Transcript Deret Taylor dan Analisis Galat Indriati., ST., MKom Powerpoint Templates Page 1 Deret taylor • Definisi : Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang.

Deret Taylor
dan Analisis Galat
Indriati., ST., MKom
Powerpoint Templates
Page 1
Deret taylor
• Definisi :
Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,…
menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan :
xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan
xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke
dalam deret Taylor :
( x  xo ) '
( x  xo ) 2 ''
( x  xo ) m ( m)
f ( x)  f ( xo ) 
f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  ...
1!
2!
m!
Powerpoint Templates
Page 2
• Jika (x-xo)=h, maka :
h '
h 2 ''
h m ( m)
f ( x)  f ( xo )  f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  ...
1!
2!
m!
• Contoh :
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor
di sekitar xo=1.
Penyelesaian :
f(x) = sin(x)
f’’’(x) = - cos(x)
f’(x) = cos(x)
f(4)(x) = sin(x)
f’’(x) = - sin(x)
dst.
Powerpoint Templates
Page 3
maka :
h2
h3
h4
f ( x)  sin( x)  sin( 1)  h cos(1)  sin( 1)  cos(1)  sin( 1)  ...
2
6
24
f ( x)  0,8415  0,5403h  0,4208h 2  0,0901h3  0,0351h 4  ...
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di
sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret
Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.
• Contoh-1 :
f(x)= sin(x) dimana xo = 0
Powerpoint Templates
Page 4
• Penyelesaian :
h2
h3
f ( x)  sin( x)  sin( 0)  h cos(0)  sin( 0)  cos(0)
2
6
x3 x5
f ( x)  sin( x)  x  
6 120
• Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0
Penyelesaian :
( x  0) 0 ( x  0) 2 0 ( x  0)3 ( x  0) 4 0
f ( x)  e  e 
e 
e 

e  ...
1!
2!
3!
4!
x 2 0 x3 x 4
x
f ( x)  e  1  x  e    ...
2!
3! 4!
x
0
Powerpoint Templates
Page 5
• Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga
banyaknya, maka untuk alasan praktis deret
Taylor dipotong sampai suku order tertentu.
Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n
dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan:
( x  xo ) '
( x  xo ) 2 ''
( x  xo ) n ( n )
f ( x)  f ( xo ) 
f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  Rn ( x)
1!
2!
n!
( x  xo ) ( n 1)
Rn ( x) 
f
(c); xo c x disebut galat / sisa (residu )
(n  1)!
Dengan demikian deret Taylor yg dipotong
sampai suku order ke-n dapat ditulis :
f ( x)  Pn ( x)  Rn ( x)
Powerpoint Templates
Page 6
dimana :
( x  xo ) k k
Pn ( x)  
f ( xo )
k!
k 1
n
( x  xo ) ( n 1) ( n 1)
Rn ( x) 
f
(c )
(n  1)!
Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde
ke-4
Penyelesaian :
( x  1)
( x  1) 2
( x  1)3
( x  1) 4
P4 ( x)  sin(1) 
cos(1) 
sin(1) 
cos(1) 
sin(1)
1!
2!
3!
4!
( x  1) ( 41) ( 41)
( x  1)5
Galat  R4 ( x) 
f
(c) 
cos(c)
(4  1)!
5!
Powerpoint Templates
Page 7
Analisis Galat
• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat
solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.
Semakin kecil galatnya, semakin teliti
solusi numerik yg didapatkan. Kita harus
memahami dua hal, yaitu :
a. Bagaimana menghitung galat
b. Bagaimana galat timbul
Powerpoint Templates
Page 8
• Misalkan :
^
a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka :
^
  a  a disebut galat
• Contoh :
^
a  10,5; a  10,45
  10,45  10,5  0,05
^
Galat Mutlak    a  a
Galat relatif :  R 

a
x 100%
Galat relatif hampiran :  RA 

^
x 100%
a
Powerpoint Templates
Page 9
• Contoh :
Diketahui : a= 10/3; â = 3,333
Hitung : (a). Galat !
(b). Galat mutlak !
(c). Galat relatif !
(d). Galat relatif hampiran !
Penyelesaian :
(a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333
= 10.000/3000 – 9999/3000
= 1/3000 = 0,000333
Powerpoint Templates
Page 10
(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333
(c).

0,000333
Galat relatif :  R 
(d).
a
x 100% 
Galat relatif hampiran :  RA 

^
(10/3)
x 100% 
a
x 100%  0,01%
0,000333
1
x 100% 
3,333
999
Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan
pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung dengan cara :
a a
 RA  r 1 r
ar 1
dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang
ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya
Powerpoint Templates
Page 11
• Proses lelaran dihentikan bila :
|єRA| < єS
єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan
Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya,
namun semakin banyak proses lelarannya
• Contoh :
Diketahui : Xr+1=(-Xr3 + 3)/6; r =0,1,2,3
Xo= 0,5; єs= 0,00001
Hitung : єRA !
Powerpoint Templates
Page 12
• Penyelesaian :
Xo = 0,5
X1 = 0,4791667;
(X1  X o )
 0,043478   s
X1
 RA 
X2 = 0,4816638;
(X 2  X1 )
 RA 
 0,0051843   s
X2
X3 = 0,4813757;
(X 3  X 2 )
 RA 
 0,0005984   s
X3
X4 = 0,4814091;
 RA 
X5 = 0,4814052;
(X 4  X 3 )
 0,0000693   s
X4
 RA 
(X 5  X 4 )
 0,0000081   s , berhenti !
X5
Powerpoint Templates
Page 13
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK
• Secara umum terdapat dua sumber utama
penyebab galat dlm perhitungan numerik,
yaitu :
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Ada sumber galat lain, yaitu :
1. Galat eksperimental
2. Galat pemrograman
Powerpoint Templates
Page 14
(1). Galat Pemotongan (truncation error).
Galat ini timbul akibat penggunaan
hampiran sebagai pengganti formula
eksak. Maksudnya, ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti dengan
formula yg lebih sederhana.
Tipe galat pemotongan bergantung pd
metode komputasi yg digunakan untuk
penghampiran shg kadang-kadang disebut juga galat metode.
Powerpoint Templates
Page 15
• Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri
dengan formula :
f
'
f ( xi 1 )  f ( xi )
( x1 ) 
h
dimana : h = lebar absis xi+1
• Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan
deret Taylor di sekitar x = 0 !
Penyelesaian :
f(x) = cos(x)
f(4)(x) = sin(x)
f’(x) = - sin(x)
f’’(x) = - cos(x)
Powerpoint Templates
Page 16
• Maka :
x2
x4
x6
x8
x10
f ( x )  cos( x )  1 




 ......
2!
4!
6!
8!
10!
Nilai hampiran
Galat pemotongan
• Galat pemotongan :
( x  xo ) ( n1) ( n 1)
Rn ( x) 
f
(c )
(n  1)!
( x  0)( 61) ( 61)
x7
R6 ( x) 
f
(c)  cos(c)
(6  1)!
7!
Powerpoint Templates
Page 17
• Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita
peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c
sebenarnya terkecuali informasi bahwa c
terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas
kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin
dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan,
yaitu :
Rn ( x)  Maks
xo c  x
( n 1)
(x
x
)
o
f ( n 1) (c) x
(n  1)!
Powerpoint Templates
Page 18
• Contoh-1 :
Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar
xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan berikan taksiran untuk galat maksimum yang
dibuat !
Penyelesaian :
f(x) = ln(x)
f(1) = 0
f’(x) = 1/x
f’(1) = 1
f’’(x) = -1/x2
f’(1) = -1
f’’’(x) = 2/x3
f’’’’(1) = 2
f(4)(x) = - 6/x4
f(4)(1) = -6
f(5)(x) = 24/x5
f(5)(c) = 24/c5
Powerpoint Templates
Page 19
• Deret Taylor :
( x  1) 2 ( x  1) 3 ( x  1) 4
ln( x)  ( x  1) 


 R4 ( x)
2
3
4
(0,1) 2 (0,1)3 (0,1) 4
ln( 0,9)  0,1 


 R4 ( x)
2
3
4
ln( 0,9)  0,1053583  R4 ( x)
R5 (0,9)  Maks
0 , 9 c 1
24 (-0,1)5
x
 0,0000034
5
c
5!
• Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemotongan < 0,0000034.
Powerpoint Templates
Page 20
• Contoh-2 : 1 x
e dx

x2
Hampiri nilai 0
secara numerik, yaitu : f ( x)  e
dengan deret Maclaurin orde 8 !
Penyelesaian :
x2
Deret Maclaurin orde 8 dari f ( x)  e
adalah :
2
ex
2
4
6
8
x
x
x
 1 x2 
 
2! 3! 4!
1
1
x 4 x 6 x8
0 e dx  0 (1  x  2!  3!  4! )dx
x
2
2
x3 x5 x7 x9 x  1
1 1 1
1
 x   
 1   
 1,4617724
3 10 42 216 x  0
3 10 42 216
Powerpoint Templates
Page 21
GALAT PEMBULATAN
• Perhitungan dgn metode numerik hampir
selalu menggunakan bilangan riil.
Masalah timbul bila komputasi numerik
dikerjakan dengan komputer karena
semua bilangan riil tdk dapat disajikan
secara tepat di dlm komputer. Keterbatas
an komputer dlm menyajikan bilangan riil
menghasilkan galat yg disebut galat
pembulatan.
Powerpoint Templates
Page 22
• Contoh :
1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer
hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =
-0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai
dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point)
Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
Powerpoint Templates
Page 23
(b). Bilangan titik kambang (floating point)
Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03
0,1714 x 10-13 atau
0,1714E-13
Digit-digit berarti di dalam format bilangan
titik kambang disebut juga “Angka Bena”
(significant figure).
Powerpoint Templates
Page 24
ANGKA BENA
• Adalah angka bermakna, angka penting atau
angka yg dapat digunakan dgn pasti.
• Contoh :
43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)
0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)
0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)
0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
Powerpoint Templates
Page 25
GALAT TOTAL
• Galat akhir atau galat total pada solusi numerik
merupakan jumlah galat pemotongan dan galat
pembulatan.
• Contoh :
2
4
(0,2)
(0,2)
Cos(0,2)  1 

 0,9800667
2
24
Galat pemotongan
Galat pembulatan
Powerpoint Templates
Page 26
• Galat pemotongan timbul karena kita
menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4
sedangkan galat pembulatan timbul
karena kita membulatkan nilai hampiran
ke dalam 7 digit bena.
Powerpoint Templates
Page 27
ORDE PENGHAMPIRAN
• Di dalam metode numerik, fungsi f(x)
sering diganti dgn fungsi hampiran yang
lebih sederhana. Satu cara mengungkapkan tingkat ketelitian penghampiran itu
adalah dengan menggunakan notasi :
O-Besar (Big-Oh).
Powerpoint Templates
Page 28
• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).
Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah
konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h)
menghampiri f(h) dengan orde penghampiran
O(hn) dan ditulis dgn :
f(h) = p(h) + O(hn)
O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat
dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya
cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai
n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti
penghampiran fungsinya.
Powerpoint Templates
Page 29
• Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih
teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga
pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran
h dijadikan setengah kali semula, maka
galatnya menjadi seperempat kali galat
semula.
Umumnya deret Taylor digunakan untuk
menghampiri fungsi. Misalkan :
xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik
sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan
deret Taylor di sekitar xi adalah :
Powerpoint Templates
Page 30
( xi 1  xi ) '
( xi 1  xi ) 2 ''
( xi 1  xi ) n ( n )
f ( xi 1 )  f ( xi ) 
f ( xi ) 
f ( xi )  .... 
f ( xi )  Rn ( xi 1 )
1!
2!
n!
h '
h 2 ''
hn (n)
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi ) 
f ( xi )  .... 
f ( xi )  Rn ( xi 1 )
1!
2!
n!
Dalam hal ini :
h( n1) ( n1)
Rn ( xi 1 ) 
f
(t )  O(h n1 ); xi  t  xi 1
(n  1)!
Jadi, kita dapat menuliskan :
hk k
f ( xi 1 )  
f ( xi )  O(h n1 )
k 0 k!
n
Powerpoint Templates
Page 31
• Contoh :
2
3
4
h
h
h
f ( x )  e x  1  h     O( h 5 )
2! 3! 4!
x 2 x3 x 4 x5
f ( x)  ln( x)  x      O(h5 )
2 3 4 4
h3 h5
f ( x)  sin( h)  h 

 O( h 7 )
3! 5!
h 2 h 4 h6
f ( x)  cos( h)  1 


 O( h 8 )
4! 6! 6!
Powerpoint Templates
Page 32