Transcript Geometria 1 Piano e spazio euclidei/1 Gli “assiomi” di Euclide Gli

Geometria 1
Piano e spazio euclidei/1
Gli “assiomi”
“assiomi” di
di Euclide
Euclide
Gli
Definizioni 1-3 e 5-6: nozione intuitiva di dimensione
dimensione
(definizione induttiva di Poincaré)
Definizioni 4 e 7: come interpretare “giace ugualmente”?
(non basta l’“uguaglianza” della noz. com. 4
serve una nozione di direzione o minimalità)
Definizione 23: rette parallele (non si può costruire l’intersezione)
(definizione equivalente basata sull’equidistanza)
costruzioni di (segmenti) rette e cerchi
Postulati 1-3: costruzioni
Postulato 4: angoli retti 3 costruzione di movimenti rigidi
Postulato 5: postulato
postulato delle
delle parallele
parallele (costruzione intersezione)
, per ogni P 2
/ r esiste unica r0 k r passante per P
, somma angoli interni triangoli = angolo piatto
misura (geometria)
Nozioni comuni: riguardano la nozione di misura
(4 3 misura e movimenti rigidi, 5 3 finitezza)
Gli assiomi
assiomi di
di Hilbert
Hilbert
Gli
Appartenenza
Appartenenza 3 interpretazione insiemistica
rette/piani/spazio = insiemi di punti che vi appartengono
Ordinamento
Ordinamento (assiomi 9-12) 3 semirette e segmenti
O 2 r 3 P ⇠ Q , O non sta tra P e Q (rel. di equiv. su r {O})
semirette con origine O (classi di equiv.)
3 s, s0 ⇢ r semirette
bbbbbb
segmento P Q = {P, Q} [ {R 2 r | R sta tra P e Q}
P, Q 2 r 3 segmento
bbbbbd
segmento orientato
orientato P Q (con gli estremi ordinati)
3 segmento
Ogni retta r ammette due orientazioni
orientazioni opposte
= ordini totali t.c. S sta tra R e T , R < S < T _ T < S < R,
indotti dalla scelta P < Q o Q < P con P, Q 2 r (cf. ass. 12)
= classi di equiv. [(P1 , P2 )] della relazione di equiv. generata da
(P1 , P2 ) ' (P1 , P20 ) ' (P10 , P2 ) con Pi , Pi0 2 stessa semiretta da Pj
Geometria 1
Piano e spazio euclidei/2
Nota orientazione su r 2 “verso di percorrenza” su r
Nota
Nota:
Assioma
Assioma di
di Pash
Pash 3 semipiani, semispazi, angoli e triangoli
bbbbbb
r ⇢ ⇡ 3 P ⇠ Q , P Q \ r = ? con P, Q 2 ⇡ (rel. di equiv. su ⇡
3 ⇢, ⇢0 ⇢ ⇡ semipiani
semipiani con origine r (classi di equiv.)
s, t ⇢ ⇡ semirette con la stessa origine O
3 , 0 , ⌧, ⌧ 0 ⇢ ⇡ semipiani t.c. s ⇢ ⌧ e t ⇢
f : \ ⌧ (convesso) e 0 [ ⌧ 0 (concavo)
angoli st
3 angoli
l e ts
l (con i lati ordinati)
angoli orientati
orientati st
3 angoli
semispazi con origine ⇡
⇡ ⇢ spazio 3 S, S 0 ⇢ spazio semispazi
, ⌧ ⇢ ⇡ semipiani con la stessa origine r 3 angoli
angoli diedri
diedri
Ogni piano ↵ ammette due orientazioni
orientazioni opposte
= classi di equiv. [(P1 , P2 , P3 )] della relazione di equivalenza
gen. da (P1 , P2 , P3 ) ' (P10 , P2 , P3 ) ' (P1 , P20 , P3 ) ' (P1 , P2 , P30 )
con Pi , Pi0 2 stesso semipiano uscente da Pj Pk
Note 1) P1 , P2 , P3 2 ⇡ non allineati, 2 ⌃3
Note
Note:
(P1 , P2 , P3 ) ' (P (1) , P (2) , P (3) ) , sgn( ) = 1
2) orientazione su ⇡ 2 orientazione angoli in ⇡
O, P, Q 2 ⇡ non allineati t.c. [(O, P, Q)] = orient. ⇡
h
n
h
n
P OQ convesso 3 P OQ , P OQ concavo 3 QOP
Lo spazio ammette due orientazioni
orientazioni opposte
= classi di equiv. [(P1 , P2 , P3 , P4 )] della relazione di equiv.
gen. da (P1 , P2 , P3 , P4 ) ' (P10 , P2 , P3 , P4 ) ' (P1 , P20 , P3 , P4 )
' (P1 , P2 , P30 , P4 ) ' (P1 , P2 , P3 , P40 )
con Pi , Pi0 2 stesso semispazio uscente da Pj Pk Pl
Nota
Nota:
Nota P1 , P2 , P3 , P4 non complanari, 2 ⌃4
(P1 , P2 , P3 , P4 ) ' (P (1) , P (2) , P (3) , P (4) ) , sgn( ) = 1
P1 , P2 , P3 2 ⇡ 3 Pi 2
3 1\
⇢ ⇡ = semipiano con origine Pj Pk
triangolo (P1 , P2 , P3 non allineati)
2 \ 3 triangolo
i
r)
Geometria 1
Piano e spazio euclidei/3
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bbbbbbbbbbbbbb
poligonale P0 P1 [ P1 P2 [ . . . [ Pn 1 Pn ⇢ ⇡,
P0 , . . . , Pn 2 ⇡ 3 poligonale
aperta se Pn 6= P0 , chiusa
chiusa se Pn = P0 ,
aperta
bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb
semplice
semplice se Pi = Pi 1 Pi \ Pi Pi+1 sole intersez.
Prop
Prop.
Prop C ⇢ ⇡ poligonale chiusa semplice P0 , . . . , Pn
) ⇡ C = I(C) t E(C) con I(C), E(C) regioni tali che:
P, Q 2 stessa regione , 9 poligonale tra P e Q in ⇡ C,
I(C) limitata e E(C) illimitata (contiene una retta)
poligono P0 , . . . , Pn delimitato da C
3 P (C) = C [ I(C) poligono
Dim
Dim.
Dim caso speciale: 8 i 9 i ⇢ ⇡ con origine Pi 1 Pi t.c. Pj6=i 1,i 2 i
I(C) = 1 \ . . . \ n (regione convessa), E(C) = 10 [ . . . [ n0
caso generale: per induzione su n a partire da n = 3
P ⇠ Q , 9 poligonale tra P e Q in ⇡ C (relaz. di equiv.)
classi di equivalenza sono al più due (verifica diretta)
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e almeno due (9 Pi Pj t.c. Pi Pj \ C = {Pi , Pj } 3 induzione)
3 I(C), E(C) classi di equivalenza
Parallelismo 3 vettori geometrici
Parallelismo
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vettore applicato
applicato nel punto P (= segmento orientato)
P Q vettore
equipollenza = relazione di equiv. generata da
equipollenza
bbbbbd bbbbd
P Q ⌘ RS con P Q k RS ^ P R k QS
bbbbbd
bbbbbd
v = [P Q] vettore
vettore libero
libero (= classe di equipollenza di P Q)
bbbbbd
Per ogni punto P esiste unico punto Q tale che v = [P Q]
(2 teorema di Desargues: triangoli omologhi)
Note
Note:
Note 1) l’equipollenza nella retta dipende da quella nel piano
2) il teorema di Desargues dipende dal parallelismo nello
spazio (oppure dagli assiomi di congruenza nel piano)
Continuità
Continuità 3 struttura vettoriale reale
bbbbbd
bbbbbd
bbbbbd
v = [P Q], w = [QR] 3 v + w = [P R] (regola del parallelogrammo)
3 multipli e sottomultipli interi di vettori (teorema di Talete)
3 a v con a 2 R , come limite di multipli raz. (densità di Q in R)
Geometria 1
Piano e spazio euclidei/4
bbbbbd
VB = ({v = [P Q]}, (v, w) 7! v + w, (a, v) 7! a v)
BB D T T
spazio
spazio vettoriale
vettoriale reale
reale dei vettori liberi
bbbbbd
Tra
=
{⌧
:
P
!
7
Q
se
v
=
[
P Q]} 5 (V, +)
v
BBB
D T T gruppo
gruppo delle
delle traslazioni
traslazioni del piano/spazio
bbbbbd
bbbbbd
DilB C = {'C,a : P 7! Q con a 2 R {0} e [CQ] = a [CP ]}
BB D T T
gruppo delle
delle dilatazioni
dilatazioni del piano/spazio con centro C
gruppo
DilB = {' trasf. del piano/spazio t.c. '(r) = r o k r 8 retta r}
BB D T T
gruppo
gruppo delle
delle dilatazioni
dilatazioni del piano/spazio
A↵
BBB = {' trasf. del piano/spazio t.c. '(retta) = retta}
D T T gruppo
gruppo delle
delle affinità
affinità del piano/spazio
Tra = {' 2 Dil | ' = id _ ' senza centro} ⇢ Dil (sottogr. normale)
DilC = {' 2 Dil | '(C) = C} ⇢ Dil (sottogruppo non normale)
Tra , Dil ⇢ A↵ (sottogruppi normali)
⇢
' 2 DilC se '(C) = C
Note
Note:
Note 1) ' 2 Dil )
' 2 Tra se '(P ) 6= P per ogni P
2) ' 2 A↵ ) ' rispetta la relaz. “tra” e '(piano) = piano
bbbbbbbbbbbbbbbbbbd
bbbbbd
n
n
) '(P Q) = '(P )'(Q), '(P OQ) = '(P )'(O)'(Q)
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbd
bbbbbd
3) ' 2 A↵ 3 '⇤ : V ! V definita '⇤ ([P Q]) = ['(P ), '(Q)]
'⇤ (v + w) = '⇤ (v) + '⇤ (w) e '⇤ (a v) = a '⇤ (v)
(applicazione lineare di spazi vettoriali reali)
bbbbbbbbbbbbd
4) ' 2 A↵ , O punto fissato come origine, v = [O'(O)] 2 V
bbbbbd
bbbbbd
3 'O 2 A↵ definita 'O (P ) = Q se '⇤ ([OP ]) = [OQ]
) ' = ⌧v a 'O , cioè: '(P ) = 'O (P ) + v
Per ogni P1 , P2 , P3 e P10 , P20 , P30 triangoli (triple non allineate)
esiste (unica nel piano) ' 2 A↵ t.c. '(Pi ) = Pi0 per i = 1, 2, 3
Per ogni P1 , P2 , P3 , P4 e P10 , P20 , P30 , P40 quadruple non complanari
esiste unica ' 2 A↵ (dello spazio) t.c. '(Pi ) = Pi0 per i = 1, 2, 3, 4
Geometria 1
Piano e spazio euclidei/5
Coordinate cartesiane
cartesiane (affini)
Coordinate
bbbbbd bbbbbd
retta $ R: O, U punti distinti 3 P $ (P ) = xP = [OP ]/[OU ]
corr. biuniv. ordinata rispetto all’orientaz. O < U
(segmenti incommensurabili e completezza di R)
piano $ R2 : O, Ux , Uy non allineati 3 P $ (P ) = (xP , yP )
spazio $ R3 : O, Ux , Uy , Uz non compl. 3 P $ (P ) = (xP , yP , zP )
componenti dei vettori
Coordinate 3 componenti
bbbbbd
V $ R1,2,3 : v = [P Q] $ ⇤ (v) = (Q)
(P )
⇤ (v + w) = ⇤ v + ⇤ w e ⇤ (a v) = a ⇤ (v)
(isomorfismo di spazi vettoriali reali)
Rette $ equazioni/parametrizzazioni lineari
⇢
x = xP + t (xQ xP )
r = P Q ⇢ piano $
2 ax + by = c
y = yP + t (yQ yP )
8
⇢
< x = xP + t (xQ xP )
a1 x + b1 y + c1 z = d1
r ⇢ spazio $ y = yP + t (yQ yP ) 2
:
a2 x + b2 y + c2 z = d2
z = zP + t (zQ zP )
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bbbbbb bbbbbb
Congruenza
Congruenza 3 criteri cong. triangoli 3 P Q ⌘ RS ) P Q 5 RS
3 per ogni P e r esiste unica r0 ? r passante per P
Congruenza
Congruenza 2 misura
misura di segmenti e angoli
bbbbbb
bbbbbb
bbbbbd bbbbbd
bbbbbb bbbbbb
OU unità misura 3 |P Q| = P Q/P R con P R 5 OU , P R ⇠ P Q
f = 2⇡ st/giro
f
|st|
(misura naturale degli angoli: arco/raggio)
b
bbbbbbbbb
bbbbbb bbbbbbbb
bbbbbb
h
h
h
h
P Q 5 P 0 Q0 , |P Q| = |P 0 Q0 | e P OQ 5 P 0 O0 Q0 , |P OQ| = |P 0 O0 Q0 |
⇡ piano orientato 3 giro positivo 3 misura angoli orientati
l = 2⇡ st/giro
l
Ang st
positivo 2 R/2⇡Z (= per concavo e covesso)
Note
Note:
Note 1) segmenti orientati si possono confrontare nella retta
(3 misura nella retta orientata), ma non nel piano
2) angoli orientati si possono confrontare nel piano
(3 misura nel piano orientato), ma non nello spazio
Geometria 1
Piano e spazio euclidei/6
bbbbbb
distanza (metrica) euclidea
d(P, Q) = |P Q| distanza
d( · , · ) applicazione a valori in [0, 1)
t.c. 1) d(P, Q) = 0 , P = Q
2) d(P, Q) = d(Q, P ) per ogni P, Q
3) d(P, Q)  d(P, R) + d(R, Q) per ogni P, Q, R
movimenti rigidi
rigidi
Congruenza 2 trasformazioni euclidee (movimenti
movimenti
rigidi)
bbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbb
IsoB = {' 2 A↵ | '(P )'(Q) 5 P Q per ogni P, Q}
BB D T T
gruppo delle
delle isometrie
isometrie del piano/spazio
gruppo
h
h
Sim
=
{'
2
A↵
|
'(
P
OQ)
5
P
OQ per ogni O, P, Q}
BBB
D T T gruppo
gruppo delle
delle similitudini
similitudini del piano/spazio
Tra ⇢ Iso ⇢ Sim = hIso [ Dili ⇢ A↵ (sottogruppi propri)
bbbbbbbbb
bbbbbb bbbbbbbbb
bbbbbb
Prop
Prop.
Prop P Q 5 P 0 Q0 , esiste ' 2 Iso t.c. P 0 Q0 = '(P Q)
g
f 5 sg
f
0 0
st
t , esiste ' 2 Iso t.c. s0 t0 = '(st))
Dim
Dim.
Dim ( banale, ) segue da criteri congr. triangoli
Prodotto
(struttura euclidea)
Prodotto scalare
scalare 2 lunghezze e ortogonalità
p
g 2 kvk = hv, vi (e vw
g = arccos(. . .))
hv, wi = kvk · kwk · cos vw
Vettore libero v $ v/kvk versore (direzione, verso) e kvk (modulo)
h · , · i : V ⇥ V ! R forma bilineare, simmetrica, definita positiva
t.c. 1) |hv, wi|  kvk · kwk per ogni v, w
e hv, wi = ± kvk · kwk , v k w (± dipende dal verso)
2) hv, wi = 0 , v ? w (incluso v = 0V o w = 0V )
3) ka vk = |a| kvk per ogni a 2 R
4) kv + wk  kvk + kwk (proprietà triangolare)
5) kv + wk2 = kvk2 + kwk2 , v ? w (teorema di Pitagora)
6) Iso = {' 2 A↵ | h'⇤ (v), '⇤ (w)i = hv, wi per ogni v, w 2 V }
Prodotto vettoriale/misto
vettoriale/misto (nello spazio)
Prodotto
8
< v ⇥ w ? v, w
v, w 2 V 3 v ⇥ w 2 V definito da (v, w, v ⇥ w) tripla “positiva”
:
kv ⇥ wk = Area(v, w)
Geometria 1
Piano e spazio euclidei/7
u, v, w 2 V 3 hu, v ⇥ wi = ± Volume(u, v, w) 2 R
prodotto vettoriale/misto bi/trilineare antisimmetrico
t.c. 1) v ⇥ w = 0 , v, w sono allineati
2) hu, v ⇥ wi = 0 , u, v, w sono complanari
3) ' 2 Iso ) '⇤ conserva prodotto vettoriale/misto
Coordinate
Coordinate cartesiane
cartesiane ortogonali
ortogonali nel piano
bbbbbbbb bbbbbbbb
bbbbbb
O, Ux , Uy tc. OUx , OUy ortogonali e congruenti a OU
bbbbbbbd
bbbbbbbd
3 v = vx ex + vy ey con ex = [OUp
]
,
e
=
[
OUy ]
x
y
3 hv, wi = vxp
wx + vy wy , kvk = vx2 + vy2
3 d(P, Q) = (xQ xP )2 + (yQ yP )2
Coordinate cartesiane
cartesiane ortogonali
ortogonali nello spazio
Coordinate
bbbbbbbb bbbbbbbb bbbbbbbb
bbbbbb
O, Ux , Uy tc. OUx , OUy , OUz ortogonali e congruenti a OU
bbbbbbbd
bbbbbbbd
bbbbbbbd
3 v = vx ex + vy ey + vz ez con ex = [OUp
x ] , ey = [OUy ] , ez = [OUz ]
3 hv, wi = vxp
wx + vy wy + vz wz , kvk = vx2 + vy2 + vz2
3 d(P, Q) = (xQ xP )2 + (yQ yP )2 + (zQ zP )2
3 v ⇥ w = ±(vy wz vz wy , vz wx vx wz , vx wy vy wx )
(segno: + se (ex , ey , ez ) tripla “positiva”,
altrimenti)
Hilbert: modello
modello “reale”
“reale” dello
dello spazio
spazio
Hilbert:
spazio = R3 (R costruito come completamento di Q),
rette/piani = soluzioni di equazioni lineari
congrenza = relazione di equiv. indotta da Iso
Nota
Nota:
Nota modelli di geometrie non euclidee (ellittica e iperbolica)
Klein:
Klein: programma
programma di
di Erlangen
Erlangen
geometria = studio delle configurazioni a meno delle relazioni
di equivalenza indotte da gruppi di trasformazioni
Esempi 1) classificazione dei triangoli (affine, simile, euclidea)
Esempi
Esempi:
2) baricentro = punto di intersezione delle mediane