FP: INVOLUCIONES

FP_8

Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Involución

• Una transformación convierte un elemento P 1 en P 2 .

• Si al aplicar la transformación a P 2 = Q 1 (perteneciente Q 1 al primer conjunto) se obtiene P 1 diremos que es involutiva.

F

P 1 = Q 2 P 2 = Q 1 Q 2

F INVOLUCIÓN F NO INVOLUCIÓN

Centro y Potencia de involución

• El punto límite de una involución es el centro de involución • Equidista de los puntos dobles en las involuciones hiperbólicas

Involuciones rectangulares

Es una involución elíptica, no tiene elementos dobles b’ a’ a b

A B

Centro de involución

e Cuatro puntos A

,

B

,

C

y

D

, del plano pueden relacionarse mediante

tres involuciones de centros los puntos diagonales E cuadrivértice

que determinan ,

F

diferentes, y

G

, del A’

E F

B’ En la figura se ha establecido una involución sobre una circunferencia, determinándose el eje proyectivo

e

y el centro de involución

E

.

Cada punto

A

y su homólogo

A’ alineados

con el centro

E

se encuentran

G

Involución

FP_8P_01

Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas

s

y

s’

. Enunciar el problema dual A B’ B A’

Involución

FP_8P_02

Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas de segundo orden . Enunciar el problema dual A A’ B B’

Involución

FP_8P_03

Determinar el centro de involución establecido entre las series superpuestas de segundo orden . Enunciar el problema dual A B’ B A’

Involución

FP_8P_04

Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas

s

y

s’

. Enunciar el problema dual A B’ B A’

Proyectividad

FP_8P_05

Sea la recta

(s),

paralela al plano de proyección, dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto principal

V”.

(V) B A B” A” s=s”

P

(B) (A) (s) B A B” A” s=s” FIGURA DE ANÁLISIS

Proyectividad

FP_8P_06

Sea la recta

(s)

dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto

I

de intersección de dicha recta.

(V) A B V” B” A” s=s”

P

FIGURA DE ANÁLISIS A B V” B” A” s=s”

Proyectividad

FP_8P_07

Sea la recta

(s)

dada por las proyecciones de tres de sus puntos, obtener el punto de intersección de dicha recta y el

V”

del sistema central en el que está representada.

(V)

P

A B C C” B” A” s=s” FIGURA DE ANÁLISIS A B C C” B” A” s=s”

Involución

FP_8P_08

En proyección cilíndrica tenemos dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí,

a a’

y

b b’.

Obtener la dirección, también coplanaria, que sea perpendicular a

r

.

Sistema axonométrico Perspectiva caballera b’ b’ a b a’ r a b r a’ FIGURA DE ANÁLISIS

Involución

FP_8P_09

En proyección cónica tenemos los puntos de fuga de dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí,

Fa Fa’

y

Fb-Fb

’.

Obtener el punto principal,

V”,

alineado con los anteriores y la potencia de la involución.

(V)

P

(a) (b)

r

(a’) (b’) Fa Fb V” Fa’ Fb’ FIGURA DE ANÁLISIS Fa Fb Fa’ Fb’

Polo y polar

A Q T 1 R P’ T 2 B (ABPP’)=-1 P