Transcript numere reale

N = {0; 1; 2; 3; 4; ….}
Multimea numerelor intregi: Z = {…,-3; -2; -1; 0; +1; +2; +3;…}
Multimea numerelor naturale:
a

  a  Z , b  Z *, ( a, b)  1
b


Numerele irationale I sunt numere care in
Multimea numerelor rationale: Q
Multimea numerelor irationale:
exprimarea zecimală au partea zecimala
infinita si neperiodica.
Exemple de numere irationale:
Fie multimea

1
A    3;2; ;
2

3,  2 5 , 2 
8 ;2,15;
2
;
5
6 ,  ,... etc.

16
;0;2, (12);5; 
3

A  N  2;0;5 A  Z   3;2;0;5


1
2 16
A  Q   3;2; ;2,15; ;
;0;2, (12);5 A  R  Q  

2
5
3

 8 ; 
NZQIR
.
0,2
−2,74
Z
1 Q
R
2
5

2,666666…
3
−3
2
0
1 3
146
16
−23
−7
N
5
11
3
4
9,0(223)
−1,23232323…
0,101001000100001…
33
17
Teoremă:
Numerelor reale -3; 2; 5 ;5,3 li se asociază
2
punctele geometrice A,B,C,D situate pe axa
numerelor.
‒
3
A
0
2 5
2
5,3
B C
D
-∞

+
∞
Pentru a demonstra este suficient să considerăm una din mediile
cunoscute, de exemplu media aritmetică:
Dacă 𝑎 < 𝑏 sunt cele două numere se știe că: 𝑎 < a  b < 𝑏
2
1 1
Aplicație: Scrieți două numere reale între
și
6 5
O altă
soluție:
5)
3)
1
5
15


6 30 90
6)
3)
1
6
18


5 30 90
1 16 17 1
<
⇒ <
;
6 90 90
5



Georg Cantor (1845-1918) a avut o
contribuţie remarcabilă în
fundamentarea teoriei mulţimilor. În
acelaşi timp el a dat o construcţie a
numerelor reale printr-o metodă
diferită de cele realizate de predecesorii
săi.
Creator al teoriei numerelor reale, poate
fi însă considerat matematicianul grec
Eudoxus (408-355 î.Hr.)
Ideile sale inspirate din geometrie au
fost preluate de Karl Weierstrass (18151897) şi de Richard Dedekind (18311916) şi dezvoltate prin metode
aritmetice şi analitice moderne.