Transcript GEOMETRI TRANSFORMASI PERKULIAHAN DUA BAGIAN • DELAPAN KALI PERTEMUAN • MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL.

GEOMETRI
TRANSFORMASI
PERKULIAHAN DUA BAGIAN
• DELAPAN KALI PERTEMUAN
• MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN
INDIVIDUAL
1. Diberikan dua lingkaran S1 dan S2 serta sebuah garis l.
Tentukan
sehingga
suatu
jarak
garis
titik
lingkaran sebesar
ditentukan)
2. Dimanakah
jembatan
a
yang sejajar
potong garis
l dan sedemikian
ini dengan kedua
(a
bilangan
real
dibangun
melintasi
harus
yang
telah
sungai
yang memisahkan dua kota A, B agar jarak kedua kota
tersebut seminimal mungkin? (Asumsikan sungai tersebut
memiliki tepi yang sejajar dan jembatan yang dibuat
tegak lurus dengan tepi sungai)
3. Dalam kasus seperti no. 2 bagaimana
beberapa sungai?
jika
terdapat
1. Tentukan
sehingga
tempat
jumlah
kedudukan titik-titik M, sedemikian
jarak dari titik tersebut terhadap
garis l1 dan l2 yang diberikan adalah t(t bilangan real
positif yang telah diberikan)
2. Tentukan
tempat
kedudukan
titik-titik
M,
sedemikian
sehingga selisih jarak dari titik tersebut terhadap
garis l1 dan l2 yang diberikan adalah t(t bilangan real
positif yang telah diberikan)
3. Misalkan M dan N berturut-turut titik tengah AD dan
BC. Kemudian panjang MN sama dengan setengah jumlah
panjang dari sisi AB dan CD. Buktikan bahwa segiempat
ABCD merupakan trapesium.
PENGERTIAN TRANSFORMASI
• Semesta Pembicaraan TRANSFORMASI
adalah BIDANG DATAR
• Secara umum transformasi diartikan
sebagai PINDAHAN
• APA YANG DIPINDAHKAN ?
• APAKAH SETIAP PINDAHAN
MERUPAKAN TRANSFORMASI?
• DALAM MATEMATIKA TRANSFORMASI
DIDEFINISIKAN SEBAGAI APA ?
GEOMETRI
TRANSFORMASI
• BEBERAPA TRANSFORMASI YANG
TELAH DIKENAL
• 1. Geseran ( Translasi )
• 2. Pencerminan ( Refleksi )
• 3. Perputaran ( Rotasi )
• 4. Tarikan ( Dilatasi )
• ADAKAH JENIS TRANSFORMASI YANG
LAIN ?
Apa yang akan dipelajari
Pada mata kuliah Geo transf
• 1. Memandang Transformasi sebagai
Fungsi
• 2. Membahas secara khusus dua
kelompok dalam transformasi, yaitu
yang isometri dan non isometri
• 3. Membahas hasil komposisi
beberapa transformasi
• 4. Aplikasi dalam penyelesaian masalah
geometri
DEFINISI
TRANSFORMASI
• Secara matematis, transformasi
didefinisikan sebagai fungsi bijektif
pada bidang (R2)
MASIH INGAT TENTANG FUNGSI ?
Ingat fungsi bijektif ?
• f : A  B dikatakan fungsi jika, x,y  A
dengan x=y , maka f(x)=f(y)
• f : A  B dikatakan fungsi injektif
( satu-satu) jika,  x,y  A, dengan
f(x)=f(y) maka x = y
• f : A  B dikatakan fungsi surjektif atau
pada jika,  y  B,  x  A, f(x) = y
• f : A  B dikatakan fungsi bijektif jika f
merupakan fungsi satu-satu dan pada
•Berkenaan dengan adanya bidang geometri dan
geometri analitik, kajian transformasi seringkali
ditinjau dari dua sisi pandang , yaitu sisi pandang
geometri dan aljabar ( titik disajikan dalam
pasangan terurut, garis sebagai persamaan
linear dst. )
Transformasi dalam
Notasi Fungsi
• Dalam notasi fungsi,
• T: V  V merupakan transformasi
jika T adalah fungsi bijektif. Dengan
V menyatakan bidang datar.
• Secara aljabar, V dapat ditulis
sebagai V={(x,y)|x,yR}.
Transformasi
• T : V V dikatakan transformasi jika
1. A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B , maka
T(A)=T(B)
2.  A=(x,y), B=(u,v)  V ,
dengan T(A)=T(B) maka A=B
3.  B=(u,v) 
V,  A=(x,y) V, T(A)=B
Contoh-contoh
transformasi
• Dalam Bentuk Aljabar
• Perkawanan T: V  V dengan
T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan
transformasi. Mengapa ?
• Apakah Perkawanan T: V  V dengan
T(x,y)=(xy,y+2) merupakan
transformasi.?Mengapa ?
T(x,y)=(x/y, y+2)
• Buktikan bahwa perkawanan T: V  V
dengan
T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan
transformasi.
Selidiki apakah perkawanan T: V  V
dengan
T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan
transformasi.
Misal A titik tertentu pada bidang V
Perkawanan T pada V dengan aturan untuk
sebarang P di V, T(P) = Q dengan 2|AP|=3|PQ|
dengan P pada ruas garis AQ, merupakan
transformasi
Secara geometris………………………
A.
P .
Q
Secara aljabar …………….
A(x,y) .
. P (a,b)
. Q (u,v)
KOMPOSISI DUA
TRANSFORMASI (hasil kali)
• Dari hasil komposisi dua
fungsi bijektif adalah fungsi
bijektif maka komposisi dua
transformasi adalah
transformasi juga,
• Bukti ?
Bagaimana
mentransformasikan
garis, terkait rumus
transformasi
T(x,y)=(f(x,y), g(x,y))
CARA MENTRANSFORMASIKAN GARIS
• Untuk mentransformasikan garis
dilakukan dengan cara berikut.
• Pada transformasi T, misalkan
T(x,y)=(x’,y’) dan garis lax+by+c=0,
• untuk menentukan T(l)=l’, nyatakan x dan
y dalam x’ dan y’, kemudian substitusikan
pada persamaan garis l, akan diperoleh
persamaan dalam x’, y’. Karena koordinat
dalam x dan y , ubah lagi dalam x dan y
Contoh mentransformasikan
garis
• Misal T(x,y)=(2x+y,x-y) dan
persamaan garis l:3x+2y-5=0.
• T(l) adalah………………….
• Misalkan (x’,y’)=T(x,y)
Nyatakan x,y dalam x’ , y’
dari x’=x+y, y’=3x-y
x= ………., y=…………………
x' 1
y '  1 - x'-y'
x

y
2 1
-3
1 1
2
1
2
1
x'
y' 2 y ' x'

1
3
-1
KOMPOSISI DUA
TRANSFORMASI (hasil kali)
• Dari hasil komposisi dua
fungsi bijektif adalah fungsi
bijektif maka komposisi dua
transformasi adalah
transformasi juga,
• Bukti ?
BEBERAPA ISTILAH DALAM
TRANSFORMASI
• 1. Unsur tetap
• Titik A pada V disebut titik tetap dari transformasi
T, jika T(A) = A
• Garis l disebut garis tetap dari
transformasi T, jika T(l) = l
APAKAH SETIAP TRANSFORMASI
MEMILIKI TITIK TETAP ?
Transformasi T(x,y)=(x+4, y-3) tidak memiliki
titik tetap, tetapi memiliki garis tetap.
Karena……….
APAKAH SETIAP TRANSFORMASI
MEMILIKI GARIS TETAP ?
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP
DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?
BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN
GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?
1. Andaikan punya titik tetap(garis tetap), misalkan titik
tetap(garis tetap) tersebut adalah A=(x,y)(l ax+by+c=0)
2. Diperoleh persamaan yang mengkaitkan nilai x dany
(nilai a, b dan c)
3. Jika persaman 2. konsisten, maka diperoleh titik
tetap(garis tetap) yang dicari sebaliknya jika persamaan
tidak konsisten disimpulkan transformasi tersebut tidak
punya (titik tetap) garis tetap.
Transformasi : T(x,y) =(y,4x)
Titik tetap
Garis tetap
Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku
(x,y)=(y,4x).
Sehingga berlaku x=y dan y=4x.
Diperoleh x=0 dan y=0.
Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya
titik tetap.
Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap.
Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan
persamaan 4bx+ay+4c=0.
Karena l merupakan garis tetap maka berlaku
4b a 4c
 
a b c
Diperoleh
4b2=a2, (b-a)c=0, dan (4b-a)c=0
Kasus 1, c0, maka b=a dan a=4b tidak mungkin
Kasus 2, c=0, maka ab dan a4b, sehingga
diperoleh a=2b atau a=-2b.
Akhirnya diperoleh garis tetap dari T adalah
2x+y=0 atau -2x+y=0
Transformasi : T(x,y) =((2x-y),(x+y))
Titik tetap
Garis tetap
Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku
(x,y)=((2x-y),(x+y)).
Sehingga berlaku x=2x-y dan y=x+y.
Diperoleh x=0 dan y=0.
Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya
titik tetap.
Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap.
Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan
persamaan (a-b)x+(a+2b)y+3c=0.
Karena l merupakan garis tetap maka berlaku
a  b a  2b 3c


a
b
c
Selesaikan.
2. Identitas
Suatu transformasi T disebut Identitas, jika T(A)=A,
AV. Selanjutnya ditulis sebagai I
Transformasi T(x,y)=(x+y, 2x+y) bukan transformasi
Identitas, karena……..
3.Involusi
Suatu transformasi T disebut Involusi, jika
T(T(A))=A, AV ( atau ditulis T2=I )
Contoh transformasi involusi?
Dari T2=I diperoleh T=T-1
Apakah T merupakan Involusi?
T(x,y)=(-x,kx+y)
T(x, y) (x  2 (x  y2), y 2 (x  y2))
• 4. Kolineasi
• Suatu transformasi T, disebut bersifat
.
kolineasi jika T memetakan garis (lurus)
menjadi garis (lurus) lagi
• 5. Isometri
• Suatu transformasi T, disebut bersifat
isometri jika untuk setiap dua titik A, B
di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)|=|A’B’|
• ( |AB| menyatakan jarak titik A dengan
B , A’=T(A), B’=T(B))
6. Similaritas
Definisi
Suatu transformasi L disebut suatu similaritas, jika terdapat
bilangan positif k sedemikian hingga untuk sebarang titik P, Q dipenuhi
|P’Q’| = k |PQ| , dengan P’=L(P) dan Q’=L(Q).
Contoh transformasi yang
tidak bersifat kolineasi
• .
(x, y 1) x0
T (x, y) 
(x, y  2) x0









• Bukan kolineasi kenapa ?
• Transformasi T(x,y) = (2x,y) bukan
suatu isometri, kenapa?
(x, y 1) x0
T (x, y) 
(x, y  2) x0









BEBERAPA TEOREMA
(a) Transformasi isometri T merupakan kolineasi
(b) Jika T suatu isometri maka T suatu kolineasi
Isometri mempertahankan besar sudut
Isometri mempertahankan kesejajaran
Transformasi isometri T merupakan kolineasi
Diketahui T suatu Isometri
Akan dibuktikan T bersifat kolineasi
Ambil sebarang garis l dan l’ merupakan peta dari l.
Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’
merupakan garis juga.
Misal A dan B sebarang dua titik pada l kemudian A’
dan B’ berturut-turut peta dari A dan B, serta h
adalah garis yang melalui A’, B’.
Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’=h.
(Mengapa?)
T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x)
Apakah T fungsi
•jika A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B , maka T(A)=T(B)
Apakah T satu-satu
•jika  A=(x,y), B=(u,v)  V , dengan T(A)=T(B) maka A=B
Ambil sebarang dua titik A=(x,y), B=(u,v)  V ,
dengan T(A)=T(B) dibuktikan A=B
T(A)=T(B) berarti (x+y,3x)=(u+v,3u)
Diperoleh x=u, karena x+y=u+v maka y=v
Apakah T merupakan fungsi pada
•jika  B=(u,v)  V,  A=(x,y) V, T(A)=B
T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x)
Ambil sebarang B(x,y) di V
Misal A(u,v) sedemikian sehingga T(A)=B
Sehingga (u+v,3u)=(x,y)
u+v=x
3u=y
u=1/3 y
v= x- 1/3y
Transformasi?
A
F.
S.
A’
P=P’
.
Q
Q
T(x,y) = (x-2y, xy)
Transformasi ?
a, b > 0
b
A.
a
A’
T(x,y) = (xy, y))
(1,0) dan (2,0)
Isometri merupakan kolineasi
Tapi sebaliknya tidak
T(x, y)  (x  2 (y  2), y  2 (y  2))
Selidiki apakah jika T suatu
isometri, maka peta
sebarang lingkaran oleh T
adalah lingkaran yang
berjari-jari sama