Transcript Die Entwicklung des Zahlbegriffs

Mathematik Basisseminar
21.2./1.3.2011
Die Entwicklung
des
Zahlbegriffs
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
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Zahlen sind abstrakte mathematische
Objekte, die Quantitäten (Anzahlen,
0011 Differenzen,
0010 1010 1101 0001 0100
1011
Größenverhältnisse,
...)
darstellen und unter anderem zum
Zählen, Ordnen und Messen verwendet
werden.
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Das Wort Zahl entwickelte sich aus
dem althochdeutschen Wort zala,
welches „eingekerbtes Merkzeichen“
bedeutet. Eng verwandt sind die
Begriffe zählen und Anzahl.
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Zahlen als kulturelle
Erfindungen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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„Der Mathematikunterricht der
Primarstufe hat die Aufgabe, bei
den Kindern das Interesse an
Mathematik zu wecken und zu
fördern. Er soll die Kinder
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
befähigen, in ihrer Umwelt
mathematische Beziehungen zu
erkennen und Probleme mit
mathematischen Mitteln zu lösen.“
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(Rahmenplan für die Grundschule, Mathematik)
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 Voraussetzungen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1. Die Zählkompetenz
Niveau 1: Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe
Niveau 2: Unflexible Zahlwortreihe
Niveau 3: Teilweise flexible Zahlwortreihe
Niveau 4: Flexible Zahlwortreihe
Niveau 5: Vollständig reversible Zahlwortreihe
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2. Kognitive Fähigkeiten
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und natürlich die Zahlaspekte
1. Die Zählkompetenz
= Grundlage für den Erwerb des Zahlbegriffs
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
 mit Eintritt in die Schule verfügen viele Kinder schon
über beträchtliche arithmetische Kompetenzen:
• mit 2 Jahren:
- erste Zahlwörter
- Zahlwörter zur Bezeichnung
von Mengen, z.B. 2 Kekse, 3 Autos…
• mit 3 1/2 Jahren:
- die ersten drei Zählprinzipien sind in Ansätzen
vorhanden
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Erwerb der Zahlwortreihe nach FUSON:
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• Niveau 1: Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe (string level)
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Die Zahlwortreihe wird als Ganzes
unstrukturiert eingesetzt, wie ein Lied
oder Gedicht rezitiert: „einszweidreivier“.
 Die Zahlwörter haben noch keine
kardinale Bedeutung.

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• Niveau 2: Unflexible Zahlwortreihe
0011 0010 1010 1101 0001
0100 1011
(unbreakable
chain level)
Die einzelnen Zahlwörter können klar
unterschieden werden, jedoch muss die
Reihe immer als Ganzes aufgesagt
werden.
 Es wird immer ab 1 gezählt.
 Durch Zählen kann eine Anzahl
bestimmt werden.
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• Niveau 3: Teilweise flexible Zahlwortreihe
(breakable
0011 0010 1010 1101 0001
0100 1011 chain level)
Die Zahlwortreihe kann von einem
beliebigen Zahlwort aus aufgesagt
werden.
Vorgänger- und Nachfolgerzahlen
können genannt werden.
 Rückwärtszählen gelingt zum Teil.
Die kardinale Kompetenz (bestimmen
einer Anzahl) ist deutlich gestiegen.
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• Niveau 4: Flexible Zahlwortreihe
(numerable
0011 0010 1010 1101 0001
0100 1011 chain level)
 Von
jeder Zahl aus kann eine bestimmte
Anzahl Schritte weiter gezählt werden.
Z.B. zähle von 14 aus drei Schritte
vorwärts, rückwärts.
 Rechenkompetenzen werden erworben.
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• Niveau 5: Vollständig reversible Zahlwortreihe (bidirectional chain level)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Es kann von jeder Zahl aus vorwärts und
rückwärts gezählt werden.
Richtungswechsel erfolgen schnell und
ohne Schwierigkeiten.
Erkenntnisse zum Aufbau unseres Zahlsystems können abgeleitet werden.
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2. Kognitive Fähigkeiten
PIAGET
(1965)
: 0100 1011
0011
0010 1010
1101 0001
„Der Zahlbegriff stellt eine Abstraktion dar,
die sich aus den Operationen Klassifikation und
Seriation ergibt und zu einem System vereinigt
worden ist.“
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Die Fähigkeit zur Gruppenbildung
= Die Klassifikation
Die Fähigkeit zur Reihenbildung
= Die Seriation
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Eigenschaften von Elementen erkennen
• Unterscheidung von Form, Farbe, Größe
Bildung von Gruppen (Klassifikation)
• Gegenstände
gleicher
Art bilden
0011
0010 1010 1101
0001 0100
1011 eine Gruppe
Erkennen der Invarianz
• egal wie die Elemente angeordnet sind, die Menge ändert sich nicht
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Erkennen der Repräsentanz
• die Anzahl der Gegenstände ist unabhängig von der Form, Größe…
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Bildung von Reihen (Seriation)
• bilden von Reihen entsprechend einer bestimmten Anordnung
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Eins-zu-Eins-Zuordnung
•Vergleich zweier Mengen mithilfe der Eins-zu-Eins-Zuordnung
Inklusion
• Zerlegen, Vereinigen, Vergrößern und Verkleinern von Mengen
Aspekte des Zahlbegriffs
0011 Der
0010Erwerb
1010 1101
0001
0100 1011
der
natürlichen
Zahlen im Verlauf der
Vorschul- und Grundschulzeit basiert keineswegs nur auf
der Entwicklung der Zählkompetenz – wenngleich diese
natürlich bedeutsam ist. Innerhalb unserer kulturellen
Entwicklung, im alltäglichen Gebrauch entwickelten sich
unterschiedliche Bedeutungsaspekte einer Zahl.
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Diese sind gerade innerhalb unseres hochdifferenzierten
und informationsbeladenen Alltages wichtig; Kinder
sammeln und nutzen diese, dennoch sind sie nicht als
kognitive Existenz des Zahlbegriffs zu verstehen. Die
unter diesen Aspekten benutzten Zahlwörter sind
kontextgebunden, abhängig von der individuellen
Entwicklung und den Vorerfahrungen.
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Die Zahlaspekte:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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8.
Kardinalzahlaspekt
Ordinalzahlaspekt
Maßzahlaspekt
Operatoraspekt
Rechenzahlaspekt
Codierungsaspekt
Narrativer Aspekt
Geometrische Formen
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1. Kardinalzahlaspekt
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Zahlen dienen zur Beschreibung von Anzahlen
• Man fragt: „Wie viele?“ und benennt das
Ergebnis mit eins, zwei, drei…
• Beispiel: Max hat 2 Brüder.
Dort liegen 4 Bausteine.
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Der Kardinalzahlaspekt benennt somit die
Mächtigkeit (wie viele sind es?).
Mächtigkeit von Mengen erkennen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Repräsentanz für gleichmächtige Mengen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Einer Zahl eine Menge zuordnen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Mengen numerisch erfassen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Simultanes Erfassen einer
ungegliederten Menge
Simultanes Erfassen einer
gegliederten Menge
Bestimmen der Menge
durch Abzählen der
Elemente
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Gleichheit von Mengen erkennen
Übereinstimmung der Elemente
zweier Mengen durch simultane
Überprüfung
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Eins-zu-eins- Korrespondenz
Prüfen durch Zählen
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Invarianz erkennen
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2. Ordinalzahlaspekt
Hier wird zwischen Ordnungszahlen und Zählzahlen
unterschieden:
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a) Ordnungszahlen
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• Zahlen beschreiben Stellen innerhalb einer (total
geordneten) Reihe
• Benutzung der Ordnungszahlen indem man fragt:
„An welcher Stelle?“ oder „Der wievielte?“ und
das Ergebnis mit erster, zweiter, dritter… benennt
• Bsp.: Max belegt den 3. Platz.
Heute ist der 17. Juni.
Uta sitzt in der 5. Reihe.
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b) Zählzahlen
• Zahlen beschreiben ebenfalls Stellen innerhalb
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1010
1101 0001 0100 1011
einer
Reihenfolge
• Benutzung der Zählzahlen, wie sie im
Zählprozess durchlaufen werden, indem man
fragt: „An welcher Stelle?“ und das Ergebnis mit
eins, zwei, drei… benennt
• Bsp.: Max hat die Startnummer 36.
Ich lese gerade im Buch auf Seite 8.
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Der Ordinalzahlaspekt benennt somit die Stellung
des Elements in einer durchnummerierten Reihe.
Zahlen als Ordinalzahlen
Definition: Stellung des Elementes in
einer durchnummerierten Menge
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Fähigkeiten
Erwerb der Zahlwortreihe
Zählzahlaspekt
Ordinalzahlaspekt
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Zählzahl
Korrektes Zählen
Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen einem
Zahlwort (der Zählzahl), einem Element
und dem Zeigen.
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Ordnungszahl
Schulanfänger beherrschen die Zählzahlen
wesentlich sicherer als die Folge der
Ordnungszahlen
Definition Ordnungszahl: Rangplatz eines
Elementes, z.B. fünfter
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3. Maßzahlaspekt
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Zahlen dienen hier zur Bezeichnung von
Größen (bezüglich einer gewählten Einheit)
• Man fragt: „Wie lang?“, „Wie teuer?“, „Wie
schwer?“, „Wie viel Grad?“
• Bsp.: 2 Kilometer, 40 Cent, 5 Kilogramm, 12°
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4. Operatoraspekt
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Zahlen beschreiben die Vielfachheit einer
Handlung oder eines Vorgangs
• Man fragt: „Wie oft?“ und antwortet mit
einmal, zweimal…
Bsp.: Max hat diese Woche zweimal gefehlt.
Klatsche dreimal in die Hände.
Wie oft hast du den Ball geworfen?
Die Medizin musst du viermal täglich nehmen.
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5. Rechenzahlaspekt
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Zahlen werden als Rechenzahlen benutzt
• Der Rechenzahlaspekt gliedert sich in den
algebraischen und algorithmischen Aspekt:
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a) Algebraischer Aspekt:
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
1+4 = 4+1 => a + b = b + a
Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz)
7+ (3+5) = (7+3) +5 => a+ (b+c) =(a+b) +c
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
4 • (10+3) = 4 • 10 + 4 • 3 => a • (b+c) = a•b + a•c
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b) Algorithmischer Aspekt:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Bsp.:
579
+ 688
1267
834
-359
475
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6. Codierungsaspekt
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Ziffernfolgen dienen dazu Dinge zu
kennzeichnen und zu unterscheiden
• Ziffernfolgen dienen zur Codierung
• Bsp.: Max hat die Telefonnummer 7101716. Das
Buch hat die ISBN-Nummer: 3-86025-480-4.
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Der Codierungsaspekt beinhaltet somit die
organisatorische Unterscheidung und
Bezeichnung von Objekten und Personen durch
Zahlen.
7. Narrativer Aspekt
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Zahlen erzählen eine Geschichte,
stehen symbolisch für etwas;
z.B. 3 für die Dreifaltigkeit.
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(das Adjektiv narrativ = erzählerisch,
von lat. „narrare“ = erzählen ist ein
Fachterminus der Erzähltheorie)
8. Geometrische Formen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Beispiel:
Ein Sechseck (zweidimensional), ein
Würfel hat 6 Flächen (dreidimensional)
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Allerdings:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Zahlaspekte überlagern
sich teilweise und lassen
sich nicht immer
eindeutig zuordnen.
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Beispiel für Zahlaspekte
Gestern
war1101
ich 0001
zum 0100
zweiten
0011
0010 1010
1011Mal
in meinem Leben allein (?) auf
einer Hochzeit. Mit mir waren 72 Gäste anwesend (?). Ich saß
mit mir unbekannten Menschen am zweiten Tisch (?).
In seiner Rede schlug der Brautvater einen interessanten
rhetorischen Haken vom Datum des 12. Dezember über die
Geschichte der 12 Jünger Jesu (?) hin zu der erwartenden
Kinderschar.
Nachdem er 20 Minuten (?) gesprochen hatte, zählte er die
Anzahl seiner bereits geleerten Getränke (1 Begrüßungssekt, +
2 Gläser Wein zum Essen + Bier und zwei Verdauungsschnäpse =
9?!?!) (?) und beschloss aufzuhören.
Schnell tippte ich die Nummer 1234321 (?) in mein Handy, um
meiner Frau, die zuhause die Kinder hüten musste, davon zu
erzählen.
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Beispiel für Zahlaspekte - Lösung
Gestern war ich zum zweiten Mal in meinem Leben allein
0011
0010 1010 1101 0001
0100
1011
(Operatoraspekt)
auf
einer
Hochzeit. Mit mir waren 72 Gäste
anwesend (Kardinalzahlaspekt). Ich saß mit mir unbekannten
Menschen am zweiten Tisch (Ordinalzahlaspekt).
In seiner Rede schlug der Brautvater einen interessanten
rhetorischen Haken vom Datum des 12. Dezember über die
Geschichte der 12 Jünger Jesu (narrativer Aspekt) hin zu der
erwartenden Kinderschar.
Nachdem er 20 Minuten (Maßzahlaspekt) gesprochen hatte,
zählte er die Anzahl seiner bereits geleerten Getränke (1
Begrüßungssekt, + 2 Gläser Wein zum Essen + Bier und zwei
Verdauungsschnäpse = 9?!?!) (Rechenzahlaspekt) und beschloss
aufzuhören.
Schnell tippte ich die Nummer 1234321 (Codierungsaspekt) in
mein Handy, um meiner Frau, die zuhause die Kinder hüten
musste, davon zu erzählen.
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Wiederholung: Welche Teilaspekte gehören zu einem
umfassenden Zahlbegriff (am Beispiel der Zahl „6“)?
Kardinalzahlaspekt:
Beispiel:
0011 0010
1010 1101 0001 0100
1011
Das sind 6 Bücher bzw. 3
Stifte usw. (Anzahl)
Ordinalzahlaspekt: Beispiel: Die Zahl 6 kommt vor der
Zahl 7 und nach der Zahl 5 (Ordnung)
Maßzahlaspekt: Beispiel: Die Mehlpackungen wiegen
insgesamt 6 kg
Operatorsaspekt: Beispiel: Man klatscht mit den Händen
6 mal
Rechenaspekt: Beispiel: Man steht auf Feld 3 und
würfelt eine 6. Somit darf man auf Feld 9
Codierungsaspekt: Beispiel: Telefonnummer oder ISBN
Nummer
Geometrische Formen: Beispiel: Ein Sechseck (zweidimensional), ein Würfel hat 6 Flächen (dreidimensional)
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Literatur
• Focke, Elke: Beobachtungsempfehlungen hinsichtlich elementarer
pränumerischer und arithmetischer Grundlagen. Im Internet:
http://www.learnline.de/angebote /schuleingang/pdf/beo_emp.pdf
(Stand: 14.08.2008)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Hasemann, Klaus: Anfangsunterricht Mathematik. Heidelberg:
Spektrum Akademischer Verlag, 2003
• Jacob, Ursula; Isa, Katja: Grundlagen des MathematikAnfangsunterrichts. Im Internet: http://www.akgrundschule.de/cms/front_content.php?idcat=501 (Stand: 14.06.2008)
• Padberg, Friedhelm: Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung
und Lehrerfortbildung. 3. erw., völlig überarbeitete Aufl., München:
Elsevier, 2005
• Werner, B. (2007) Diagnose und Förderung im Bereich der
Zahlbegriffsentwicklung (In: Walter, J./Wember, F. (2007) (Hrsg.)
Sonderpädagogik des Lernens (Band 2 Handbuch Sonderpädagogik):
Göttingen: Hogrefe 571 – 590)
Im Internet: http://www10.phheidelberg.de/org/allgemein/fileadmin/userupload/wp/werner/Text_Zahlbegriffsentwicklung_Homepage_neu.pdf
(Stand: 14.06.2008)
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Noch Fragen?
Wann kann ein Kind zählen?
Ein Kind kann zählen, wenn es die folgenden grundlegenden mathematischen Fähigkeiten
beherrscht:
0011
0010 1010 1101
0001der
0100
1011 Orientierung Erfahrung mit den ganzen
Körperschema:
Grundlage
räumlichen
Körpern als auch mit einzelnen Körperteilen.
Klassifikation: Ist die Fähigkeit, Gleichheit, Ähnlichkeit und Verschiedenheit zwischen
Gegenständen zu erkennen und sie entsprechend zu ordnen.
Raumorientierung: Begriffe: vorne-hinten, rechts-links, oben-unten,…
Seriation: Fähigkeit, Gegenstände gemäß einer bestimmten Regel in eine Reihe zu
bringen.
Gleichheit von Gegenstandsmengen: Baustein für ein Verständnis von Gleichungen und
bereiten den Zahlenbegriff als Beziehungsbegriff vor.
Stück-für-Stück-Zuordnung: Fähigkeit mit der sich feststellen lässt, ob zwei
Mengen gleichmäßig sind oder nicht.
Mengenvarianz: Grundsatz der Mengenerhaltung erkennen. Unabhängige von Größe,
Anordnung, Verteilung bleibt eine Menge konstant.
Gegenstandsvertreter: bahnen das Verständnis für die Zahl als abstrakte und
Unabänderliche (Invariante) an.
Gegenstände zerlegen und zusammensetzen: Begründen ein Verständnis und
Unterscheidevermögen dieser Rechenoperation.
Mengen vergrößern und verkleinern: Einsicht, dass Zahlen sich aus anderen
zusammensetzen, aus anderen herstellbar sind, Strukturen haben, zerlegbar und
ergänzbar sind.
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Fehlende Zahlvorstellung
Einseitig ordinales Zahlenverständnis:
Die Zahl bezeichnet nicht die gesamte
gezählte Menge, sondern den Rangplatz bzw. das letzte gezählte Element
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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Fehlende
Zahlvorstellung
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Fehlendes Verständnis für Zahlzerlegungen
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Zählendes Rechnen
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Zählendes Rechnen ist meist die
erste Herangehensweise bei
Vorschülern oder Schulanfängern, um
Rechenaufgaben zu lösen.
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• Es ist deshalb nicht zwangsläufig ein
Problem, wenn Kinder zählend
rechnen.
Zählendes Rechnen (2)
ABER
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• es lässt sich durchaus unterscheiden,
ob das zählende Rechnen nur ein sich
auswachsendes „Hilfsmittel“ ist,
• oder ob es die einzige
Rechenstrategie des Kindes und somit
eine Sackgasse ist.
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Zählendes Rechnen (3)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Verfestigtes
zählendes Rechnen
ist das zentrale
Merkmal von
Rechenschwäche.
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Zählendes Rechnen (4)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Nachteile des zählenden Rechnens:
● fehleranfällig
● zeitaufwändig
● nicht anschlussfähig
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Zählendes Rechnen (5)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Die Automatisierung wird erschwert, denn
• … durch den Zählprozess sind die
Schüler so stark absorbiert, dass sie
keine Verbindung mehr zwischen Aufgabe
und Ergebnis herstellen
• … Zusammenhänge zwischen
Analogieaufgaben werden nicht erfahrbar
• … es treten häufig Fehler auf
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Zählendes Rechnen (6)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
● Die Schlussfolgerung daraus kann
nicht sein, den Schülern das Zählen
mit Hilfe der Finger einfach zu
verbieten.
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● Heimliches Zählen im Kopf ist nicht
sinnvoller, sondern nur anstrengender
und zudem fehleranfälliger.
Zählendes Rechnen (7)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Ziel der Förderung sollte vielmehr sein,
innere Vorstellungsbilder aufzubauen
und Strategien zu vermitteln, die das
Zählen nach und nach überflüssig
machen.
• Denken Sie bitte also immer an die
Ausführungen von Herrn Becker und
Herrn Nothelfer . . .
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