Transcript CONSTRUCTIEMECHANICA 4 INHOMOGENE

CONSTRUCTIEMECHANICA 4
INHOMOGENE DOORSNEDEN
Voorbeeld 7 : Staal-beton kolom
Een betonnen kolom AB met een lengte l, is gewapend met een staalprofiel. Het profiel bevindt zich
niet precies in het midden van de doorsnede. Zie bijgevoegd figuur voor de doorsnedeafmetingen en
profielgegevens. De kolom is in A ingeklemd en wordt in het vrije einde B belast door een
drukkracht F, aangrijpend in het zwaartepunt van het staalprofiel. Beton en staal worden geacht zich
lineair-elastisch te gedragen.
N.B.: Er moet worden gerekend met de netto-betondoorsnede.
Gegeven:
F = 2500 kN
l = 4000 mm
elasticiteitsmodulus beton Eb = 20 × 103 N/mm 2
elasticiteitsmodulus staal Es = 210 × 103 N/mm 2
A = 10 4 mm 2
I y y = 4 × 10 7 mm 4
I z z = 11, 25 × 10 7 mm 4
Gevraagd:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
bepaal de plaats van het normaalkrachtencentrum
bereken de rekstijfheid en de buigstijfheid van de samengestelde doorsnede
hoe groot zijn de normaalkracht en het buigend moment in de kolom?
teken voor een doorsnede het rek- en spanningsdiagram
bereken de lengteverandering van de kolom
bereken de horizontale verplaatsing van de kolom in B
Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman
-1-
feb 2016
CONSTRUCTIEMECHANICA 4
INHOMOGENE DOORSNEDEN
Uitwerking
a)
Kies een y − z − assenstelsel door het zwaartepunt van het I-profiel. Het
normaalkrachtencentrum NC ligt op de symmetrie-as (dat is de y − as , dus z NC = 0 ).
Verder geldt: y NC = ES y / EA .
EA = ( EA) b + ( EA)s = 20 × 103 × (4002 − 104 ) + 210 × 103 ×104 = 5,1× 109 N
ES y = ( ES y ) b = 20 × 103 × 400 2 × (−20) = −64 × 109
N.B.: Door de keuze van het assenstelsel is S y = 0 voor zowel het staalprofiel als het “gat” in de
betondoorsnede.
y NC = −64 × 109 / 5,1×109 = −12,55 mm
b) De rekstijfheid EA werd hiervoor reeds berekend: EA = 5,1× 109 N .
De buigstijfheden zijn EI yy en EI zz , gedefinieerd in een y-z-assenstelsel door het
normaalkrachtencentrum NC.
Omdat de y-as een symmetrie-as is, zijn EI yy en EI zz hoofdwaarden, en is EI yz = EI zy = 0 .
Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman
-2-
feb 2016
CONSTRUCTIEMECHANICA 4
INHOMOGENE DOORSNEDEN
2
1
EI yy = Eb  h 4 + h 2 ( 20 − 12,55 )  + ( Es − Eb ) 4 × 107 + 104 ×12,552 =
12

(
)
1

= 20 ×103  × 4004 + 4002 × 7, 452  + 190 × 103 × 4 ×107 + 10 4 × 12,552 =
12

(
)
= 50, 774 × 1012 Nmm 2
1 4
h + ( Es − Eb ) × 11, 25 ×107 =
12
1
= 20 × 103 × × 4004 + 190 × 103 × 11, 25 × 107 =
12
EI zz = Eb ×
= 64, 042 × 1012 Nmm 2
c) De normaalkracht N en het buigend moment M zijn constant over de lengte van de kolom:
N = −2500 kN = −2,5 × 106 N
ey = +12,55 mm ;
M y = N × ey = −2,5 × 106 × 12,55 = −31,375 × 106 Nmm
ez = 0
M z = N × ez = 0
;
d) ε = N / EA = −2,5 ×106 / 5,1× 109 = −0, 49 × 10−3
xy = M y / EI yy = −31,375 × 106 / 50, 774 ×1012 = −0, 618 ×10−6 mm-1
xz = M z / EI zz = 0
(Bovenstaande eenvoudige formules voor xy en xz gelden alleen als EI yy en EI zz
hoofdwaarden zijn, en EI yz = EI zy = 0 !)
ε ( y, z ) = ε + xy y + xz z
= −0, 49 × 10−3 − 0, 618 ×10−6 × y (waarin y in mm)
De extremen treden op in:
y = 192, 55 mm
→ ε = −0, 609 × 10−3
y = −207, 45 mm → ε = −0, 362 × 10−3
De neutrale lijn loopt evenwijdig aan de z-as en snijdt de y-as in
y1 = −0, 49 × 10−3 / 0, 618 × 10−6 = −792,88 mm
Spanningen in het beton: σb ( y, z ) = Eb × ε ( y, z )
Spanningen in het staal: σs ( y, z ) = Es × ε ( y, z )
e)
∆l = Nl / EA = −2,5 × 106 × 4000 / 5,1× 109 = −1,96 mm
De lengteverandering van de kolom (van de staafas) is dus een verkorting van ongeveer 2 mm.
Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman
-3-
feb 2016
CONSTRUCTIEMECHANICA 4
INHOMOGENE DOORSNEDEN
f) De kolom verbuigt in het x-y-vlak. Omdat de y-richting een hoofdrichting is, kan de horizontale
verplaatsing van de kolom in B worden gevonden met een “vergeet-mij-nietje”:
uy ( B ) = −
M y l2
2 EI yy
=
−31,375 × 106 × 40002
2 × 50, 774 ×1012
= +4,94 mm ≈ 5 mm
uz ( B ) = 0
Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman
-4-
feb 2016