LES 1

1 Elementaire bewerkingen met matrices

Open een nieuwe Maple-file en begin met het commando: restart; with(LinearAlgebra); Het pakket Linear Algebra wordt geladen en je ziet de verschillende functies uit dit pakket.

1.1

Invoeren van een matrix

Een matrix wordt rij per rij ingegeven met het commando Matrix . Om de volgende matrix  1 M 1 :=    2 6 2 3 − 3  3 − 1    − 4 in te voeren gebruiken we M1:=Matrix([[1,2,3],[2,3,-1],[6,-3,-4]]); Voer nu zelf de volgende matrix in:  − 1 M 2 :=    − 2 − 6 4 5 − 3 7  41    3 Het is ook mogelijk om Maple zelf een randommatrix van een gewenste grootte te laten genereren. Dit doe je met het commando RandomMatrix : R:=RandomMatrix(n,m); levert je een door Maple gegenereerde matrix met n rijen en m kolommen.

M1[i,j]; levert je de ij-de component van de matrix M1.

Om een ( n × m )-matrix M matrix met veel nullen in te geven kun je ook als volgt te werk gaan: 1

M:=matrix(n,m); M[i,j]:=a; M[k,l]:=b; M; levert je de matrix met overal nullen en op positie ij het element element b . Geef nu zelf eens de matrix a en op positie kl het  0 0 0 0 0 0          0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0         in.

1.2

Optellen en vermenigvuldigen

Om de matrix Opt, zijnde M1+M2, te bekomen gebruiken we Opt:=M1+M2; Om de matrix M1 met een scalair c de matrix Scal, zijnde 5 keer M1.

te vermenigvuldigen gebruiken we ”c*M1”. Bepaal Om twee matrices M1 en M2 met elkaar te vermenigvuldigen gebruiken we ”M1.M2”.

Bepaal dit product en noem het Prod. We kunnen dus M 1 2 bereken als ”M1.M1”. Voor machten van matrices kunnen we echter ook het volgende commando gebruiken: ”M1 b n ”.

Al deze bewerkingen kan je nu eenvoudig samenstellen.

Bereken M 1(4 M 2 − 5 M 1 2 ).

Toon aan dat de matrixvermenigvuldiging van ( n × n )-matrices niet commutatief is door M 1 M 2 te vergelijken met M 2 M 1. Vergelijk ook eens AB met BA voor A en B willekeu rige 10x10-matrices.

Bereken nu eens de eerste 10 machten van  0 0    1 0 0 1 − 1  1    1 Deze kun je een per een berekenen, maar in Maple is hiervoor ook een ”for”-lus voorzien: for i from 1 to 10 do A i end do; 2

2 De echelonvorm

Zoek via de help Matrices.

van Maple Pivot op en pas dit eens toe op een aantal eenvoudige Random Beschouw het volgende stelsel (zie pagina 31 in de cursus):    97 x − 82 x − 66 x + 55 y + 68 y + 26 y + 13 z − 65 z + 5 z = = = 5 − 75 38 Los dit stelsel op door, gebruikmakend van Pivot , de bijhorende matrix in een eenvoudigere gedaante te brengen.

Het is duidelijk dat deze methode, hoewel correct en inzichtvol, te complex is om grote stelsels op te lossen. Daarom is er in Maple dan ook een commando voorzien dat je onmiddellijk de eenvoudigere gedaante van de beschouwde matrix levert. Experimenteer zelf eens met de commando’s: GaussianElimination and ReducedRowEchelonForm . Deze twee commando’s zijn zeer geschikt voor het oplossen van een stelsel wanneer je niet alleen geinteresseerd bent in de oplossingen van dat stelsel, maar ook in de vereenvoudigde gedaante van de bijhorende matrix. In veel gevallen zijn we echter enkel geinteresseerd in de oplossing van het door ons beschouwde stelsel. In dat geval is het Maple commando LinearSolve voorzien. Experimenteer nu met deze verschillende commando’s en los de opgaven (over R ) uit de theoriecursus op.

Behandel nu ook de twee volgende vragen uit de theoriecusrsus eens met Maple: • welk type oplossing van een twee bij twee stelsel zal zich in het random geval met de grootste waarschijnlijkheid voordoen (zie je ook in waarom dit theoretisch correct is); • welke mogelijke types oplossingen kunnen zich voordoen voor een vier bij vijf stelsel (en geef een voorbeeld van elk type).

3 Oppervlakken

We bekijken oefening 8 van les 3 uit de cursus. Daar wordt het oppervlak beschouwd met als parametervoorstelling cos( s )(2 + cos( r )) , sin( s )(2 + cos( r )) , sin( r ) ( r, s ∈ R ) Er staat dat r en s lopen over heel R , maar is dat wel nodig? Probeer aan de vergelijking te zien wat het ‘optimale’ interval is voor r en s .

3

Los eerst (zonder de computer) vragen (a)–(d) op, maar zoek in (a) en (c) de vergelijking van de gevraagde vlakken, in plaats van de parametervoorstelling. Dit maakt (b) en (d) een stuk eenvoudiger.

Om nu dit oppervlak te plotten in Maple, gebruiken we het commando plot3d : plot3d([cos(s) * (2 + cos(r)), sin(s) * (2 + cos(r)), sin(r)], s = 0..10, r = 0..10); In deze plot hebben we r en s laten lopen van 0 tot 10, vervang dit door het ‘optimale’ interval dat je gevonden hebt. Vergroot of verklein deze intervallen voor r en s en kijk wat je bekomt.

We hebben deze figuur geplot met de parametervoorstelling, maar het kan ook anders.

Deze figuur heeft namelijk als vergelijking ( x 2 + y 2 + z 2 − 5) 2 = 16(1 − z 2 ) Controleer dit door x = cos( in bovenstaande vergelijking.

s )(2 + cos( r )), y = sin( s )(2 + cos( r )) en z = sin( r ) te stellen We gebruiken volgende commando’s om dit oppervlak te plotten met zijn vergelijking: with(plots); # Dit moet maar ´ en keer per sessie ingegeven worden implicitplot3d((x^2 + y^2 + z^2 - 5)^2 = 16*(1 - z^2), x = -3..3, y = -3..3, z = -3..3); We bekijken nu een ander oppervlak, een zogenaamde lijking x 2 + y 2 − z 2 = 1. Plot deze figuur.

´ enbladige hyperbolo¨ıde met verge Bereken op papier de doorsnede van dit oppervlak met het vlak x = 1. Wat merk je?

We kunnen dit vlak ook op de figuur bijtekenen: implicitplot3d({x^2 + y^2 - z^2 = 1, x = 1}, x = -2..2, y = -2..2, z = -2..2); De vergelijking x 2 + y 2 − z 2 − 1 = 0 kan anders geschreven worden als x y z 1  1 0   0 1  0 0 0 0 0 0 − 1 0 0   x  0 0 − 1      y  z    1 = 0 (1) Nu kunnen we ons afvragen wat er gebeurt als we de 4 × 4 matrix in het midden veranderen, we zetten in de plaats een random matrix: with(plots): with(LinearAlgebra): A := RandomMatrix(4,4); vgl := simplify(Matrix([x, y, z, 1]).A.Vector([x, y, z, 1]))[1]; implicitplot3d(vgl = 0, x = -5..5, y = -5..5, z = -5..5, numpoints = 4000); Plot een tiental zulke oppervlakken, telkens met een nieuwe matrix. Je merkt misschien

dat dezelfde soort figuren telkens terugkomen. Alle oppervlakken van de vorm (1) worden

kwadrieken genoemd, en zijn driedimensionale versies van kegelsneden. In les 8 van de theorie zal uitvoeriger ingegaan worden op kegelsneden en kwadrieken.

4