Transcript ONDAS Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera, Pablo Muñiz, José A.

ONDAS
Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera,
Pablo Muñiz, José A. de Toro and Peter Normile
Departamento Física Aplicada. UCLM
Animaciones tomadas de: Wikipedia y
http://zonalandeducation.com/mstm/physics/waves/partsOfAWave/waveParts.htm#pictureOfAWave
1
Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz
de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática
del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo.
Vibración
Propagación
Ondas transversales: Las oscilaciones
ocurren perpendicularmente a la dirección
de propagación en que se transfiere la
energía de la onda. Así ocurre por ejemplo
en una onda viajera en una cuerda tensa, en
este caso la magnitud que varía es la
distancia desde la posición horizontal de
equilibrio.
Algunas ondas transversales, las ondas
electromagnéticas, pueden propagarse en
el vacío. Sin embargo, las ondas
longitudinales se propagan solo en medios
materiales.
Vibración
Propagación
Ondas longitudinales: Aquellas en que la
dirección de propagación coincide con la
dirección de vibración. Así el momvimiento
de las partículas del medio es o bien en el
mismo sentido o en sentido opuesto a la
propagación de la onda. Por ejemplo, la
propagación del sonido en un fluido: lo que
cambia en este caso es la presión en el medio.
2
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Espacio
Tiempo
y  f x  v  t 
Ecuación de ondas
Velocidad
de fase
Signo -
La ecuación de onda describe una onda
viajera si está presente el grupo (x  vt).
Esta es una condición necesaria. (El
término onda viajera se usa para enfatizar
que nos referimos a ondas que se propagan
en un medio, caso distinto del de las ondas
estacionarias que se considerarán después.
La onda viaja hacia la derecha
Forma de onda (perfil) f
Y
0,15
Signo +
0,10
La onda viaja hacia la izquierda
0,05
Y
0,15
0,00
Forma de onda (perfil) f
y  f x  v  t 
0,10
-0,05
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,05
0,00
y  f x  v  t 
-0,05
X
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3
X
ONDAS ARMÓNICAS
Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno.
y
Onda armónica moviéndose hacia la derecha
y  A cos
o
Ecuación de onda
y  A sin
2

x  v  t 
2

x
 es una distancia
x  x0
x  v  t 
Por ejemplo:
Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su
ecuación en forma coseno, entonces 0 = 0 y nos queda
2

x  v  t 
y
¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda
usando la ecuación para el seno?
Respuesta: y  A sin
2

x  v  t   / 2
x
0   / 2
Esto describe exactamente la misma onda
Una cosa más
Siempre que una onda
armónica se propaga en
un medio, cada punto del
mismo
describe
un
movimiento armónico.
Podemos elegir cualquiera de las dos formas
2
x  v  t  0 
añadiendo una fase inicial 0 al argumento de y  A cos

la función…
… lo que significa que elegimos el
inicio de tiempos a nuestra conveniencia.
y  A cos
?
x  x0
2
x0  v  t  0 
y t   cos

y depende sólo del tiempo
Perfil de onda en t = 0
Recordatorio: sin    / 2  sin  cos / 2  cos  sin  / 2  cos 
4
ONDAS ARMÓNICAS / 2
Periodo
2
Ec. de onda armónica
x  v  t  0  Recordatorio: la función coseno
y  A cos

(eligiendo forma coseno)
es periódica, verificando que.
Fase
Desplazamiento
y  A cos
Espacio
2

Tiempo
x  v  t  0 
Amplitud
f t   f t  T 
Fase
inicial
Velocidad de
fase
Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad
espacio
tiempo
Longitud de onda
Puntos en fase
Cresta
y
y

A
T
yx0 ,t1 
yx1 ,t0 

x  x1
x  x2
x
T
t  t1
t  t2
t
y x2 ,t0 
-A
Valle
Perfil de onda para t = t0
Foto instantánea
Period
y x0 ,t 2 
Dependencia temporal en x = x0
Gráfica posición / tiempo
5
ONDAS ARMÓNICAS / 3
2
Ec. de onda armónica
x  v  t  0 
y  A cos

(eligiendo forma coseno)
Fase
Desplazamiento
y  A cos
Espacio
2

Amplitud
Tiempo
x  v  t  0 
Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente
de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A.
Fase
inicial
Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos
cuya diferencia de fase es 2. .
Velocidad de
fase
Número de ondas k: número de ondas contenido en una
vuelta completa (2 radianes). A veces se le llama número
de ondas angular o número de ondas circular.
Periodo T: tiempo que tarda la fase de la
onda armónica en aumentar 2 radianes.
Frequencia f: inversa del periodo.
La frecuencia nos dice el número
de oscilaciones por unidad de
tiempo. Unidades S.I.: s-1 (1 s-1 =
1 Hz).
Unidades S.I.: rad/m, pero a
menudo se indica solo m-1.
f 
1
T
Frecuencia angular : número
de oscilaciones en un intervalo   2  2 f
T
de fase de 2 radianes.
  2 / 3 m
k
k
2

2

1st onda
2nd onda
3rd onda
La velocidad de fase está dada por
f 
1 2
 Hz
T 

2
2

 4 rad/s
T
 /2
t (s)
x (m)
2
T  /2s
2
2
 3 m -1
2 / 3

v

T


k
En función del número de ondas y de la frecuencia
angular, la ecuación de onda se escribe como
y  A cosk x   t   
6
EJEMPLOS
Ejemplo 1: pulso viajero
Ecuación de onda
y
4
2
4  x  v  t 
El pulso se mueve hacia la
derecha (sentido positivo del
eje X) a razón de 0.50 m/s
donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s
Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
t = 10
1,0
t=5
y (m)
t=0
0,8
Cada perfil indica la
forma del pulso para
el tiempo señalado.
0,6
0,4
0,2
0,0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x (m)
7
EJEMPLOS / 2
Ejemplo 2: pulso viajero
sen 2 x  t 
Ecuación de onda y 
2
1  2 x  t 
donde x, y están en m, t en s
t

sen 2 x  
2

y
2
t

1  4 x  
2

Escribamos la ecuación de onda de
modo que el grupo x+v·t aparezca
explícitamente
Gráfica de y en función
del tiempo (instantánea)
Este pulso se mueve hacia la
izquierda (sentido negativo
del eje X) a razón de 0.50
m/s. Véase que vt = t/2.
0,5
0,4
t=0
y (m)
0,3
t=2
0,2
t=4
0,1
0,0
-0,1
-0,2
Cada perfil indica la
forma del pulso
para el tiempo
señalado.
-0,3
-0,4
-0,5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x (m)
8
EJEMPLOS / 3
Esta onda se mueve hacia la derecha
(sentido positivo del eje X) con una
velocidad de 1.00 m/s
Ejemplo 3: onda armónica viajera
Onda armónica y  cos x  t 
donde x, y están en m, t en s
Comparar con y  A cosk x   t   
A 1m
k  1 m -1 
2
  2 m

2
  1 rad/s 
T
T  2 s

k
v
1
1 -1
f  
s Hz 
T 2
1,2


T
1 rad/s
 1 m/s
1 m -1

2 m
 1 m/s
2 m

1,0
y (m)
v
t=0
0,8
t=1
0,6
0,4
t=2
0,2

0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0

-1,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x (m)
9
EJEMPLOS / 4
Ejemplo 4
Onda armónica
y  cos2x  t   sin 2x  t 
Esta onda se mueve hacia la
derecha (sentido positivo del eje X)
con una velocidad de 0.50 m/s
donde x, y están en m, t en s
Número de ondas y frecuencia
y (m)
y  coskx  t   sin kx  t 
Comparando A = 1 m, y
k  2 m -1

2
 m
k
  1 rad/s
T
f 
Velocidad de fase

1 rad/s
v 
 0.5 m/s
k
2 m -1
2

 2 s
1
1 -1

s
T 2
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
-1,4
-1,6
-1,8
t 0 t 2 t 4



0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
x (m)
Velocidad en gases en función de la temperatura
VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS
Las ondas mecánicas necesitanun medio material para propagarse.
Su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio.
v
 RT
Aire:
M  0.0289 kg·mol -1
M
R  8.314 J·K-1·mol -1
Módulo de compresibilidad
Fluidos v 
B
  densidad del fluido (kg/m3)

Solidos
v
Y
Cuerda
tensa
v
T


  densidad del sólido (kg/m3)
  densidad lineal de masa (kg/m)
B
presión
P

variación de volumen
V / V
Módulo de Young
Y
fuerza por unidad de área F / A

alargamien to relativo
L / L
T  tension de la cuerda (N)
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO
y  A cosk x   t   
y
Velocidad máxima
y 
    A sin k x   t   
t
2 y
y  2   2 A cosk x   t      2 A y Aceleración
máxima
t
y max     A
y max   2 A
11
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA
Consideremos una onda transversal en una cuerda.
Cada sección de la cuerda (masa m) oscila
hacia arriba y abajo debido a la energía
transportada por la onda.
Según la onda se propaga en la cuerda, cada
punto de la misma describe un movimiento
armónico.
m
A
x
x0
A partir de la ecuación de onda, obtenemos para
el elemento m en la posición fija x0
y  A cosk x0   t   
Recordemos que la energía de una masa m en
un movimiento armónico de frecuencia
angular  y amplitud A está dada por
E 
1
2
m   A  
2
Velocidad máxima
Sea  la masa de la cuerda
por unidad de longitud x
m    x
x
Puesto que en un punto fijo k.x0 ie
y  A cos t   
constante, podemos escribir que
Esta es la ecuación del movimiento armónico
descrito por el elemento de masa m. La
frecuencia angular de ese movimiento es .
E 
1
 A2  2 x
2
x  v  t
Potencia
transmitida
por la onda
E 
1
 A2  2 v t
2
E 1
E 
  A2  2 v
t 2
Unidades: Julio/s = watio
12
EL SONIDO
Sistema mecánico vibrante.
Variaciones de densidad en el medio
Onda mecánica. Transporte de energía
P
Mayor amplitud de vibración
A
P
Frecuencia de vibración característica
(depende del sistema)
A
Menor amplitud de vibración
13
EL SONIDO / 2
ONDAS DE PRESIÓN
Máximos de presión
Mínimos
de presión
Figura
1
Velocidad del sonido en el aire en funcion de la temperatura
La velocidad del sonido
aumenta cuando aumenta
la rigidez del medio.
360
v
 RT
355
M
Velocidad del sonido
350
v (m/s)
345
Aire:
M  0.0289 kg·mol -1
340
R  8.314 J·K-1·mol -1
335
Sólidos
Líquidos
Gases
330
0
5
10
15
20
T (C)
25
30
35
40
14
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS SONORAS
En el sonido la vibración de las partículas ocurre
en la misma dirección de la transmisión de la
onda: son ondas longitudinales. A la vibración de
las partículas del medio les corresponden
desplazamientos s(x,t) cuyo valor máximo
llamaremos aquí s0:
sx, t   s0 cosk x   t   / 2
En la transmisión del sonido, la masa vibrando
en cada punto será la que corresponda al
volumen elemental V que contiene a dicho
punto, esto es m = ρ V. La energía asociada
con esta vibración es:
E 
1
1
m  s02  2   V  s02  2
2
2
Energía movimiento armónico
A tales desplazamientos les corresponden
variaciones de presión alrededor de un valor
de equilibrio p0, que se encuentran desfasadas
/2 rad respecto a ellos
px, t   p0 cosk x   t 
donde
p0    v s0
p0
En términos de energía por unidad de volumen
E 1
   s02  2
V 2
x / t
15
INTENSIDAD DE LAS ONDAS: APLICACIÓN AL SONIDO
Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una
superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía
por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación
r
E
I
A
E
E
E
E 

V 
A r
t
t V
V t
Fuente
E r E
E 
A

Av
V t V
E E
I 
v
A V
(transparencia
anterior)
E 1
   s02  2
V 2
Frentes de onda
Rayos
(transparencia anterior)
I
1
 s02  2 v
2
Valor rms (valor eficaz)
p0
prms  p0 /
x / t
2
s0 
p0    v s0
p0
v
2
1  p0  2
1 p02
  v
I   
2   v 
2v
2
prms
I
v
16
NIVELES
•
Un NIVEL es el logaritmo de la razón de una cantidad dada respecto de una cantidad de referencia
del mismo tipo.
•
Al definir un nivel es preciso indicar la base del logaritmo, la cantidad de referencia y el tipo de nivel
(por ejemplo, nivel de presión sonora, nivel de potencia sonora o nivel de intensidad)
W 
Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente LW  10 log 10  
 W0 
 W 
LW  10 log 10  12   (10 log W  120)
 10 
Potencia de referencia: W0 = 10-12 W
Nivel de intensidad sonora: Recepción del sonido de una fuente
 I 
LI  10 log 10  12   (10 log I  120)
 10 
I 
LI  10 log 10  
 I0 
Intensidad de referencia: I0 = 10-12 w/m2
•
•
Umbral de audición: 10-12 w/m2 (0 dB)
Umbral de dolor: 1 w/m2 (120 dB)
Nivel de presión sonora: Recepción del sonido de una fuente
2
 prms 
 prms 



LP  10 log 10
 20 log 10 
 p ref 
 p ref 




presión de referencia
(definido en términos del cociente de presiones al cuadrado porque la
intensidad sonora es proporcional al cuadrado de la presión sonora)
pref  2 105 Pa
17
NIVELES: EJEMPLO
a) Si se dobla la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?
b) Si se multiplica por 10 la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?
I 
LI  10 log 10  
 I0 
Se dobla la intensidad
I 
I 
 2I 
L2 I  10 log 10    10 log 10    10 log 10 2  10 log 10    3  LI  3 dB
 I0 
 I0 
 I0 
Se multiplica por 10 la intensidad
L10I
I 
I 
 10I 
   10  LI  10 dB

10
log





10
log

10
log
10
 10 log 10 
10 
10 
10


 I0 
 I0 
 I0 
18
EFECTO DOPPLER
Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que
esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno
respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el
movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la
frecuencia es menor.
Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de
tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por
Sucesivas ondas emitidas en
la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor
intervalos de tiempo iguales
que la frecuencia de emisión.
Fuente y receptor en reposo
Fuente moviéndose hacia el receptor
Fuente alejándose del receptor
19
EFECTO DOPPLER (2)
Subíndice r (receptor)
fr 
v
fs
v  us
v  velocidad de la onda
fs  frecuencia de la fuente
Alejamiento: signo +
Acercamiento: signo 
fr  frecuencia que mide el receptor
us  velocidad de la fuente
us
fs
f r
fr
Subíndice s (fuente)
Ejemplo. Un tren pasa por una estación a
una velocidad de 90 km por hora. La
frecuencia del silbato del tren es 1320 Hz.
¿Qué frecuencia percibirá una persona en
el andén de la estación cuando el tren se
acerca y cuando el tren se aleja?
Suponemos que la velocidad del sonido es
de 340 m/s.
v  90 km/h  25 m/s
Acercándose
Alejándose
340
1320  1424.8 Hz
340  25
340
f r 
1320  1229.6 Hz
340  25
fr 
20
EFECTO DOPPLER (3)
El desplazamiento al rojo
Galaxia de Pegaso
Galaxia de Andrómeda
21
ONDAS ESTACIONARIAS
Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de iguales amplitudes y
frecuencias que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio.
Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su ecuación no contiene términos de
la forma (k x - t).
Ejemplo sencillo de formación de ondas estacionarias: una onda viajera transversal que se propaga hacia
la derecha () en una cuerda tensa fija por sus extremos. Esta onda se refleja en el extremo derecho y
da lugar a una nueva onda que se propaga hacia la izquierda (). Su combinación puede formar ondas
estacionarias.
Onda incidente, direccion ():
y1  A cos(kx  t )
Onda reflejada, direccion ():
y2  A cos(kx  t   )
k
2

  2f 
2
T
Cuando la onda viajera viajando hacia la derecha se refleja en el extremo, su fase cambia  radianes (se invierte).
y2  A cos(kx  t   )  A cos(kx  t ) cos   A sin( kx  t ) sin    A cos(kx  t )
y1  A cos(kx  t )  A cos kx cos t  A sin kxsin t
y2   A cos(kx  t )   A cos kx cos t  A sin kxsin t
y  y1  y2  A cos(kx  t )  A cos(kx  t   )  2 Asin kxsin t
Cada punto de la cuerda tensa vibra describiendo un movimiento armónico de
amplitud 2A sen kx: la amplitud de esta vibración depende de la posición, pero
no del tiempo, pues el grupo kx-t no aparece. No es una onda viajera.
22
ONDAS ESTACIONARIAS / 2
¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas
estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y
número de ondas?
y  y1  y2  2 A sin kxsin t
Como los extremos de la cuerda están fijos, la
amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula.
Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes
condiciones se deben verificar en todo momento:
kL  n
y x0  2 A sin 0  0
y xL  2 A sin kL  0
La igualdad L = n/2 significa que sólo aparecerán
ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L
sea un múltiplo entero de media longitud de onda.
fn 
v
NO!
2

fn  n
n
L  n
v
2L
n  1,2,3,...
Ln
n 

2
2L
n
A partir de la relación entre frecuencia y longitud de
onda f = v/, donde v es la velocidad de propagación,
Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que
La velocidad es
Ejemplo:
o
4 armónico
n=4
n+1 nodos
n antinodos
v
Nodo
T
fn 

Nod0
n T
2L 
Nodo
Nodo
n 
Nodo
2L
n
n  1, 2, 3...
n = 1  f1 frecuencia fundamental
n > 1  fn armónicos superiores
Anti-nodo
Anti-nodo
Anti-nodo
Anti-nodo
23
ONDAS ESTACIONARIAS / 3
n = 1  f1
Frecuencia
fundamental
Onda estacionaria en una cuerda
0
7th ARMÓNICO
n = 2  f2
2º armónico0
1
2
3
0
n = 3  f3 0
3er armónico
1
2
3
4
5
6
Pesas para
tensar la cuerda
0
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ONDAS ESTACIONARIAS / EJEMPLO
Dos ondas viajeras de 40 Hz se propagan en sentidos opuestos a través de una cuerda tensa de 3 m de longitud
dando lugar al 4º armónico de una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es 510-3 kg/m.
a) Calcular la tensión de la cuerda
4o armónico n = 4  de L = n/2 se obtiene
b) La
amplitud de
los antinodos es
3.25 cm. Escribir la
ecuación de este armónico
de la onda estacionaria
yn  2 A sin kn x sin nt
n  4 
fn 
v
v  f 4  4  40 1.5  60 m/s
n
v
n  4
2L 2  3

 1.5 m
n
4
T

T    v 2  5 103  602  18 N
2 A  3.25 cm
k4 
2
4

2 -1
m
1.5
n  2 f n  80 rad/s
2
y  3.25 sin
x  sin 80 t (cm)
1.5
c) Calcular la frecuencia fundamental.
v
La velocidad de propagación es constante, y la frecuencia fundamental cumple que f1 
1
v 60
23
f



10
Hz
(Todos
los
armónicos
son
múltiplos
enteros
de
la
frec.
fundamental,
luego f4 = 4 f1)
1 
6m
1
25
1 6
1