FP: INVOLUCIONES FP_8 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid Involución • Una transformación convierte un elemento P1 en P2. • Si al aplicar.
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FP: INVOLUCIONES
FP_8
Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid
Involución
• Una transformación convierte un elemento P 1 en P 2 .
• Si al aplicar la transformación a P 2 = Q 1 (perteneciente Q 1 al primer conjunto) se obtiene P 1 diremos que es involutiva.
F
P 1 = Q 2 P 2 = Q 1 Q 2
F INVOLUCIÓN F NO INVOLUCIÓN
Centro y Potencia de involución
• El punto límite de una involución es el centro de involución • Equidista de los puntos dobles en las involuciones hiperbólicas
Involuciones rectangulares
Es una involución elíptica, no tiene elementos dobles b’ a’ a b
A B
Centro de involución
e Cuatro puntos A
,
B
,
C
y
D
, del plano pueden relacionarse mediante
tres involuciones de centros los puntos diagonales E cuadrivértice
que determinan ,
F
diferentes, y
G
, del A’
E F
B’ En la figura se ha establecido una involución sobre una circunferencia, determinándose el eje proyectivo
e
y el centro de involución
E
.
Cada punto
A
y su homólogo
A’ alineados
con el centro
E
se encuentran
G
Involución
FP_8P_01
Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas
s
y
s’
. Enunciar el problema dual A B’ B A’
Involución
FP_8P_02
Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas de segundo orden . Enunciar el problema dual A A’ B B’
Involución
FP_8P_03
Determinar el centro de involución establecido entre las series superpuestas de segundo orden . Enunciar el problema dual A B’ B A’
Involución
FP_8P_04
Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas
s
y
s’
. Enunciar el problema dual A B’ B A’
Proyectividad
FP_8P_05
Sea la recta
(s),
paralela al plano de proyección, dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto principal
V”.
(V) B A B” A” s=s”
P
(B) (A) (s) B A B” A” s=s” FIGURA DE ANÁLISIS
Proyectividad
FP_8P_06
Sea la recta
(s)
dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto
I
de intersección de dicha recta.
(V) A B V” B” A” s=s”
P
FIGURA DE ANÁLISIS A B V” B” A” s=s”
Proyectividad
FP_8P_07
Sea la recta
(s)
dada por las proyecciones de tres de sus puntos, obtener el punto de intersección de dicha recta y el
V”
del sistema central en el que está representada.
(V)
P
A B C C” B” A” s=s” FIGURA DE ANÁLISIS A B C C” B” A” s=s”
Involución
FP_8P_08
En proyección cilíndrica tenemos dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí,
a a’
y
b b’.
Obtener la dirección, también coplanaria, que sea perpendicular a
r
.
Sistema axonométrico Perspectiva caballera b’ b’ a b a’ r a b r a’ FIGURA DE ANÁLISIS
Involución
FP_8P_09
En proyección cónica tenemos los puntos de fuga de dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí,
Fa Fa’
y
Fb-Fb
’.
Obtener el punto principal,
V”,
alineado con los anteriores y la potencia de la involución.
(V)
P
(a) (b)
r
(a’) (b’) Fa Fb V” Fa’ Fb’ FIGURA DE ANÁLISIS Fa Fb Fa’ Fb’
Polo y polar
A Q T 1 R P’ T 2 B (ABPP’)=-1 P