Transcript Funktionen und funktionales Denken 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Referenten: Ines Heinrich Ronny Do Xuan Mathematikdidaktik A.

Funktionen und funktionales Denken
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Referenten:
Ines Heinrich
Ronny Do Xuan
Mathematikdidaktik A
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Gliederung
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Geschichte
Lehrplaneinordnung, Bildungsstandards
Funktionales Denken
Erarbeitung einer Übersicht
Schulmathematische Grundlagen
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Geschichte
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• schon seit 2000 v. Chr. bis Ende 16.Jh.
Tabellierung, trigonometrische/
logarithmische Tafeln
• 1636 Einführung des Koordinatensystems u.
A. durch Rene Descartes
• 1671 Isaac Newton Entwicklung der Begriffe
Fluxionen und Fluente
• 1694 Leibniz hat das Wort „Funktion“
eingeführt
• 1734 Euler Funktionsbezeichnung f(x)
eingeführt
• 1888 Dedekind Begriff „Abbildung“ als
eindeutige Zuordnung
• Im 20. Jh. Neudefinition unter dem Einfluss
der mengentheoretisch orientierten Sicht der
Mathematik
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Geschichte
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• FELIX KLEIN (1849-1925) – Reform
des Mathematikunterrichts
– Der Funktionsbegriff sollte zu
einem Leitbegriff werden, der in
der Algebra Problemstellungen und
Lösungsverfahren liefern sollte.
– Mit Hilfe des Funktionsbegriffs
sollte eine enge Verbindung
zwischen Algebra und Geometrie
hergestellt werden.
– Schließlich sollte das funktionale
Denken alle Bereiche des
Mathematikunterrichts befruchten.
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Lehrplan
Bayern
Hessen
Thüringen
Sachsen
•Proportionalität
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•Proportionalität
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•Proportionalität
•Proportionalität
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•Einführung des
Funktionsbegriffs
•Lineare Funktionen
und ihre Graphen
•Lineare Funktionen
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•Quadratische
Funktionen und ihre
Graphen
•Quadratische
Funktionen
•Lineare Funktionen
•Quadratische Fkt.
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•Potenzfunktionen
•Exponentialfunktionen
•Logarithmusfunktionen
•Potenzfunktionen
•Exponentialfunktionen
•Logarithmusfunktionen,
•Wachstumsmodelle,
•Trigonometrische
Funktionen
•Potenzfunktionen
•Exponentialfunktionen
•Trigonometrische
Funktionen
•Umkehrfunktionen
•Tabellenkalkulation
•Kennen von
Funktionen
•Anwenden von
Eigenschaften linearer
Funktionen
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•Quadratische
Funktionen
•Potenzfunktionen
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•Wachstums- und
Zerfallsprozesse
•Exponentialfunktionen
•Sinusfunktion
•Umkehrfunktionen
•Verketten von
Funktionen
•Zahlenfolgen als
spezielle Funktionen
Voraussetzungen / Vorkenntnisse
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• 7.1.10 Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen von
Größen beschreiben und ihre graphischen Darstellungen kennen
• 7.2 Rationale Zahlen
– 7.2.4 Das Koordinatensystem auf vier Quadranten erweitern und die
Begriffe "Koordinatensystem", "Quadrant", "Abszisse", "Ordinate" und
"Koordinatenursprung" kennen und anwenden
• 7.3 Termumformungen, lineare Gleichungen und lineare
Ungleichungen mit einer Lösungsvariablen
• 8.1 Termumformungen und Bruchgleichungen
• 8.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
• 8.3 Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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• 9.1 Lineare Funktionen und lineare Gleichungssysteme
Bildungsstandards
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(L 1) Leitidee Zahl
(L 2) Leitidee Messen
(L 3) Leitidee Raum und Form
(L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang
(L 5) Leitidee Daten und Zufall
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Bildungsstandards
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(L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang
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Die Schülerinnen und Schüler
• nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer
Zusammenhänge,
• erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese
in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls
als Term dar,
• analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen
funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und
antiproportionale),
• lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen,
proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen,
• interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch,
• lösen Gleichungen, und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig bzw.
algorithmisch, auch unter Einsatz geeigneter Software, und vergleichen
ggf. die Effektivität ihres Vorgehens mit anderen Lösungsverfahren (wie mit
inhaltlichem Lösen oder Lösen durch systematisches Probieren),
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(L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Forts.)
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Die Schülerinnen und Schüler
• untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von
linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen
Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen,
• bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen
Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her,
• wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie
Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von
Problemen an,
• verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen
Vorgängen,
• beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch
unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms,
• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit
Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können.
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Alte Mathematiker sterben nicht – sie verlieren nur
einige ihrer Funktionen.
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Funktionales Denken
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• „Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für
den Umgang mit Funktionen ist.“ VOLLRATH
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Funktionales Denken
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Aspekte des funktionalen Denkens
– 1. Zuordnungscharakter; Zusammenhänge zwischen Größen, eine abhängig von der anderen
– 2. Änderungsverhalten; Veränderung der einen Größe Wirkung auf abhängige Größe
– 3. Sicht als Ganzes; gegebener Zusammenhang als Ganzes
Funktionales Denken funktioniert auch ohne Funktionen
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Graphen interpretieren
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Graphen interpretieren
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Typische Fehler
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• Typischer Fehler: „Graph-als-Bild-Fehler“
• Ursache: Mängel bei der Übersetzung
zwischen Situation und Graph
(Modellierung)
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Mathematiker in der Physikprüfung.
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Prof.:1101
"Malen
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doch 1011
mal eine Skizze vom Sinus."
(Prüfling malt.)
Prof.: "Sieht doch schon ganz gut aus."
Stud.: "Nein, das sollte die x-Achse sein, ich bin so aufgeregt."
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Darstellung von Funktionen
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 Verbale Darstellung
 Angeben einer Zuordnungsvorschrift
 Bsp.: „Jede Zahl wird mit drei multipliziert.“
 Bildlich
 Graphisch
 Wertetabelle
 Kann oft nur einen Ausschnitt der Funktion liefern
 Bsp.: x
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3x
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 Zuordnungsvorschrift
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 Bsp.: x→3x
 Algebraisch (Funktionsgleichung)
 Bsp.: f(x)=3x od. y=3x
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Übersetzung der Darstellungsprozesse
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– Tabelle  Graph:
• Kein Problem: Punkte aus Wertetabelle in gegebenes KS
• Problem: Erstellen eines geeigneten KS zu gegebenen Werten
– Graph  Tabelle:
• Kein Problem
– Funktionsgleichung  Tabelle:
• Problem nur: Urbilder
– Wertepaare  Funktionsgleichung
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• Rechenvorschrift gefunden, mathematische Gleichung dazu jedoch
nicht
– Graph  Gleichung:
– Gleichung  Graph:
• Umweg Tabelle
Beispiel (aus MatheNetz 8)
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Funktionen im Alltag
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Ein Mann ist mit einer Mathematikerin verheiratet. Er kommt nach Hause, schenkt
seiner Frau einen grossen Strauss Rosen und sagt: "Ich liebe Dich!". Sie nimmt
die Rosen, haut sie ihm um die Ohren, gibt ihm einen Tritt und wirft ihn aus
der Wohnung. Was hat er falsch gemacht? Er hätte sagen müssen: "Ich liebe
Dich und nur Dich!"
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Funktionsbegriff:
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• Eine Funktion f ordnet jedem Element x
einer Definitionsmenge genau einen
Funktionswert f(x) aus der Wertemenge zu
(eindeutige Zuordnung)
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• x … Argument, f(x) = y … Funktionswert
Funktionsbegriff
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Schüler
{Name} X {Größe} X {Alter}
X…
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Seitenlänge
des Quadrats
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Fläche
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Nichtmathematiker zum Mathematiker: "Ich finde Ihre Arbeit
ziemlich monoton."
Mathematiker: "Mag sein! Dafür ist sie aber stetig und nicht
beschränkt."
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Wichtige Eigenschaften
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• Definitions- und Wertebereich
• Nullstelle und
y-Achsenabschnitt
• Monotonie
• Symmetrie
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Erstellung einer Übersicht
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Erstelle eine Übersicht zum Themenkomplex Funktionen!
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Danke für die Aufmerksamkeit
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Quellen
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Bellstedt, M.m Parkan, J., Tomaschek, H. (2005): Lambacher Schweizer 9.
Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig: Ernst Klett
Cukrowcz, J., Kalenberg, H., Knechtel, H., Meyer, J., Szambien, H.,
Zimmermann, B.: MatheNetz 8 (2004): MatheNetz 8. Hrsg: Cukrowicz, J.,
Zimmermann, B. (5.Aufl.). Braunschweig: westermann druck GmbH
Cukrowcz, J., Kalenberg, H., Knechtel, H., Löding, W., Meyer, J., Rehlich, H.,
Schlichting, F., Szambien, H., Theileberg, J., Wichtmann, S., Zimmermann,
B.: Mathenetz 10 (2004): MatheNetz 10. Hrsg: Cukrowicz, J., Zimmermann,
B. (5.Aufl.). Braunschweig: westermann druck GmbH
Meyer, M. (2007): Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht. Texte zur
mathematischen Forschung und Lehre. Hildesheim, Berlin: Franzbecker
Roth, J. (2005): Bewegliches Denken im Mathematikunterricht. Texte zur
mathematischen Forschung und Lehre. Hildesheim, Berlin: Franzbecker
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Eigene Schulhefter aus den Klassen 9 und 10
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