Transcript La Sezione Aurea

Il ruolo della bellezza
nella matematica
LA SEZIONE AUREA
φ
La Sezione Aurea
« Il rapporto Aureo è una dimostrazione
meravigliosa del fatto che l’uomo
creatore e la natura si servono degli
stessi strumenti nel creare le forme per
arrivare alla bellezza.»
• Sin dai tempi più antichi esiste una proporzione
divina che è stata presa in considerazione per
ottenere una dimensione armonica delle cose.
• È stata definita "sezione aurea", o rapporto
aureo, proprio perché in architettura sembra
essere il rapporto più estetico fra i lati di un
rettangolo e si indica con φ (dalla lettera iniziale
del nome greco dello scultore Fidia).
Esiste un legame tra la matematica e
l’idea della bellezza estetica?
 Ebbene si, il loro “ denominatore comune ” è un numero
irrazionale :
Sezione aurea
Consideriamo un segmento diviso in due parti tali che una di esse
sia media proporzionale fra l’intero segmento e la parte restante.
A
C
B
AB:AC =AC:CB
AC è detta SEZIONE AUREA del segmento AB
Quindi si dice sezione aurea di un segmento la parte di
esso che è media proporzionale fra l’intero segmento e
la parte restante.
Soluzione algebrica
Una soluzione algebrica a questo problema fu data da Luca Pacioli.
Ponendo a = AB, x la misura della parte aurea AC, otteniamo
a : x = x : (a-x)
Applicando le proprietà della proporzioni, si ottiene
x2 = a(a-x)
da cui si ottiene l’equazione di secondo grado:
x2 + ax – a2 = 0
che ammette due soluzioni, di cui accettiamo solo quella positiva,
essendo x una lunghezza:
• Si chiama rapporto aureo o numero aureo, e
si indica con la lettera greca φ , il rapporto tra
una grandezza e la sua parte aurea.
• Nel caso dei segmenti precedentemente
considerati, si calcola
Il valore di φ
φ= 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486
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Rettangolo Aureo
Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore e il
minore stanno tra loro in un rapporto pari a φ. Se si prova a sottrarre dal
rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore,
si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea;
togliendo ancora un quadrato dal rettangolo «figlio» con lo stesso
procedimento, si otterrà nuovamente un rettangolo rimpicciolito del
fattore φ. Proseguendo, si otterranno dunque una serie di rettangoli
sempre più piccoli, ma tutti simili.
Spirale logaritmica
Considerando il rettangolo
aureo e la sua suddivisione in
figure minori e simili, è possibile
ottenere la creazione di questa
spirale: essa è generata da archi
di circonferenza che hanno come
raggi i lati dei quadrati costruiti
sui lati minori.
La spirale si sviluppa intorno a
un punto detto «occhio di Dio»,
ossia il punto d’incontro tra le
due diagonali che si intersecano
in ciascuna coppia di rettangoli.
La sezione aurea, o “rapporto
divino”,
o come lo chiamano “costante
dell’armonia”
è uno dei rapporti più antichi
usati per dare
proporzione agli oggetti.
L’Arte
senza
la Scienza
è nulla…
Giovanni Mignon – Parigi, 1399
Storia
Sembra che già nell’antico Egitto e a Babilonia si conoscesse il
rapporto divino. Esso era noto anche presso i Greci, considerato
come un valore proporzionale ideale.
Pitagora diceva che il principio del mondo è il numero,
che il mondo consiste di opposti e che solo l’armonia
può portare ciò che i due contrari all’unità perfetta.
Il sistema delle proporzioni ideali del corpo umano è
stato scoperto dallo scultore greco Fidia.
Platone diceva che l’Universo stesso è costruito
secondo il Rapporto Aureo.
Keplero considerava il rapporto
aureo come un “tesoro”
della geometria:
“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora,
l’altro la divisione di un segmento in estrema e media ragione; il
primo può essere paragonato ad un sacco di oro, il secondo ad
un gioiello prezioso.”
Arte
Scultura
Il corpo umano è costruito secondo il Rapporto Aureo; questa è una
verità che ben conoscevano gli egiziani, i greci ed anche gli artisti del
Rinascimento.
Una figura umana alta circa 183 centimetri e con un braccio alzato fu
inserita in un quadrato e ne vennero stabilite le dimensioni parziali.

Risultato: il rapporto fra l'altezza dell'uomo e l'altezza del suo ombelico
risulta esattamente uguale a
.
Il principale esempio d’impiego del Rapporto
Aureo è la statua Dorifor di Policleto.
Vediamo le sue proporzioni.
Pittura
I pittori più geniali erano in grande ”amicizia” con il RAPPORTO AUREO.
Nella Gioconda il Rapporto Aureo è
stato individuato:
nella disposizione del quadro
nelle dimensioni del viso
nell’area che va dal collo a
sopra le mani
in quella che va dalla scollatura
dell’abito fino a sotto le mani.
Nell’Ultima cena Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le
proporzioni divine ed è racchiuso in un rettangolo aureo.
Questo rapporto affascinò inoltre Sandro Botticelli, uno delle pietre miliari della pittura
italiana rinascimentale.
Il quadro in cui è più evidente l’utilizzo della sezione divina è La nascita di Venere. In
questa tela Botticelli cerca di rappresentare il motore che genera l’Amore e la Bellezza.
Botticelli non poteva fare a meno di inserire il rapporto aureo che donasse armonia alla
figura della donna: infatti misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza
complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, il reciproco di Φ; così anche il rapporto
tra la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o
anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio
presentano come valore il numero divino.
Leonardo Da Vinci, figura fondamentale del Rinascimento, afferma «la pittura è la
regina delle arti ed è strettamente legata alle scienze matematiche, cioè numero e misura,
dette aritmetica e geometria, che trattano con somma verità della quantità discontinua e
continua.» Questo discorso trova la sua rappresentazione migliore nel celebre Uomo
vitruviano, in cui egli stabilì che la proporzione umana è perfetta solo quando l’ombelico
divide l’uomo in modo aureo.
Pierre Mondrian, nell’opera “La
composizione con grigio, rosso,
giallo e blu”, usa molto i
rettangoli aurei.
Architettura
La piramide egizia di Cheope, ha una base di 230 metri ed un’altezza di
145: il rapporto base / altezza corrisponde a 1,58 molto vicino a 1,6.
Un proverbio arabo dice : “Tutto nel mondo ha paura del tempo, ma il
tempo ha paura delle piramidi”… forse sarà per il fatto che sono costruite
secondo il Rapporto Divino?
Nella Partenone si ritrova il rettangolo
aureo
sia
nella
pianta
che
nell'architrave della facciata.
Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo
dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.
A Mosca, la Cattedrale di San Basilio, costruita nel XVI° secolo, rappresenta uno dei
simboli di Mosca e della sua bellezza.
Vediamo che anche qui c`è il famoso rapporto!
musica
Ma anche nella musica possiamo trovare il Rapporto Aureo.
In ogni opera musicale c`è il culmine. Questo punto di solito non si
trova nel centro dell’opera, ma è spostato verso la fine in un punto
che divide l’intero brano secondo il rapporto aureo.
Gli studiosi della
sezione aurea hanno
trovato che famosi
compositori hanno
rispettato la sezione
aurea nelle seguenti
percentuali:
Beethoven (97% )
Arenskii (91%)
Mozart ( 91%)
Scriabin (90%)
Shopen (92%)
Shubert (91%)
Letteratura
L’Estetismo e il culto della
bellezza
Per estetismo si può intendere ogni visione della
realtà e della vita che si fondi sui valori estetici, o che
faccia di essi un imprescindibile punto di riferimento
Scriveva D'Annunzio in una pagina del “Piacere”
«la Bellezza è l'asse interiore degli artisti e degli uomini
d'intelletto, e li preserva, anche quando si abbandonano
agli eccessi»
Celebri i versi di Keats, che ispirarono, forse, D'Annunzio:
A thing of beauty is a joy for ever.
Sezione aurea
in natura
In natura era già noto sin dall’antichità il “rapporto aureo”. Durante i
millenni si radicò la convinzione che tali proporzioni esprimessero
qualche regola universale o legge di natura.
Gli antichi greci erano profondamente convinti
dell’ARMONIA GEOMETRICA DELL’UNIVERSO.
Un particolare molluschio chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume
la forma della spirale logaritmica. Il nautilus è classificato come «fossile
vivente». Questa definizione indica particolari tipi di organismi, animali o
vegetali, con caratteristiche morfologiche primitive e soggetti ad un
processo evolutivo molto lento: infatti si pensava che questo fossile si
fosse estinto al termine del periodo del Paleozolico, ma dal 1828 è stato
osservato nuovamente in vita.
Questo animale nella sua conchiglia aumenta di grandezza e si costruisce
camere sempre più spaziose, sigillando le precedenti ormai inutilizzabili
perché troppo piccole. Così, mentre la conchiglia si allunga, il raggio
aumenta in proporzione,creando la particolare forma a spirale logaritmica
e facendo in modo di non mutare la forma del guscio.
Sezione aurea nel corpo umano
Anche nel corpo umano
possiamo trovare numerosi
rapporti aurei...
alcuni esempi sono:
1) Se misuriamo le dita della
nostra mano noteremo che i
rapporti tra le lunghezze
delle falangi del dito medio
e anulare sono aurei;
2) Aureo è anche il rapporto tra le lunghezze
di braccio e avambraccio e della gamba
con la sua parte inferiore.
3) Anche nella figura del viso qui
sotto possiamo individuare
numerosi rapporti aurei:
A/a = tra l'altezza e larghezza del
viso.
B/b = posizione della linea degli
occhi rispetto al mento ad alla
fronte.
C/d = posizione della bocca
rispetto al mento ed agli occhi.
D/d = altezza e larghezza del
naso.
E/e = lunghezza ed altezza del
profilo della bocca.
F/f = larghezza degli occhi e la
loro distanza.
H/h = distanza degli occhi rispetto
al centro di simmetria del viso.
La natura ha le sue leggi, tutti noi lo sappiamo.
La Scienza ha lo scopo di spiegarle e l`Arte prova a
mostrarle.
Il Rapporto Aureo è un esempio meraviglioso
dell`unità perfetta tra Scienza e Arte.