Transcript Transformasi
Slide 1
TRANSFORMASI
Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Geometri
Disusun Oleh :
Kelompok I
Hayatun Nufus
08030121
Rina Ariyani
08030057
Dwi Ananda Feriana 08030030
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP)
MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG
TAHUN 2010
Slide 2
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pembentukan suatu geometri untuk mempelajari bahan yang
disajikan dalam transformasi perlu memahami geometri pada
bidang, oleh karena itu geometri ini di sajikan untuk mengingat
kembali geometri tersebut, sekedar untuk suatu penyegaran. Yang
akan kita bahas yaitu geometri Euclides bidang. Geometri Euclides
bidang yaitu sebuah himpunan unsure-unsur tak teridentifikasinya
dinamakan titik. Bidang ini dinamakan bidang Euclides, apabila
pada himpunan titik-titik ini kita berlakukan suatu struktur
geometri yang terbagi atas unsure-unsur tak terdefinisi, macammacam axoioma, definisi- definisi dan teorema- teorema.
Slide 3
1. Sistim axoioma insidensi.
a. Sebuah garis adalah himpunan titik yang kosong dan
mengandungpaling sedikit 2 titik
b. Kalau ada 2 titik maka ada tepat sebuah garis yang
memuat dua titik tersebut
c. Ada 3 titik yang tidak semua terletak pada satu garis.
2. System axioma urutan yang mengatur konsep urutan
tiga titik pada sebuah garis, konsep setengah garis sinar,
konsep ruas garis.
Slide 4
3. System axioma kekongruenan yang mengatur
kekongruenan dua ruas garis, kekongruenan dua
segitga dan sebagainya.
4. Axioma kekontinuan (atau Axio Archimedes) yang
mengatakan bahwa apabila a dan b dua bilangan real
positif dengan a < b maka ada bilangan asli n sehingga
na > b
5. Axioma kesejajaran euclides yang menyatakan bahwa
apabila ada dua ruas garis a dan b dipotong ke garis ke
tiga c dititik A € a dan titik B € b sehingga jumlah
besarnya dua sudut dalam sepihak di A dan B kurang
dari 180o maka a dan b akan berpotongan pada bagian
bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat kedua
sudut dalam sepihak.
Slide 5
Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah membantu
mahasiswa sebagai calon pengajar dalam menjelaskan/
memahami mata kuliah geometri trnasformasi, sehingga
memudahkan proses belajar mahasiswa.
Rumusan Masalah
Sesuai dengan latar belakang diuraikan maka dapat kita
uraikan masalah yang sebelumnyatidak kita ketahui yaitu
apa pengertian transformasi itu.
Slide 6
BAB II
PEMBAHASAN
Transformasi
Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi
yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya
V juga. Seperti anda ketahui suatu fungsi yang bijektif
adalah sebuah fungsi yang bersifat :
1. Surjektif
Surjektif artinya bahwa pada titik B
V ada prapeta.
Jadi kalau T suatu transformasi maka ada A
V
sehingga B = T (A)B dinamakan peta dari A oleh T dan A
dinamakan prapeta dari B.
Slide 7
2. Injektif
Injektif artinya kalau A1 ≠ A2 dan T (A1) = B1, T (A2) =
B2 maka B1 ≠ B2, ungkapan ini setara dengan ungkapan
sebagai berikut :
Kalau T (P1) = Q1 dan T (P2) = Q2 sedangkan Q1 = Q2
maka P1 = P2. Tugas : coba anda buktikan bahwa kedua
ungkapan itu setara.
Pada contoh-contoh di bawah ini kita beranggapan
bahwa V adalah sebuah bidang Euclides, artinya pada
himpunan titik-titik V diberlakukan system axioma
Euclides.
Slide 8
Contoh 1 :
..
Andaikan A
V ada perpetaan (padanan) T
dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V.
Jadi T : V → V yang didefenisikan sebagai berikut :
1)T (A) = A
2)Apabila P ≠ A, maka T (P) = Q dengan Q titik tengah
garis
. Selidiki apakah padanan T tersebut suatu
transformasi
Jawab :
A
R
S = T (R)
Q = T (P)
P
Slide 9
Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri
Ambil sebarang titik R ≠ A pada V. oleh karena V bidang
Euclides, maka ada satu garis yang melalui A dan R, jadi
ada satu ruas garis
sehingga ada tepat satu titik S
dengan S antara A dan R, sehingga AS = SR.
Ini berarti untuk setiap X
V ada suatu Y dengan Y = T
(X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T
adalah V
Slide 10
1. Apakah T Surjektif, atau apakah daerah nilai T juga V?
Untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah
setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y V
apakah ada X V yang bersifat bahwa T (X) = Y?
Menurut ketentuan pertama, kalau Y = A prapetanya
adalah A sendiri, sebab T (A) = A
Y = T (X)
A
X
Slide 11
Apabila Y ≠ A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides,
ada X tunggal dengan X
sehingga AY = XY
Jadi Y adalah titik tengah
titik tengah. Jadi Y = T (X)
yang merupakan satu-satunya
Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. dengan
demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V
memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang
surjektif.
Slide 12
2. Apakah T Injektif itu?
Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P ≠ A, Q ≠ A
dan P ≠ Q. P, Q, A tidak segaris (kolinear). Kita akan
menyelidiki kedudukan T (P) dan T (Q)
T (Q)
T (P)
Andaikan T (P) = T (Q)
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
SOAL LATIHAN
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada
sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V
memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian
ternyata T suatu transformasi dari V ke V.
Slide 23
Slide 24
Jelas T ( x + 1, y) = ((x+ 1) – 1, y) = ( x, y)
Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada
sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V
memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian
ternyata T suatu transformasi dari V ke V.
Slide 25
PENYELESAIAN SOAL No. 2
Slide 26
PENYELESAIAN NOMOR 3
Slide 27
TRANSFORMASI
Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Geometri
Disusun Oleh :
Kelompok I
Hayatun Nufus
08030121
Rina Ariyani
08030057
Dwi Ananda Feriana 08030030
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP)
MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG
TAHUN 2010
Slide 2
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pembentukan suatu geometri untuk mempelajari bahan yang
disajikan dalam transformasi perlu memahami geometri pada
bidang, oleh karena itu geometri ini di sajikan untuk mengingat
kembali geometri tersebut, sekedar untuk suatu penyegaran. Yang
akan kita bahas yaitu geometri Euclides bidang. Geometri Euclides
bidang yaitu sebuah himpunan unsure-unsur tak teridentifikasinya
dinamakan titik. Bidang ini dinamakan bidang Euclides, apabila
pada himpunan titik-titik ini kita berlakukan suatu struktur
geometri yang terbagi atas unsure-unsur tak terdefinisi, macammacam axoioma, definisi- definisi dan teorema- teorema.
Slide 3
1. Sistim axoioma insidensi.
a. Sebuah garis adalah himpunan titik yang kosong dan
mengandungpaling sedikit 2 titik
b. Kalau ada 2 titik maka ada tepat sebuah garis yang
memuat dua titik tersebut
c. Ada 3 titik yang tidak semua terletak pada satu garis.
2. System axioma urutan yang mengatur konsep urutan
tiga titik pada sebuah garis, konsep setengah garis sinar,
konsep ruas garis.
Slide 4
3. System axioma kekongruenan yang mengatur
kekongruenan dua ruas garis, kekongruenan dua
segitga dan sebagainya.
4. Axioma kekontinuan (atau Axio Archimedes) yang
mengatakan bahwa apabila a dan b dua bilangan real
positif dengan a < b maka ada bilangan asli n sehingga
na > b
5. Axioma kesejajaran euclides yang menyatakan bahwa
apabila ada dua ruas garis a dan b dipotong ke garis ke
tiga c dititik A € a dan titik B € b sehingga jumlah
besarnya dua sudut dalam sepihak di A dan B kurang
dari 180o maka a dan b akan berpotongan pada bagian
bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat kedua
sudut dalam sepihak.
Slide 5
Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah membantu
mahasiswa sebagai calon pengajar dalam menjelaskan/
memahami mata kuliah geometri trnasformasi, sehingga
memudahkan proses belajar mahasiswa.
Rumusan Masalah
Sesuai dengan latar belakang diuraikan maka dapat kita
uraikan masalah yang sebelumnyatidak kita ketahui yaitu
apa pengertian transformasi itu.
Slide 6
BAB II
PEMBAHASAN
Transformasi
Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi
yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya
V juga. Seperti anda ketahui suatu fungsi yang bijektif
adalah sebuah fungsi yang bersifat :
1. Surjektif
Surjektif artinya bahwa pada titik B
V ada prapeta.
Jadi kalau T suatu transformasi maka ada A
V
sehingga B = T (A)B dinamakan peta dari A oleh T dan A
dinamakan prapeta dari B.
Slide 7
2. Injektif
Injektif artinya kalau A1 ≠ A2 dan T (A1) = B1, T (A2) =
B2 maka B1 ≠ B2, ungkapan ini setara dengan ungkapan
sebagai berikut :
Kalau T (P1) = Q1 dan T (P2) = Q2 sedangkan Q1 = Q2
maka P1 = P2. Tugas : coba anda buktikan bahwa kedua
ungkapan itu setara.
Pada contoh-contoh di bawah ini kita beranggapan
bahwa V adalah sebuah bidang Euclides, artinya pada
himpunan titik-titik V diberlakukan system axioma
Euclides.
Slide 8
Contoh 1 :
..
Andaikan A
V ada perpetaan (padanan) T
dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V.
Jadi T : V → V yang didefenisikan sebagai berikut :
1)T (A) = A
2)Apabila P ≠ A, maka T (P) = Q dengan Q titik tengah
garis
. Selidiki apakah padanan T tersebut suatu
transformasi
Jawab :
A
R
S = T (R)
Q = T (P)
P
Slide 9
Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri
Ambil sebarang titik R ≠ A pada V. oleh karena V bidang
Euclides, maka ada satu garis yang melalui A dan R, jadi
ada satu ruas garis
sehingga ada tepat satu titik S
dengan S antara A dan R, sehingga AS = SR.
Ini berarti untuk setiap X
V ada suatu Y dengan Y = T
(X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T
adalah V
Slide 10
1. Apakah T Surjektif, atau apakah daerah nilai T juga V?
Untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah
setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y V
apakah ada X V yang bersifat bahwa T (X) = Y?
Menurut ketentuan pertama, kalau Y = A prapetanya
adalah A sendiri, sebab T (A) = A
Y = T (X)
A
X
Slide 11
Apabila Y ≠ A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides,
ada X tunggal dengan X
sehingga AY = XY
Jadi Y adalah titik tengah
titik tengah. Jadi Y = T (X)
yang merupakan satu-satunya
Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. dengan
demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V
memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang
surjektif.
Slide 12
2. Apakah T Injektif itu?
Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P ≠ A, Q ≠ A
dan P ≠ Q. P, Q, A tidak segaris (kolinear). Kita akan
menyelidiki kedudukan T (P) dan T (Q)
T (Q)
T (P)
Andaikan T (P) = T (Q)
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
SOAL LATIHAN
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada
sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V
memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian
ternyata T suatu transformasi dari V ke V.
Slide 23
Slide 24
Jelas T ( x + 1, y) = ((x+ 1) – 1, y) = ( x, y)
Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada
sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V
memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian
ternyata T suatu transformasi dari V ke V.
Slide 25
PENYELESAIAN SOAL No. 2
Slide 26
PENYELESAIAN NOMOR 3
Slide 27