Transcript SISTEM PERSAMAAN LINIER Indriati., ST., M.Kom. Powerpoint Templates Page 1 PERSAMAAN LINIER • Sebuah garis dalam bidang x dan y secara umum dapat ditulis dalam bentuk •

SISTEM PERSAMAAN
LINIER
Indriati., ST., M.Kom.
Powerpoint Templates
Page 1
PERSAMAAN LINIER
• Sebuah garis dalam bidang x dan y secara
umum dapat ditulis dalam bentuk
• a1x + a2y = b
• Secara lebih umum didefinisikan sebuah
persamaan linier dengan n buah variabel
• a1x1 + a2x2 + …. + anxn = b
• Dimana a1, a2, a3, …, an adalah konstanta
bilangan real
Powerpoint Templates
Page 2
CONTOH PERSAMAAN LINIER
•
•
•
•
x + 3y = 7
y = 1/2x + 3z + 1
x1 - 2x2 – 3x3 + x4 = 7
x1 + x2 + …. + xn = 1
Powerpoint Templates
Page 3
BUKAN PERSAMAAN LINIER
• Persamaan linier tidak melibatkan suatu
hasil kali ataupun akar variabel. Contoh:
• x + 3y2 = 7
• y – sin x = 0
• 3x + 2y – z + xz = 4
• x11/2 + 2x2 + x3 = 1
Powerpoint Templates
Page 4
SISTEM PERSAMAAN LINIER
(SPL)
• Sebuah himpunan berhingga dari
persamaan-persamaan linier di dalam
variabel-variabel x1 x2, x3, … xn disebut
dengan sistem persamaan linier atau
sistem linier.
• Urutan bilangan s1, s2, s3,… sn dinamakan
sebuah pemecahan dari sistem tersebut
jika x1=s1, x2=s2, x3=s3, …. xn=sn adalah
sebuah pemecahan dari tiap-tiap
Powerpoint
Templates
persamaan dalam
sistem
tersebut
Page 5
MENCARI PENYELESAIAN
SPL
•
•
•
•
•
Grafik
Substitusi
Eliminasi
Metode Gauss
Metode Gauss-Jordan
Powerpoint Templates
Page 6
METODE GRAFIK
• Langkah I
– Gambarkan grafik masing – masing persamaan pada
bidang Cartesius.
• Langkah 2
a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka
himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota
b. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan
penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan
himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong
c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan
penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga
banyaknya
Powerpoint Templates
Page 7
MEMILIKI SOLUSI
• Equation1:
x1 + 2x2 = 4
2
• Equation 2:
x1 – x2 = 2
-2
Powerpoint Templates
Page 8
TIDAK MEMILIKI SOLUSI
• Equation1:
x1 + 2x2 = 4
• Equation 2:
2x1 + 4x2 = 5
Powerpoint Templates
Page 9
SOLUSI TAK BERHINGGA
• Equation1:
x1 + 2x2 = 4
• Equation 2:
2x1 + 4x2 = 8
Powerpoint Templates
Page 10
METODE SUBSTITUSI
• Langkah 1
Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih
yang sederhana), kemudian nyatakan x
sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
• Langkah 2
Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke
persamaan yang lain
Powerpoint Templates
Page 11
CONTOH SUBSTITUSI
• Diketahui ada dua persamaan
• x+y=4
(1)
• 4x + 3y = 13 (2)
• Dari persamaan (1) x + y = 4 didapat y = 4 – x (3)
• Persamaan (3) Disubstitusikan ke persamaan (2)
4x + 3y = 13
4x + 3 (4 – x) = 13
4x + 12 – 3x = 13
x + 12 = 13
x=1
• Nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 – x, diperoleh
y=4-1
y=3
• Jadi solusi untuk persamaan (1) dan (2) adalah {(1,3)}
Powerpoint Templates
Page 12
METODE ELIMINASI
• Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi
peubah y sedangkan nilai y di cari dengan
cara mengeliminasi peubah x
Powerpoint Templates
Page 13
CONTOH METODE ELIMINASI
Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :
2x + 3y = 13
3x + 4y = 19
Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y
2x + 3y = 13
3x + 4y = 19
X 4
X 3
8x + 12y = 52
9x + 12y = 57
–x=–5
x=5
2x + 3y = 13
3x + 4y = 19
X 3
X2
6x + 9y = 39
6x + 8y = 38
y =1
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 5,1)}
Powerpoint Templates
Page 14
SOAL 1
• Di sebuah toko, Samijan membeli 3
barang A dan 4 barang B dan dia harus
membayar Rp2.700,00. Sedangkan
Tukimin harus membayar Rp3.600,00
untuk pembelian 6 barang A dan 2 barang
B. Jika Ponirin membeli 1 barang A dan 1
barang B, maka ia harus membayar ….
Powerpoint Templates
Page 15
SOAL 2
• Dono, Kasino, dan Indro berbelanja di pasar.
Dono membeli dua bungkus merica, sebuah
paprika dan sebuah jeruk purut dengan
membayar Rp4.700,00. Kasino membeli
sebungkus merica , dua buah paprika dan
sebuah jeruk purut dengan membayar
Rp4.300,00. Indro membeli tiga bungkus
merica, dua buah paprika dan sebuah jeruk
purut dengan membayar Rp7.100,00.
• Berapakah harga untuk sebungkus merica,
sebuah paprika dan sebuah jeruk purut?
Powerpoint Templates
Page 16
ELIMINASI GAUS
• Merubah sistem persamaan linier menjadi
bentuk matriks
AX  C
• Terdiri dari dua tahap
– Forward Elimination of Unknowns
(Membentuk Eselon Baris)
– Back Substitution
Powerpoint Templates
Page 17
SPL  MATRIKS
x1 + 2x2 = 4
x1 – x2 = 2
Jika dirubah bentuknya menjadi matriks:
1 2   x1  4
1  1  x   2

 2   
Powerpoint Templates
Page 18
BENTUK ESELON BARIS
• Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari
angka nol, maka bilanggan tak nol pertama
adalah 1 (dinamai 1 utama)
• Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya
dari 0, maka baris seperti itu dikelompokkan
bersama-sama di bawah matriks
• Di dalam sebarang dua baris yang berurutan
yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1
utama pada baris yang lebih rendah, letaknya
lebih jauh ke kanan dari pada 1 utama pada
baris yang lebih tinggi.
Powerpoint Templates
Page 19
CONTOH BENTUK ESELON
BARIS
• Gunakan OBE (Operasi Baris Elementer)
untuk membentuk matriks ke dalam
bentuk eselon baris
Powerpoint Templates
Page 20
CONTOH ESELON BARIS
• Ubah matriks persamaan berikut menjadi
bentuk eselon baris
Powerpoint Templates
Page 21
CONTOH KASUS
2 x1  3x2  2 x3  x4  2
2 x1  5 x2  3x3  x4  7
 2 x1  x2  3x3  2 x4  1
 5 x1  2 x2  x3  3x4  8
2
2

 2

 5
3  2  1  2

5 3 1
7
1 3 2 1 

2 1
3
8
Powerpoint Templates
Page 22
FORWARD ELIMINATION
(ESELON BARIS)
2
2

 2

 5
3  2  1  2
5 3 1
7 
1 3 2 1 

2 1
3
8
1 3
2

2
0
0
4

0 19 2
1  1
 1
2

1
2
9
1
 3  1

1
6
3
2

R1'  R1
2
R2'  R2  2 R1'
R3'  R3  2 R1'
R4'  R4  5 R1'
R1'  R1
R2'  R2
2
R3'  R3  4 R2'
R4'  R4  19 R1'
2
1 3
1  1
 1
2
2


1
2
9
0 2
0 4
1
 3  1


19
1
6
3
0
2
2

1 3
1  1
1 
2
2


9

1
1
0 1

2
2


0
0
3

7

19


0 0  5
 9  159 
4
4

Powerpoint Templates
Page 23
FORWARD ELIMINATION
(ESELON BARIS)
R1'  R1
1 3
1  1
1 
2
2


9 
0 1  1 2 1
2 

3
7
 19 
0 0
0 0  5
 9  159 
4
4

R2'  R2
R3' 
R3
3
R4'  R4  5 R3'
4
1 3
1  1
1 
2
2


9 
1
0 1  1 2
2 

7
 19
1
0 0
3
3 

143
572 
0
0
0



12
12
R1'  R1
R2'  R2
R3'  R3
R4' 
R4
143 12
1

0

0

0
1
2
1 1
2
0 1
3
0
0
1 
2

9 
1
2 
7
 19
3
3 

 143  572 
12
12
1
1 3
1  1
1 
2
2


9 
0 1  1 2 1
2 

 19 
1 7
0 0
3
3

572 
0
0
0
1

143
Powerpoint Templates
Page 24
FORWARD ELIMINATION
(ESELON BARIS)
x1 
3 x
2 2
x2
 x3
 1 x3
2
x3
 1 x4
2
 x4
 7 x4
3
x4
 1
9
2
 19
3
 572
143
x4  4
Powerpoint Templates
Page 25
BACK SUBSTITUTION
• Setelah didapat hasil x4 = 4
• Lakukan subtitusi X4 ke persamaan
diatasnya untuk mencari x3
• Lakukan lagi subtitusi x3 dan x4 ke
persamaan diatasnya untuk mendapatkan
x2
• Terakhir, lakukan substitusi x2, x3, dan x4
ke persamaan pertama untuk
mendapatkan x1
Powerpoint Templates
Page 26
SOAL 3
• Gunakan metode eliminasi Gauss untuk
menyelesaikan SOAL 2
Powerpoint Templates
Page 27
ELIMINASI GAUSS-JORDAN
• Proses lanjutan dari eliminasi gauss
• Menggunakan bentuk matriks eselon baris
yang direduksi
Powerpoint Templates
Page 28
ESELON BARIS TEREDUKSI
• Ciri bentuk Eselon Baris
• PLUS
• Setiap kolom yang mengandung 1 utama,
memiliki nilai 0 di tempat lain
Powerpoint Templates
Page 29
CONTOH
O21(-1)
O2(-1/3)
O12(-2)
Powerpoint Templates
Page 30
HASIL
• Didapat Hasil:
• x1 = 8/3
• x2 = 2/3
Powerpoint Templates
Page 31
Solusi SPL
Invers Matriks
Powerpoint Templates
Page 32
-1
A Ax
=
-1
A
b
Powerpoint Templates
b
Page 33
2x + y – z = 3
3x + 2y – 4z = 1
x + 4y + z = 15
Powerpoint Templates
Page 34
A=
-1
A
2 1 -1
3 2 -4
1 4 1
=
b=
3
1
15
18/19
-5/19
-2/19
-7/19
3/19
5/19
10/19
-7/19
1/19
Powerpoint Templates
Page 35
x=
-1
A b
Powerpoint Templates
Page 36
Solusi SPL
Aturan Cramer
Powerpoint Templates
Page 37
A=
2 1 -1
3 2 -4
1 4 1
Ax =
3
1
15
b=
1
2
4
Powerpoint Templates
3
1
15
-1
-4
1
Page 38
A=
2 1 -1
3 2 -4
1 4 1
Ay =
2
3
1
b=
3
1
15
Powerpoint Templates
3
1
15
-1
-4
1
Page 39
A=
2 1 -1
3 2 -4
1 4 1
Az =
2
3
1
b=
1
2
4
Powerpoint Templates
3
1
15
3
1
15
Page 40
x = |Ax| / |A|
y = |Ay| / |A|
z = |Az| / |A|
Powerpoint Templates
Page 41
2 1 -1
3 2 -4
1 4 1
Powerpoint Templates
3
1
15
Page 42
TERIMA KASIH
Powerpoint Templates
Page 43