Transcript הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות גאולה סבר העבר את זה הלאה Pay it Forward.... הפיצוח – אני ואתה נשנה את העולם

‫הפונקציות המעריכיות‬
‫והלוגריתמיות‬
‫גאולה סבר‬
‫העבר את זה הלאה‪Pay it Forward....‬‬
‫הפיצוח – אני ואתה נשנה את העולם‬
‫העבר את זה הלאה‪Pay it Forward....‬‬
‫"אני אעשה משהו טוב עבור שלושה‬
‫אנשים‪ .‬וכשהם ישאלו כיצד הם יגמלו‬
‫לי בעבור זה‪ ,‬אני אומר להם תעבירו‬
‫את זה הלאה‪ ...‬כל אחד‬
‫מכם יעביר לעוד שלושה אנשים‪ .‬כך‬
‫יוצא שתשעה אנשים נוספים יצטרכו‬
‫לעשות מעשה טוב לעוד עשרים‬
‫ושבעה! ואז תנסו לחשב‪ ...‬אתם רואים‬
‫כמה גדול זה יוצא?"‬
‫הפיצוח – אני ואתה נשנה את העולם‬
‫"אני אעשה משהו טוב עבור‬
‫שלושה אנשים‪ .‬וכשהם ישאלו‬
‫כיצד הם יגמלו לי בעבור זה‪ ,‬אני‬
‫אומר להם העבירו את זה הלאה‪...‬‬
‫לעוד שלושה אנשים‪"...‬‬
1
2
3
4
5
6
‫נדבר מספרים‬
‫כמה אנשים יקבלו להעביר את זה הלאה לאחר שבוע?‬
‫א‪ .‬כ‪ 100-‬אנשים‬
‫ב‪ .‬כ‪ 500 -‬אנשים‬
‫ג‪ .‬כ‪ 1000 -‬אנשים‬
‫ד‪ .‬כ‪ 2000 -‬אנשים‬
‫כיום יש במדינת ישראל כ‪ 7,500,000 -‬תושבים‪.‬‬
‫כמה ימים דרושים כדי שכל תושבי מדינת ישראל ייטלו חלק במבצע?‬
‫א‪ 10 .‬ימים‬
‫ב‪ 14 .‬ימים‬
‫ג‪ 30 .‬ימים‬
‫ד‪ 100 .‬ימים‬
‫נחשב כמה גדול‬
‫זה יוצא‪...‬‬
‫גיליון אלקטרוני ‪EXCEL-‬‬
‫העבר את זה הלאה‬
‫‪1,000‬‬
‫‪950‬‬
‫‪900‬‬
‫‪850‬‬
‫‪800‬‬
‫‪750‬‬
‫‪650‬‬
‫‪600‬‬
‫‪550‬‬
‫‪500‬‬
‫‪450‬‬
‫‪400‬‬
‫‪350‬‬
‫‪300‬‬
‫‪250‬‬
‫‪200‬‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‬‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213‬‬
‫מספר הימים‬
‫מספר האנשים שמעבירים הלאה‪..‬‬
‫‪700‬‬
‫מבצע משלוחי מנות‬
‫‪ .1‬בכל יום נשלח שלושה משלוחים‬
‫‪ .2‬בכל יום מספר משלוחי המנות כריבוע היום‬
‫‪ .3‬בכל יום נעביר הלאה לשלושה אנשים שיעבירו הלאה‪...‬‬
‫במה שונה ההשתנות‬
‫של פונקציה לינארית וריבועית?‬
‫האם המדרגות מתארות נגזרת?‬
‫במה שונה ההשתנות של‬
‫פונקציה ריבועית ופונקציה מעריכית?‬
‫במה שונה ההשתנות‬
‫של פונקציה ריבועית ומעריכית?‬
‫במה שונה ההשתנות של‬
‫פונקציה לינארית ופונקציה ריבועית?‬
‫הפונקציה הריבועית משתנה‬
‫באופן לינארי‪.‬‬
‫הפונקציה המעריכית משתנה‬
‫באופן מעריכי‪.‬‬
‫החיפוש אחר המספר המופלא ‪- e‬‬
‫הפיצוח‬
‫החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫הצעה לשיעור‬
‫בפעילות נחקור כמה מההופעות של המספר ‪ e‬בשלושה היבטים שונים‪:‬‬
‫‪ .1‬נוסחה של ריבית דה ריבית‬
‫‪ .2‬סכום של סידרה אינסופית‬
‫‪ .3‬בסיס של פונקציה מעריכית ‪ -‬חקירה בעזרת כלים ממוחשבים‪.‬‬
‫הפעילות המוצעת היא לעבודה בכיתה בקבוצות‬
‫(אפשר גם כשיעורי בית)‪,‬‬
‫בה כל קבוצה תגלה בעזרת דף העבודה את‬
‫המספר המופלא ‪ e‬בדרך שונה‪.‬‬
‫בסופה של החקירה תציג כל קבוצה בפני‬
‫הכיתה כולה את המספר ‪ e‬שגילתה‪.‬‬
‫הפיצוח‬
‫א‪ -‬החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫ריבית דה ריבית‬
‫‪6‬‬
‫‪(1 100‬‬
‫)‬
‫‪3 2‬‬
‫) ‪(1 100‬‬
‫‪1.5 4‬‬
‫) ‪(1 100‬‬
‫בנק ד‪ :‬משלם ריבית שנתית של ‪ p%‬המחושבת ‪ n‬פעמים‬
‫‪:‬‬
‫השנה‬
‫בסוף‬
‫נקבל‬
‫‪,‬‬
‫בשנה‬
‫‪p‬‬
‫) ‪(1 100n‬‬
‫‪n‬‬
‫א‪ -‬החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫ריבית דה ריבית‬
‫אם נשקיע שקל אחד בבנק המשלם ריבית שנתית של ‪p%‬‬
‫המחושבת ‪ n‬פעמים בשנה‪ ,‬נקבל בסוף השנה‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪100n‬‬
‫)‬
‫‪(1‬‬
‫נניח שבנק מסוים היה מוכן לתת לנו עבור השקל‪,‬‬
‫ריבית של ‪ ,100%‬והיה מסכים לחשב את הריבית מספר‬
‫גדול מאד של פעמים בשנה‪ ,‬האם הבנק היה פושט את‬
‫הרגל?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫?‬
‫‪n‬‬
‫) ‪(1‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪n‬‬
‫א‪ -‬החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫ריבית דה ריבית‬
‫מספר תשלומי‬
‫הסכום‬
‫הריבית‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100‬‬
‫‪150‬‬
‫‪200‬‬
‫‪250‬‬
‫‪300‬‬
‫‪350‬‬
‫‪400‬‬
‫‪450‬‬
‫‪500‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.25‬‬
‫‪2.37037037‬‬
‫‪2.44140625‬‬
‫‪2.48832‬‬
‫‪2.521626372‬‬
‫‪2.546499697‬‬
‫‪2.565784514‬‬
‫‪2.581174792‬‬
‫‪2.59374246‬‬
‫‪2.691588029‬‬
‫‪2.704813829‬‬
‫‪2.709275911‬‬
‫‪2.711517123‬‬
‫‪2.712865123‬‬
‫‪2.713765158‬‬
‫‪2.714408711‬‬
‫‪2.714891744‬‬
‫‪2.715267655‬‬
‫‪2.715568521‬‬
‫‪2.716923932‬‬
‫חישוב בעזרת המחשבון‬
‫או בעזרת גליון ‪EXCEL‬‬
‫‪(1 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪n‬‬
‫ב ‪ -‬החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫סכום אינסופי של סדרה‬
‫ב ‪ -‬החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫סכום אינסופי של סדרה‬
‫החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫רגע היסטורי‬
‫הנוסחה היפה במתמטיקה ‪,‬‬
‫התכשיט של המתמטיק ֱה‬
‫‪i‬‬
‫‪e 1 0‬‬
‫נוסחת אוילר – הבלוג לא מדויק‬
‫ג ‪ -‬החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫בסיס של פונקציה מעריכית‬
‫נחפש פונקציה‬
‫שניגזרתה שווה‬
‫לפונקציה עצמה‪.‬‬
‫נחפש פונקציה ‪,f(x) = ax‬‬
‫כזו ששיפוע המשיק שלה‬
‫בנקודה בה ‪ x=0‬הוא ‪.1‬‬
‫‪f’(0) = 1‬‬
‫ג ‪ -‬החיפוש אחר המספר המופלא ‪e‬‬
‫בסיס של פונקציה מעריכית‬
‫נחפש פונקציה שנגזרתה שווה לפונקציה עצמה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‘( ‪(e‬‬
‫זוג מספריים באות אל הפונקציה ‪ ex‬ומאיימות לגזור אותה‪.‬‬
‫הפונקציה עונה‪" :‬גזור אותי לא מפחדת‪."......‬‬
‫נהפוך את גרף הפונקציה‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫זוג הפונקציות ההפוכות‬
x 
ex  
x 
x  
ex  0
x 0
ln( x )  
ln( x )  
‫זוג הפונקציות ההפוכות‬
‫כמה נקודות חיתוך יתכנו‬
‫לפונקציות ההפוכות ?‬
‫‪ 2‬נקודות חיתוך‬
‫‪ 1‬נקודת חיתוך‬
‫‪ 0‬נקודות חיתוך‬
‫‪ 3‬נקודות חיתוך‬
‫הפיצוח – הפוך על הפוך‬
‫פתרונות‬
‫הנגזרת של פונקציות הפוכות )‪g(x)=f-1(x‬‬
‫‪g(b)=a‬‬
‫‪f(a)=b‬‬
‫‪f '(a)  tg‬‬
‫‪g '(b )  tg ‬‬
‫) ‪ tg (90  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪tg‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f '(a ) ‬‬
‫) ‪g '(b‬‬
‫מתוך‪" :‬הוכחות ויזואליות ללא מילים"‬
‫מאת א‪ .‬זסלבסקי‪ ,‬ג‪ .‬ויניצקי‪ ,‬קשר ח"ם‪.‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה הלוגריתמית‬
1
f '(a ) 
g '(b )
ea=b
ln(b)=a
1
1 1
(ln(b))'  a  a 
(e )' e
b
1
(ln x )' 
x
‫זוגות של פונקציות‬
‫לפניכם זוג של פונקציות‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x )  x  3x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪g( x )  e‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫במה הן דומות ובמה הן שונות? לפניכם זוג של פונקציות‬
‫‪ ‬נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬תחומי עליה וירידה?‬
‫‪ ‬זוגיות?‬
‫‪ ‬אסימפטוטות?‬
‫זוגות של פונקציות‬
‫ועוד זוג של פונקציות‬
‫‪f ( x )  x 3  3x 2‬‬
‫)) ‪g ( x )  ln(f ( x‬‬
‫במה הן דומות ובמה הן שונות? לפניכם זוג של פונקציות‬
‫‪ ‬נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬תחומי עליה וירידה?‬
‫‪ ‬זוגיות?‬
‫‪ ‬אסימפטוטות?‬
‫שאלון ‪004‬‬
004 ‫שאלון‬
x 2  5x  6  1
x1,2  1.38,3.61
x 
ln( x )  
y=1
x 0
ln( x )  
!‫תודה על ההקשבה‬
[email protected]