1 ° lezione: L’armonia e il numero aureo Le proporzioni sono importanti!

Definizione della Sezione Aurea

Si dice sezione aurea di un segmento quella parte

del segmento (la maggiore) parte (la minore).

che si abbia: AB : AE = AE : EB diremo che

, che è media proporzionale fra l’intero segmento e la rimanente

Se il punto E divide il segmento AB in due parti tali

AE è la sezione aurea del segmento AB .

Costruzione della Sezione Aurea

Metodi possibili: -Algebrico -Geometrico

Metodo algebrico Partendo dalla definizione di Sezione Aurea:

AB : AE=AE : EB

e ponendo: AB = a AE = x EB = (a – x) risulta che a : x = x : (a proporzioni – x) Da cui per la proprietà fondamentale delle x 2 = a(a – x) sviluppando x 2 = a 2 – ax

x 2 + ax – a 2 = 0

Metodo algebrico Risolvendo l’equazione di secondo grado

x 2 + ax – a 2 = 0

si ottengono le due radici 2

x

 

a



a

2 2  4

a x

 5

a



a a

2  2  0, 618

a

La radice negativa viene scartata La radice positiva rappresenta la sezione aurea del segmento AB

Il numero aureo

• Il rapporto fra un segmento e la sua sezione aurea  

AB



1, 618033...

AE

è chiamato

numero aureo

ed è noto fin dall’antichità.

Metodo Geometrico

Con il software GeoGebra si procede: • Tracciare un semento AB • Individuare il suo punto medio M • Tracciare la circonferenz a di centro B e raggio MB

Metodo Geometrico

• Tracciare la perpendicolar e per B al segmento AB • Detto O il punto di intersezione tracciare la circonferenza di centro O e raggio OB

Metodo Geometrico

• Tracciare la semiretta AO • Individuato il punto c di intersezione tracciare la circonferenza di centro A e raggio AC

Costruzione grafica

• Il segmento AE così ottenuto è la

Sezione Aurea

del segmento AB

Dimostrazione con il teorema della secante e della tangente AD:AB=AB:AC Applicando la proprietà dello scomporre si ha: poiché AB CD si ha AC:AB=EB:AC Da cui: AE:AB=EB:AE Ossia: