Modélisation et résolution du problème de contact mécanique et son application dans un contexte multiphysique Soutenance de thèse de doctorat en ingénierie BUSSETTA Philippe Directeur: Codirecteur: M.
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Modélisation et résolution du problème de contact mécanique et son application dans un contexte multiphysique Soutenance de thèse de doctorat en ingénierie BUSSETTA Philippe Directeur: Codirecteur: M. Daniel Marceau, UQAC M. Jean-Philippe Ponthot, ULg Université du Québec à Chicoutimi Département des sciences appliquées 3 Février 2009 Plan Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations 2/58 Introduction Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations • • • • Problématique Objectifs État des connaissances Méthodologie 3/58 Introduction… Problématique Le contact, un phénomène de tous les jours… Mathématique Physique Informatique 4/58 Numérique Introduction… Problématique… Contrainte de Contact Contraintes dans les solides Résistance thermique Résistance électrique Méthode de résolution Type de problème Choix de paramètres 5/58 Introduction… Objectifs Méthode de résolution Polyvalente Fiable Rapide Algorithme de résolution Système d’équations Discrétisation du contact Discrétisation des frontières Lois de contact 6/58 Introduction… État des connaissances Modélisation mathématique Méthode de résolution Pénalisation (Sh. Keshavarz 08, etc.) Multiplicateurs de Lagrange (H. Walter 99, etc.) Lagrangien augmenté (J.C. Simo 92, etc.) Discrétisation du contact « Point-surface » (P. Goulet 04, etc.) « Surface-surface » (M. A. Puso 04, etc.) X-FEM (G. Legrain 05, etc.) Lissage des frontières (D. Chamoret 04, etc.) 7/58 Introduction… Méthodologie Technique de résolution Étude comparative Limites des méthodes usuelles Méthode proposée Discrétisation du contact Étude comparative Limites des méthodes usuelles Méthode proposée 8/58 Mécanique du contact frottant Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations • Physique du problème • Contact frottant - Modélisation du contact - Modélisation du frottement • Principe des travaux virtuels 9/58 Mécanique du contact frottant... Physique du problème Représentation du contact entre deux solides Statut de contact? Configuration déformée? 10/58 Mécanique du contact frottant... Contact frottant Modélisation du contact Lois non différentiables Loi de contact unilatérale 11/58 Mécanique du contact frottant... Contact frottant… Modélisation du frottement Lois non différentiables Loi de frottement de Coulomb 12/58 Mécanique du contact frottant... Principe des travaux virtuels Travaux virtuels des forces internes Travaux virtuels des forces de contact Travaux virtuels des forces externes 13/58 Méthodes de résolution Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations • Système d’équations - Pénalisation - Lagrangien augmenté • Discrétisation du contact - « Point-surface » - « Surface-surface » • Algorithmes de résolution - Pénalisation - Pénalisation adaptative - Lagrangien augmenté 14/58 Méthodes de résolution… Système d’équations Méthode de pénalisation Loi de contact Coefficients de pénalisation? Loi de frottement 15/58 Méthodes de résolution… Système d’équations… Méthode du lagrangien augmenté Loi de contact Loi de frottement Coefficients de pénalisation? Augmentation des lagrangiens 16/58 Méthodes de résolution… Discrétisation du contact Méthode « point-surface » Conditions d’admissibilité Problèmes : Frontières irrégulières Déplacements relatifs importants Représentation du calcul de l’interpénétration au point A 17/58 Méthodes de résolution… Discrétisation du contact… Méthode « surface-surface » Conditions d’admissibilité Problème : Pour chaque nœud Vecteur normal Vecteur tangent Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A 18/58 Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution Méthode de pénalisation Méthode de Newton-Raphson : 19/58 Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode de pénalisation adaptative L’interpénétration doit respecter : Calcul du coefficient de pénalisation normale : 20/58 Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode du lagrangien augmenté Méthode de Newton-Raphson : 21/58 Limites des méthodes habituelles Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations • Problème de Hertz - Pénalisation - Pénalisation adaptative - Lagrangien augmenté • Tubes concentriques 22/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz Deux cylindres en acier Rayon : Module d’Young : Coefficient de Poisson : Limite d’élasticité (se): Loi d’écrouissage : K: 25 cm 200 GPa 0,3 472 MPa se + Ke 640 23/58 acier Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Nombre d’itérations 24/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique) 25/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Nombre d’itérations 26/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique) 27/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Nombre d’itérations 28/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique) 29/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques Écrasement de deux tubes concentriques Rayon de contact : Épaisseur (e) : Coefficient de frottement : Module d’Young : Coefficient de Poisson : Limite d’élasticité (se): Loi d’écrouissage : K: 25 cm 1 cm 0, 15 200 GPa 0, 3 472 MPa se + Ke 640 Déplacement U imposé Frontière fixe 30/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Maillage utilisés Frontières de contact Longueur : 10 cm 31/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Nombre d’itérations en fonction du type de modélisation 32/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation Maillage 1 Maillage 2 33/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode du lagrangien augmenté Maillage 1 Maillage 2 34/58 Méthodes de résolution proposées Introduction Mécanique du contact frottant Méthodes de résolution Limites des méthodes habituelles Méthodes de résolution proposées Conclusion et recommandations • • • • Méthode « Surface-surface » Pénalisation adaptative modifiée Lagrangien augmenté adapté Validation - Problème de Hertz - Tubes concentriques - Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse 35/58 Méthodes de résolution proposées… Méthode « Surface-surface » Conditions d’admissibilité Solution : Pour chaque nœud Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A Vecteur normal et tangent (élément maître) Problème 3D 36/58 Méthodes de résolution proposées… Pénalisation adapté modifié Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi-1 gi ≈ gi-1 gi > gi-1 37/58 Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté Algorithme de calcul de la force normale de contact : Ai g2 Ai-1 38/58 Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi-1 gi ≈ gi-1 gi > gi-1 39/58 Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation tangentiel Initialisation Adaptation 40/58 Méthodes de résolution proposées… Validation Problème de Hertz acier 41/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée Nombre d’itérations 42/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique) 43/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté Nombre d’itérations 44/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique) 45/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Écrasement de deux tubes concentriques Maillage utilisés 46/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Écrasement de deux tubes concentriques… Méthode « surface-surface » Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation (en = 105 et et = 104) Maillage 1 Maillage 2 47/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse carbone fonte acier Schéma d’un bloc cathodique Courbe de montée en température du dessus du bloc cathodique 48/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Maillage d’un bloc cathodique 49/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté Nombre d’itération en fonction du pas de temps Valeur maximale de l’interpénétration pour chaque pas de temps avec la méthode du lagrangien augmenté adapté 50/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Contrainte normale de contact au 6ème pas de temps (interface fonte-carbone) Pénalisation Lagrangien augmenté adapté 51/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Première contrainte principale au 16ème pas de temps 52/58 Pénalisation Lagrangien augmenté adapté Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Id2 Id1 Force normale de contact sur l’interface fonte-carbone 53/58 Conclusion et recommandations Méthodes usuelles de résolution Non adaptées Méthode de résolution proposée : lagrangien augmenté adapté Plus rapide (adaptation de la pénalité) Plus robuste (lagrangien augmentée) Contact avec frottement Contexte multiphysique 54/58 Conclusion et recommandations Méthode « point-surface » Solution irrégulière / non représentative Valeur de l’interpénétration Méthode « surface-surface » Solution plus régulière Contact non local 55/58 Conclusion et recommandations Lagrangien augmenté adapté Calcul du contact frottant Multiplicateurs de Lagrange à incrément avant Méthode « surface-surface » Amélioration de la programmation 56/58 Questions 57/58