layer’ nær overflaten
hvor fluid-hastigheten er tilnærmet lik null.
Dette er årsaken til at ulike partikler lett kan feste seg på overflater.
I et sylindrisk rør hvor begge ender er i samme høyde,
vil en fluid med viskositet lik null ha samme hastighet og trykk i begge ender.
Med viskositet ulik null, vil friksjonskreftene virke bremsende på fluid-strømmen,
og vi må opprettholde et høyere trykk i den ene enden for å drive strømmen.
Trykk-differensen er proposjonal med L/R4, hvilket medfører
at vi får en trykkøkning på en faktor 16 ved å minke R med 10%.
Dette medfører bl.a. ekstra stor trykkbelastning på hjertet
hvis blodårer innskrenkes pga forkalkninger.
Turbulens
Når hastigheten i en fluid overstiger en gitt kritisk verdi,
vil strømningen ikke lengre være laminær,
men ekstremt irregulær og kaotisk, kalt turbulent.
Med økende viskositet tenderer en fluid til lengre å holde på sin
laminære strømning.
Laminar
Normal blodstrøm i våre blodårer er laminær.
Imidlertid kan ulike typer hjertefeil forårsake turbulens.
Turbulens medfører støy som kan oppfattes vha et stetoskop.
Turbulens
Kardiologi
Innen kardiologi benyttes en modifisert versjon av Bernoullis
ligning til fartsmåling (vha ekkokardiografi) over en forsnevring til å
regne seg frem til trykkgradienten over forsnevringen.
p 1   gy 1 
1
p 2  p1  
1
p 
1
2

2
2
 v1  p 2   gy 2 
2

2
2


2

dv
2
v2
2
 v 2  v1   g  y 2  y 1 
 v 2  v1   
2
1
2
1


ds  R (v )
dt
p er trykkforskjellen over forsnevringen,  er tettheten av blod
(1.06103 kg/m3). Integralleddet gir den lokale akselerasjonen og R er en
konstant for motstanden for gitt væske og åpning.
Ligningen forenkles til praktisk bruk.
R-leddet fjernes siden viskositeten i hjertet er liten.
Integralleddet er viktig kun for å se på tidsforsinkelsen mellom fartsøkning
og trykkfall. Leddet fjernes hvis man kun er ute etter å bestemme hvor
stort trykkfallet er og ikke når i hjertesyklusen det skjer.
Spinn
END