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Value-at-Risk
Análisis y Gestión de Riesgo
Distintos tipos de riesgo
Riesgo de
crédito
Riesgo de
reinversión
Riesgo de
iliquidez
Riesgo
país
Riesgo de
tipo de cambio
Riesgo
operativo
Riesgo
de mercado
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
2
Riesgo: algunos aspectos por
considerar

Un problema esencial asociado al término es que no
se cuenta con una definición única para “riesgo”. Se
pueden obtener ventajas relativas al trabajar con
distintas técnicas para implementar su medición.

Del diccionario:






Contingencia o proximidad de un daño (un “risco”)
El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas
El monto que una compañía puede perder
La variabilidad de los retornos de una inversión
La posibilidad de no recibir el pago de una deuda
Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato
de seguro
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Visión intuitiva del riesgo de
mercado

Puntos por considerar:

La oscilación de las variables económicas clave.
 Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o
de una emisión particular.
 Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y
riesgo no diversificable.
 Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales).

Consecuencias

Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de
un portafolio.
 Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio.
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4
Riesgo simétrico versus riesgo
asimétrico

Algunas medidas de riesgo simétrico:
 Desviación estándar y varianza
 Desviación absoluta respecto a la media

Algunas medidas de riesgo asimétrico:
 Semidesviación estándar
 Probabilidades empíricas de pérdida
 Value-at-Risk
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5
Riesgo simétrico versus riesgo
asimétrico
Distribución asimétrica
hacia ganancias
Resultado esperado
Distribución asimétrica
hacia pérdidas
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
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Riesgo simétrico versus riesgo
asimétrico

Ambas tienen el mismo
riesgo simétrico

Los indicadores
asimétricos identifican
la segunda
distribución de
resultados como más
riesgosa que la
primera
Distribución asimétrica
hacia ganancias
Resultado esperado
Distribución asimétrica
hacia pérdidas
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Definición del Value-at-Risk

Presupuestos

Es posible reunir información representativa sobre los posibles
resultados de una inversión en el corto plazo.



Datos históricos o supuestos expertos
Esta información permite describir el futuro (“comportamiento estable”)
Tres elementos distintivos de la definición

El Value-at-Risk incorpora:
Criterio
asimétrico
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Horizonte de
inversión
Significancia
estadística
8
Definición del Value-at-Risk

Definición
Es la máxima pérdida esperada
dentro de un horizonte de inversión de “n” días
con una probabilidad de error de “α”%
Criterio
asimétrico
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
Horizonte de
inversión
Significancia
estadística
9
Qué es Value at Risk (VaR)

El VaR resume la pérdida máxima esperada
(o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de
tiempo objetivo dentro de un intervalo de
confianza dado.
El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un
reporte de la siguiente forma:

Se tiene una certeza de X% de que no se perderá
más de V dólares en los siguientes N días
 V es el VaR de N -días para un nivel de confianza
de X%
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Metodologías VaR alternativas

Método “Analítico”
(Delta Normal)
Método “Montecarlo”
(Simulaciones)
Las similitudes


Las diferencias

Método “Histórico”
(Histogramas)
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Los tres métodos buscan estimar un valor
crítico para las pérdidas potenciales.
Cada método realiza distintos supuestos
acerca de qué valores son
representativos sobre las futuras
pérdidas potenciales y cómo éstas se
distribuyen estadísticamente.
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Metodologías VaR alternativas
Método “Analítico”
(Delta Normal)
Método “Montecarlo”
(Simulaciones)
Método “Histórico”
(Histogramas)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
12
VaR Analítico - Delta Normal

Supuestos

El supuesto clave es que es posible conocer la función de
distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete
de inversiones que se plantea manejar.

Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica),
con media y varianza conocidas.

Sin embargo…





¿Es realmente normal?
Problemas de estabilidad de medias y varianzas
¿De dónde procede la información sobre media y varianza?
¿Y los momentos superiores?
A partir de los supuestos sobre la distribución, es
posible calcular directamente el percentil de riesgo
apropiado.
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VaR Analítico - Delta Normal
Probabilidad de
ocurrencia
0
-2%
-1%
0%
1%
2%
Posibles valores de la
variable aleatoria
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VaR Analítico - Delta Normal
Probabilidad de
ocurrencia
Posibles valores de la
variable aleatoria
0
μ -3σ
μ -2σ
μ-1σ
μ
μ +1σ
μ +2σ
μ +3σ
68.26%
95.44%
99.74%
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VaR Analítico - Delta Normal
Probabilidad de
ocurrencia
5%
90%
5%
Posibles valores de la
variable aleatoria

Con una probabilidad de 95% en una cola …


=DISTR.NORM.ESTAND.INV(5%)= -1.6448
Valor crítico: 1.6448 Desviaciones estándar
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16
VaR Analítico - Delta Normal

Generalización

Si llevamos esta generalidad a una distribución
normal N(m,s) tendríamos que normalizar para
calcular qué valor de “x” se superará con una
probabilidad de 5%.
xm
xm
xm 


P z 
  5%  1.65 
  5% P  1.65 
s 
s 


s
x  1.65s  m
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VaR Analítico - Delta Normal


Los dos componentes: la media y la volatilidad

La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio
aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la
diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso.

La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación
estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo.
Conversión de plazos

Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y
volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente
modo:
manual  mdiaria  252
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s anual  s diaria  252
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VaR Analítico - Delta Normal

Período de anulación de riesgo

El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el
horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el
cálculo de la medida de riesgo.
 Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese
horizonte temporal.


Rendimiento:
Volatilidad:
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rperiodo  rdiariaT
s periodo  s diaria T
19
VaR Analítico - Delta Normal

El intervalo de confianza

Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el
intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de
probabilidad, -2.33 desviaciones estándar) a 10 días.
 Según la metodología de RiskMetrics[2] es de un
95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones
estándar) a 1 día.


[1] Banco de Pagos Internacionales, “Amendment to the Capital Accord to Incorporate
Markets Risk”, Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de 1996.
[2] Riskmetrics “Technical Document” – JP Morgan 1996
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
20
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
21
Dow Jones desde enero de 1997
hasta marzo del 2001
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
22
Data-> 1302 días
Mean -> 0.000553448
StandardDeviation -> 0.0112249
Kurtosis -> 6.78236
Skewness -> -0.489853
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Asunción de Normalidad
Frecuencia
35
Data-> 252 días
Mean -> -0.0000567592
Skewness -> -0.101167
Kurtosis -> 3.557397
StandardDeviation -> 0.0109072
30
25
20
15
10
5
-0.03 -0.02 -0.01
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0.
0.01
0.02
0.03
Rend
24
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25
Metodologías VaR alternativas
Método “Analítico”
(Delta Normal)
Método “Montecarlo”
(Simulaciones)
Método “Histórico”
(Histogramas)
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VaR Montecarlo

Supuestos

El supuesto clave es que es posible conocer la función de
distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o
paquete de inversiones que se plantea manejar.

Se asume que la distribución es una distribución conocida
(no necesariamente normal o simétrica).

Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o
bootstrapping.

Sin embargo…


¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya
siguiendo un patrón conocido?
Problemas de estabilidad de parámetros
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
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VaR Montecarlo

Procedimiento

A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus
covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos
futuros hipotéticos.
 Mediante la combinación de dichos retornos, se puede
estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un
histograma empírico.
 Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el
percentil de riesgo apropiado.

En síntesis

Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan
numerosos “mundos imaginarios” que siguen estas
distribuciones.
 El VaR se calcula comparando dichos escenarios simulados.
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Movimiento Browmiano
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Año
Cotización
2001
del Indice
Marzo
10000
Abril
9943.33
Mayo
9325.84
Junio
9566.16
Julio
10382.76
Agosto
11222.24
Septiembre
12476.09
Octubre
11048.79
Noviembre
11028.31
Diciembre
11854.20

-0.3002
-1.2777
0.2443
1.2765
1.1984
1.7331
-2.1836
-0.2342
1.0950
-1.0867
Variación
S
-56.673
-617.484
240.316
816.603
839.480
1253.849
-1427.298
-20.482
825.884
-605.441
Cotización del Indice
13000
12500
12000
11500
11000
10500
10000
9500
9000
8500
8000
l
zo bri ayo nio ulio sto bre bre bre bre
r
o m
a
A M
J
tu
Ju
M
Ag tie Oc viem ciem
i
p
o
D
N
Se
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
30
Simulación de Montecarlo
1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros.
2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo.
3) Selección de la serie de variables aleatorias.
4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal.
5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales.
6) Cálculo de la distribución de los precios finales
7) Cálculo del VaR
8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios.
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31
Selección de la serie de variables
aleatorias: 10 pasos

{7715.4, 7747.79, 7838.4, 7945.7, 8071., 8061.95, 7968.63, 7996.51,
8014.19, 8008.27, 8225.35}
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32
Simulación: 50 pasos
{8231.28, 8326.23, 7752.63, 7515.54, 7692.93, 7722.12, 7406.46, 8215.77,7733.26, 7708.26,
7667.66, 7987.14, 7659.5, 7724.84, 7505.23, 7607.72, 7960.08, 7215.38, 7663.24, 7633.67, 7740.72,
7823.22, 7952.66, 7272.22, 7703.3, 8171.57, 7435.34, 7850.22, 7851.2, 7836.13, 7618.75, 7606.02,
7762.65, 7480.32, 8018.9, 7843.87, 7689.99, 7695.14, 7600.88, 7699.05, 7423.71, 7759.96, 8210.56,
7269.68, 7564.04, 7829.16, 7473.52, 7795.48, 8258.2, 7581.22}
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33
200 caminos
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34
500 caminos
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35
Histograma: 200
Mean -> 7707.1,
StandardDeviation ->
256.394,
Skewness -> 0.0282609,
Kurtosis -> 2.80355
VaR= 7094 - 7703.24=-609.24 puntos de
indice
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36
Histograma:500
VaR=7107.14 - 7707.1=-599.96 puntos de índice
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37
Metodologías VaR alternativas
Método “Analítico”
(Delta Normal)
Método “Montecarlo”
(Simulaciones)
Método “Histórico”
(Histogramas)
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38
VaR Histórico


Supuestos

A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no
realiza supuestos sobre la manera de “suavizar” la distribución
de los retornos.

Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento
pasado es representativo del futuro cercano.
Procedimiento

Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos
históricos para calcular el nivel de pérdidas crítico.

Notar que los patrones de covarianza entre variables se
incorporan directamente en el procedimiento.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
39
VaR Histórico – Síntesis del proceso
Variables actuales
Cambios históricos
Tasas de interés
Tasas de interés
Tasas de interés
Tipos de cambio
Tipos de cambio
Tipos de cambio
Spreads de riesgo
Índices bursátiles
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
+
Spreads de riesgo
Valores posibles
=
Spreads de riesgo
Índices bursátiles
Índices bursátiles
Histograma
de valores
posibles
Valoración del
portafolio
40
¿Qué hay más allá
del Value-at-Risk?
Análisis y Gestión de Riesgo
¿Por qué el VaR no es suficiente?

Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el
VaR tiene características indeseables:


Falta de subaditividad
Falta de convexidad

Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no es una
medida “coherente” de riesgo.

El VaR únicamente es coherente cuando está basado en
distribuciones continuas normalizadas (ya que para una
distribución normal el VaR es proporcional a la desviación
estándar).
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
42
¿Qué es el CVaR?

Definición
 El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de confianza
dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son
mayores que el VaR.
 Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más
grande o igual que el VaR.
[Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000]

Implicancias
 Es un promedio de las pérdidas que exceden el VaR.
 Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el VaR
sino también las pérdidas extremas de la distribución.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
43
Acción de Yahoo
VaR -> -4.899%
Variance ® 0.00175868,
CVaR-> -7.166%
SampleRange ® 0.391606,
StandardDeviation ® 0.0419366,
MeanDeviation ® 0.0302709,
MedianDeviation ® 0.0211623,
QuartileDeviation ® 0.0220472
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
44
Acción de Yahoo (Variantes)
VaR -> -4.899%
VaR -> -4.899%
CVaR-> -9.125%
CVaR-> -11.29%
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
45
Resumen de las ventajas del CVaR

El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una
medida más conservadora, puesto que por definición así lo
exige, por lo que el CVAR domina al VAR.

El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre
convexa respecto a las posiciones lo que permite la
optimización en la posición de una cartera.

El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza.

Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que
la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el
CVAR.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
46
Sol Meliá
Sol Melia
Variance ® 0.000591326,
100
StandardDeviation ® 0.0243172,
80
SampleRange ® 0.26306,
60
MeanDeviation ® 0.0169168,
MedianDeviation ® 0.0119135,
40
QuartileDeviation ® 0.0119259
Skewness ® - 0.340253,
20
QuartileSkewness ® - 0.13312,
- 0.1
- 0.05
0.
0.05
0.1
KurtosisExcess ® 4.74141
Telefónica
Telef ó nica
60
Variance ® 0.000766605,
50
StandardDeviation ® 0.0276876,
SampleRange ® 0.225492,
40
MeanDeviation ® 0.0213998,
30
MedianDeviation ® 0.0170126,
QuartileDeviation ® 0.0169693
Skewness ® 0.555963,
20
10
Variance ® 0.000839184, StandardDeviation ® 0.0289687, SampleRange ® 0.208437,
MeanDeviation ® 0.0217709, MedianDeviation ® 0.0167924, QuartileDeviation ® 0.0164853
QuartileSkewness ® - 0.122494,
- 0.05
0.
0.05
KurtosisExcess ® 1.72
0.1
BSCH
BSCH
60
Variance ® 0.000839184,
50
StandardDeviation ® 0.0289687,
40
SampleRange ® 0.208437,
30
MeanDeviation ® 0.0217709,
MedianDeviation ® 0.0167924,
20
QuartileDeviation ® 0.0164853
Skewness ® 0.235453,
10
QuartileSkewness ® - 0.0984681,
Instrumentos
de Renta
Fija – Profesor:0.Miguel Angel 0.05
Martín
- 0.1
- 0.05
0.1
KurtosisExcess ® 1.10948
486 observaciones
47
Carteras de dos acciones - Telefónica y
BSCH
Perd%
0.06
CVaR
0.055
0.05
VaR
0.045
Valor del
portafolio
Telefónica
0.2
0.4
0.6
0.8
Evolución del VaR y del CVaR en función a la proporción
invertida en Telefónica (w1) para un nivel de confianza del
95% y un horizonte temporal de un día.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
1
w1
61.22% Telefónica
38.78% BSCH
CVaR -> 5.190%
48
El VaR para tres acciones - Sol Meliá,
Telefónica y BSCH
VaR
Sol Meliá
Telefónica
Sol Meliá
Evolución del VaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) ,
Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte
temporal de un día.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
49
El CVaR para tres acciones - Sol Meliá,
Telefónica y BSCH
CVaR
Sol Meliá
Telefónica
Sol Meliá
Evolución del CVaR en función a la proporciones invertidas en
Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un
nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
48.94% Sol Meliá
46.03% Telefónica
5.03% BSCH
CVaR -> 4.530%
50
Descomposición del VaR (1)
VaR
Incremental VaR
Marginal VaR
Portfolio VaR
100%
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
Posición en un activo
51
Descomposición del VaR (2)

Beta VaR
 Busca repartir el riesgo total entre cada una de las inversiones
individuales, usando como coeficiente el índice “beta” entre el
rendimiento del activo individual y el rendimiento de la cartera
en su totalidad.
β A1
C
σ A1,C
 2
σC
VaR  w A1 β A1  VaR    w Ak  β Ak  VaR
C
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
C
C
C
C
52
Ejercicios

Cálculo del CVaR y descomposición
del VaR con CVaR Expert
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
53
CVaR Histórico (1)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
54
CVaR Histórico (2)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
55
CVaR Histórico (3)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
56
CVaR Histórico (4)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
57
5. Aplicación del
Value-at-Risk
Siete lecciones importantes
Primera lección
G.I.G.O. (Garbage in… garbage out)

Aspectos por considerar

Cuidado con la forma de calcular
rendimientos


Un VaR a “n” días debería ser calculado utilizando rendimientos a
“n” días. No es lo mismo calcular un retorno a 1 día y
reexpresarlo utilizando el principio de las potencias.
Cuidado con las eliminaciones de datos


Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse que todas las
variables consideradas utilicen las mismas fechas de datos.
Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar los retornos
para que todos se encuentren en la misma base de tiempo
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
59
Segunda lección
Usar el método más robusto

En un mercado ilíquido y poco profundo, se presentan:
 Discontinuidades en los rendimientos
 “Colas anchas” (incertidumbre producida por casos extremos)
 Histogramas caprichosos

Siempre que sea posible, conviene utilizar el método
histórico para procesar la información.

Considerar que también existen mecanismos de análisis de
riesgo más robustos que el VaR
 CVaR
 BetaVaR
 IncrementalVaR…
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
60
Tercera lección
Identificar claramente los factores de mercado

¿A qué factores de riesgo está expuesto el valor de la
cartera?

Tasas de interés




Tipos de cambio


¿Es plana la curva de retornos?
¿Se desplaza paralelamente o puede girar?
¿Son constantes los spreads de riesgo por categoría?
¿En qué moneda se busca preservar el valor?
Índices bursátiles

¿Es posible asociar el retorno de activos individuales a índices
sectoriales, selectivos o generales?
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
61
Cuarta lección
Reconocer que habrá información faltante…

…e implementar soluciones consistentes

¿Qué hacer con los activos que no tienen precios
de mercado?




Renta fija: valoración teórica cuidadosa
Renta variable: uso cuidadoso de índices y sensibilidades
Alternativa integral: usar el vector de precios
¿Qué hacer con las tasas de interés?


Es necesario construir curvas de retornos para los distintos tipos de
inversiones (nacionales, soberanas, internacionales).
Observar la necesidad de realizar interpolaciones y evitar los
“andenes”.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
62
Quinta lección
Integrar el análisis de riesgo en la plataforma
operativa

El análisis VaR debe ser permanente

Idealmente, la institución debería poder contar con
la información actualizada diariamente.
 Esto implica un reto a nivel del flujo de datos
precisos sobre posiciones y cotizaciones de
instrumentos.
 El considerable volumen de datos involucrados
introduce el riesgo de errores humanos.
 Debe buscarse incorporar la generación de
reportes de riesgo de modo automatizado.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
63
Sexta lección
Calibrar el sistema a las necesidades de la
empresa

Utilizar el VaR ajustado a la media y el VaR relativo
 ¿Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel esperado?
 ¿Cuánto representa la pérdida como proporción de la
cartera?

Imponer límites a la exposición de riesgo
 Definir un sistema de alertas en función de las pérdidas
relativas proyectadas.

Poner a prueba su eficacia
 Utilizar procedimientos de back-testing para corroborar la
capacidad predictiva del sistema y realizar los ajustes
necesarios.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
64
Sétima lección
Distinguir el propósito de reporte normativo
y el propósito de gestión de riesgo

Los reportes solicitados por la Superintendencia de Banca pueden
ser útiles con fines regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la
mejor evidencia para dirigir la empresa.

Puntos por considerar:
 Definir claramente el ámbito de la “cartera” sujeta a riesgo.
 Acercarse a los usuarios finales de los reportes de riesgo. Explorar la
demanda de información.
 Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir decisiones informadas.
 Un mismo reporte no es para todos.
 Explicitar las “funciones objetivo” de cada área y cada funcionario.
 Incorporar en la cadena a personal especializado.
 No perder de vista: “¿Qué hay más allá del VaR?”
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
65
Método analítico


V:= vector de flujos
W:=vector de proporciones
V '  V1 ,V2 ,V3 ,...Vn 
w'  w1 , w2 , w3 ,...wn 
 s 12 s 12 s 13  s 1N 


 

2
2
s N 1 s N 2 s N 3
s N 

 R1 
R  w1 , w2 , w3 ,...wn   
 R N 
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
s P2  w'  w
VaR p  Vs P
66
VaR Incremental


El VaR incremental tiene por objeto calcular cuál es
el VaR que aporta cada FM al VaR total de la cartera.
Mide cual es la contribución al riesgo de un activo al
portafolio de la cartera
x 
cov( rx , rp )
var( rp )
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
 MF 
cov( rMF , rp )
var( rp )
 MF 
w
w' w
67
VaR Incremental
s P2  w1 cov( r1 , rp )  w2 cov( r2 , rp )  w3 cov( r3 , rp )  
s P2  w1 1s 2p  w2 s  w3 1s 2p  
2
p
VaRMF1  w1  1VaR p
VaR p  VaRMF1  VaRMF 2  VaRMF 3  
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
68
Análisis Empírico: Medidas Clásicas vs. Medidas Modernas
Características de los Bonos
BONO
Fecha de
Número Vencimiento
1
15-May-04
2
15-May-04
3
15-May-05
4
15-May-05
5
15-May-06
6
15-May-06
7
15-May-08
8
15-May-08
9
15-Ago-10
10
15-Feb-13
11
15-Feb-23
Vto. Años
0.980822
0.980822
1.980822
1.980822
2.980822
2.980822
4.983562
4.983562
7.235616
9.742466
19.747945
YTM %
1.064%
1.072%
1.295%
1.203%
1.618%
1.622%
2.294%
2.297%
2.890%
3.306%
4.227%
TC
(semestral)
5.250%
7.250%
6.500%
12.000%
2.000%
4.625%
2.625%
5.625%
5.750%
3.875%
7.125%
Precio %
104.02%
105.93%
110.08%
120.93%
101.10%
108.67%
101.55%
115.54%
118.52%
102.69%
138.50%
Precio $
1,041.88
1,061.65
1,102.89
1,213.19
1,011.66
1,088.16
1,016.32
1,157.21
1,201.19
1,028.05
1,404.90
Tabla 20.1 Características de los Bonos
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
70
Media
Desv. Estan.
Curtosis (exceso)
8
Coef. Asimetría
tcm1y
-0.028%
0.099%
4.324
-1.140
tym 2
-0.028%
0.120%
3.178
-0.031
tcm3y
-0.027%
0.125%
2.535
0.251
tcm5y
-0.023%
0.122%
1.967
0.591
tcm7y
-0.021%
0.115%
1.961
0.796
tcm10y
-0.018%
0.112%
1.651
0.854
tcm20y
-0.014%
0.095%
1.332
0.808
7
tcm1y
Estadísticos y gráficos
de la evolución de los
rendimientos:
SERIE 2000-2003
6
tym 2
Yield (%)
5
tcm3y
4
tcm5y
3
tcm7y
2
tcm10y
1
0
06/12/1999
tcm20y
23/06/2000
Media
Desv. Estan.
Curtosis (exceso)
9.00
Coef. Asimetría
09/01/2001
tcm1y
0.294%
1.823%
0.559
0.535
28/07/2001
13/02/2002
tym 2
tcm3y
0.257% Fechas
0.222%
1.969%
2.008%
0.789
0.976
0.378
0.440
01/09/2002
tcm5y
0.165%
1.883%
0.842
0.342
20/03/2003
tcm7y
tcm10y tcm20y
0.139%
0.111% 0.061%
1.861%
1.698% 1.439%
0.791
0.567
0.442
0.349
0.291
0.315
8.00
tcm1y
7.00
Yield (%)
SERIE 1993-1997
tcm2y
tcm3y
6.00
tcm5y
5.00
tcm7y
4.00
3.00
08/09/1993
tcm10y
tcm20y
27/03/1994
13/10/1994
01/05/1995
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
Fechas
17/11/1995
04/06/1996
Fuente: Reserva federal
21/12/1996
71
Medidas Clásicas de Gestión
BONO
Fecha de
Duración
Duración
Número Vencimiento Macaulay Modificada
1
15-May-04
0.96846
-0.9437
2
15-May-04
0.96392
-0.9302
3
15-May-05
1.89248
-1.8329
4
15-May-05
1.82940
-1.7258
5
15-May-06
2.90829
-2.8795
6
15-May-06
2.82316
-2.7594
7
15-May-08
4.70326
-4.6423
8
15-May-08
4.45058
-4.3288
9
15-Ago-10
6.12530
-5.9541
10
15-Feb-13
8.25620
-8.0993
11
15-Feb-23
12.20350
-11.7837
Convexidad
1.4488
1.4529
4.7016
4.5993
9.9728
9.6942
25.0177
23.4902
43.8626
77.9711
196.3140
M-2
16.2591
16.2978
9.7507
10.2043
4.5023
5.0015
0.9015
1.7139
5.2826
18.0137
99.3028
Ñ
2.0158
2.0180
1.5538
1.5853
1.0459
1.0884
0.1484
0.2747
1.0854
2.0169
4.1412
Tabla 20.4 Medidas Clásicas de los bonos
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
72
CARTERA
(Número) 1er Bono
1
1
2
1
3
1
4
2
5
2
6
2
7
3
8
3
9
3
10
4
11
4
12
4
13
5
14
5
15
5
16
6
17
6
18
6
19
7
20
7
21
7
22
8
23
8
24
8
2do
Bono
9
10
11
9
10
11
9
10
11
9
10
11
9
10
11
9
10
11
9
10
11
9
10
11
% (1er)
Convexidad
21.822%
34.607
44.681%
43.781
64.116%
71.373
21.802%
34.616
44.653%
43.804
64.090%
71.427
26.585%
33.452
51.168%
40.480
69.862%
62.449
26.195%
33.578
50.666%
40.797
69.437%
63.192
34.980%
32.008
60.887%
36.569
77.497%
51.905
34.078%
32.219
59.933%
37.051
76.794%
53.002
79.133%
28.950
91.648%
29.440
96.044%
31.795
67.193%
30.174
85.563%
31.356
92.913%
35.738
Tabla 20.5 Medidas clásicas de las carteras
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
M-2
7.678
17.230
46.058
7.684
17.248
46.105
6.470
13.786
36.740
6.572
14.057
37.435
5.010
9.787
25.835
5.187
10.215
26.885
1.816
2.331
4.795
2.885
4.067
8.630
Ñ
1.288
2.016
2.778
1.289
2.017
2.780
1.210
1.780
2.334
1.216
1.798
2.366
1.072
1.426
1.742
1.086
1.460
1.797
0.344
0.304
0.306
0.541
0.526
0.549
CAMBIOS
PARALELOS
La cartera con
mayor convexidad
es la Cartera 6 (con
71.427).
Le sigue la Cartera
3 (con 71.373 de
convexidad).
CAMBIOS NO
PARALELOS
La Cartera 19 y la
Cartera 20 serían
las mejores ya que
la Cartera 19
minimiza el M-2 y la
Cartera 20 minimiza
el Ñ.
73
Asumiendo Normalidad
Principales Carteras 1993-1997
CART 1er
2do
(Num) Bono Bono % (1er)
1
1
9
21.8%
2
1
10
44.7%
3
1
11
64.1%
4
2
9
21.8%
5
2
10
44.7%
6
2
11
64.1%
7
3
9
26.6%
8
3
10
51.2%
9
3
11
69.9%
10
4
9
26.2%
Media
0.110%
0.116%
0.118%
0.109%
0.115%
0.115%
0.110%
0.116%
0.117%
0.108%
Desv.
Estan.
3.987%
3.348%
3.378%
4.026%
3.392%
3.421%
4.004%
3.396%
3.515%
4.120%
Exce.
Coef.
Curt. Asime.
28.782 3.802
9.296 2.091
12.702 2.345
28.042 3.708
8.421 1.907
12.515 2.213
28.900 3.732
7.328 1.715
15.235 2.393
25.877 3.638
VaR
90%
4.999%
4.174%
4.212%
5.050%
4.233%
4.268%
5.021%
4.335%
5.789%
5.172%
VaR
VaR
95%
99%
6.448% 9.165%
5.390% 7.672%
5.439% 7.741%
6.513% 9.257%
5.465% 7.777%
5.511% 7.842%
6.476% 9.205%
5.597% 7.965%
7.476% 10.641%
6.668% 9.476%
Principales Carteras 2000-2003
CART 1er
2do
(Num) Bono Bono % (1er)
1
1
9
21.8%
2
1
10
44.7%
3
1
11
64.1%
4
2
9
21.8%
5
2
10
44.7%
6
2
11
64.1%
7
3
9
26.6%
8
3
10
51.2%
9
3
11
69.9%
10
4
9
26.2%
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
Media
0.270%
0.273%
0.262%
0.270%
0.272%
0.261%
0.270%
0.272%
0.263%
0.269%
Desv.
Estan.
3.355%
2.962%
2.989%
3.508%
3.210%
3.216%
3.450%
3.254%
3.367%
3.481%
Exce. Coef.
Curt. Asime.
20.651 -3.754
10.648 -2.699
12.205 -2.938
22.394 -3.984
17.693 -3.407
18.063 -3.534
20.530 -3.719
15.937 -3.134
18.196 -3.495
19.996 -3.658
VaR
90%
4.030%
3.524%
3.568%
4.226%
3.842%
3.861%
4.151%
3.990%
5.351%
4.192%
VaR
VaR
95%
99%
5.249% 7.536%
4.600% 6.619%
4.654% 6.691%
5.501% 7.892%
5.009% 7.196%
5.029% 7.221%
5.405% 7.756%
5.200% 7.470%
6.974% 10.020%
5.457% 7.829%
74
Distribuciones Reales
VaR y CVaR de las Principales Carteras 1993-1997
CART 1er
2do
(Num) Bono Bono % (1er)
1
1
9
21.8%
2
1
10
44.7%
3
1
11
64.1%
4
2
9
21.8%
5
2
10
44.7%
6
2
11
64.1%
7
3
9
26.6%
8
3
10
51.2%
9
3
11
69.9%
10
4
9
26.2%
VaR
90%
3.471%
3.699%
3.026%
3.539%
3.758%
3.021%
3.431%
3.561%
3.215%
3.607%
VaR
95%
5.039%
4.486%
4.352%
5.564%
4.807%
4.547%
5.477%
4.376%
4.431%
5.525%
VaR
99%
8.471%
6.099%
6.156%
8.446%
6.725%
7.054%
9.060%
7.094%
7.779%
9.305%
CVaR
90%
5.268%
4.657%
4.742%
5.458%
5.030%
4.994%
5.432%
5.080%
5.104%
5.525%
CVaR
95%
6.423%
5.394%
5.730%
6.653%
5.825%
6.219%
6.703%
6.195%
6.398%
6.898%
CVaR
99%
9.176%
6.481%
7.362%
9.182%
6.787%
7.800%
9.153%
7.186%
8.652%
9.430%
VaR y CVaR de las Principales Carteras 2000-2003
CART 1er
2do
(Num) Bono Bono % (1er)
1
1
9
21.8%
2
1
10
44.7%
3
1
11
64.1%
4
2
9
21.8%
5
2
10
44.7%
6
2
11
64.1%
7
3
9
26.6%
8
3
10
51.2%
9
3
11
69.9%
10
4
9
26.2%
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
VaR
90%
1.313%
1.950%
1.851%
1.671%
2.022%
1.475%
1.666%
1.446%
1.531%
1.869%
VaR
95%
2.972%
5.766%
3.778%
2.953%
2.891%
4.049%
3.602%
3.546%
4.008%
3.785%
VaR
99%
18.367%
13.125%
15.185%
21.875%
16.467%
16.211%
21.171%
14.399%
18.210%
21.145%
CVaR
90%
6.401%
6.319%
6.429%
6.482%
6.455%
6.562%
6.503%
6.650%
6.749%
6.669%
CVaR
95%
10.668%
10.335%
10.197%
10.935%
10.652%
10.640%
10.891%
10.800%
10.793%
10.911%
CVaR
99%
20.768%
15.008%
15.675%
22.298%
19.441%
19.254%
21.613%
18.636%
20.265%
21.686%
75
OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR
(INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 1993-1997
Perd%
H L
CARTERA 1
CA RTERA 1 Bono 1 y Bono 9 93- 97
0.075
0.07
W1 = 40.35%
W9 = 59.65%
0.075
CVaR = 5.824%
Dm = 4.045
Cnx = 26.749
M2= 5.28
0.065
0.065
0.06
0.055
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1
H L
0.06
0.055
0.2
H
L
CARTERA 2
CA RTERA 2 Bono 1 y Bono 10 93- 97
0.075
W1 = 45.495%
W10 = 54.505%
0.07
0.065
Perd%
0.4
0.6
H
0.8
1
w2
L
CVaR = 6.250%
Dm = 4.322
Cnx = 29.048
M2= 5.286
CARTERA 5
CA RTERA 5 Bono 2 y Bono 10 93- 97
0.075
W2 = 43.04%
W10 = 56.96%
0.07
0.065
0.06
0.055
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1
0.045
Perd%
W2 = 34.932%
W9 = 65.058%
0.07
0.045
Perd%
CARTERA 4
Perd % CA RTERA 4 Bono 2 y Bono 9 93 - 97
H
L
CARTERA 3
CA RTERA 3 Bono 1 y Bono 11 93- 97
0.075
CVaR = 5.393%
Dm = 4.941
Cnx = 43.157
M2= 18.014
W1 = 40.059%
W11 = 56.941%
0.07
0.065
0.06
0.055
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w2
0.045
Perd%
H
L
CVaR = 5.819%
Dm = 5.118
Cnx = 45.038
M2= 18.014
CARTERA 6
CA RTERA 6 Bono 2 y Bono 11 93- 97
0.075
W1 = 41.42%
W9 = 58.58%
0.07
0.065
0.06
0.055
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1
0.045
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
CVaR = 5.443%
Dm = 7.366
Cnx = 112.407
M2= 99.303
0.06
0.055
0.045
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w2
CVaR = 5.869%
Dm = 7.548
Cnx = 115.603
M2= 99.30
76
OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR
(INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 2000-2003
Perd%
H L
CARTERA 1
CA RTERA 1 Bono 1 y Bono 9 00- 03
0.12
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1
0.06
0.04
H
L
CARTERA 2
CA RTERA 2 Bono 1 y Bono 10 00- 03
0.12
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1
0.08
0.04
Perd%
W1 = 32.52%
W10 = 67.48%
CVaR = 10.302%
Dm = 5.886
Cvx = 17.443
M2= 17.443
0.06
H
L
CARTERA 3
CA RTERA 3 Bono 1 y Bono 11 00- 03
0.12
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1
0.08
0.06
0.04
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
H L
W1 = 32.17%
W11 = 67.83%
0.12
0.4
0.6
0.8
1
w2
0.06
0.04
Perd%
H
L
CARTERA 5
CA RTERA 5 Bono 2 y Bono 10 00- 03
0.12
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w2
0.08
0.04
H
L
CARTERA 6
CA RTERA 6 Bono 2 y Bono 11 00- 03
0.12
0.08
0.06
0.04
W2 =32.51%
W10 = 68.49%
CVaR = 10.638%
Dm = 5.885
Cvx = 53.094
M2= 17.456
0.06
Perd%
W2 = 33.92%
W9 = 57.08%
CVaR = 10.707%
Dm = 4.374
Cvx = 29.476
M2= 4.374
0.08
0.2
CVaR = 9.934%
Dm = 8.589
Cvx = 133.629
M2= 72.589
CARTERA 4
CA RTERA 4 Bono 2 y Bono 9 00 - 03
0.2
CVaR = 10.386%
Dm = 4.373
Cvx = 29.447
M2= 9.013
0.08
Perd%
W1 = 33.99%
W9 = 66.01%
Perd %
0.4
0.6
0.8
1
w2
W1 = 40.52%
W9 = 59.48%
CVaR = 10.238%
Dm = 7.649
Cvx = 117.350
M2= 65.667
77