Transcript UNIFRA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Investigando Alturas de Prédios e Monumentos Aluna do Mestrado: Kátia Luciane Souza da Rocha Professora E.E.E.M.

UNIFRA
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM
ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA
Investigando Alturas de Prédios e
Monumentos
Aluna do Mestrado: Kátia Luciane Souza da Rocha
Professora E.E.E.M Dr. Fernando Abbott da cidade
de São Gabriel– RS
2009
Esse trabalho foi desenvolvido em uma turma de 28 alunos
da 8ª série do Ensino Fundamental da Escola Estadual de Ensino
Médio Dr. Fernando Abbott em São Gabriel – RS com o objetivo de
aplicar os conhecimentos de trigonometria para calcular a altura de
prédios e monumentos da cidade.
Temática:
Investigando Alturas de Prédios e
Monumentos de São Gabriel
Museu de Armas do Exército
Monumento à Celestino
Objetivos
 Aplicar as definições de seno, cosseno e tangente de
um ângulo na resolução de problemas;
 Determinar o valor do seno, do cosseno e da
tangente de um ângulo;
 Calcular a altura de prédios, monumentos, árvores, etc...
utilizando as noções de trigonometria;
 Aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo
para resolver o problema.
Etapas para o desenvolvimento da temática
1ª etapa:
Os alunos leram o texto “Tales, o homem da
sombra” disponível no apêndice do livro didático
dos alunos para dar início ao estudo do tema
proposto.
Tales, o homem da sombra
[...] Após alguns dias de uma viagem interrompida por numerosas escalas nas cidades à margem do rio, ele a
avistou. Erguida no meio de um platô, não longe da beira do rio, a pirâmide de Quéops! Tales nunca havia visto nada
tão imponente. Duas outras pirâmides, a de Quéfren e a de Miquerinos, se elevavam no platô; ao lado daquela
pareciam pequenas [...]
As dimensões do monumento superavam tudo que ele havia imaginado. [...] À medida que se aproximava,
seu andar foi ficando mais lento, como se o monumento, por sua simples massa conseguisse moderar sua marcha.
Sentou-se, vencido. Um felá[1] de idade indefinida acocorou-se ao seu lado. “Sabes estrangeiro, quantos mortos
custou esta pirâmide, que tu pareces admirar?”. “Milhares, sem dúvida.” [...]
Quaisquer que tenham sido os objetivos do faraó, uma coisa era certa: a altura da pirâmide era impossível de
ser medida. Era a construção mais visível do mundo habitado e a única que não podia ser medida. Tales resolveu
enfrentar o desafio [...] Quando o sol clareou o horizonte, Tales se levantou. Viu sua sombra se estender na direção
oeste; pensou que qualquer que fosse a pequenez de um objeto, sempre existia uma luz que o tornasse grande. [...]
“Como minha mão não pode efetuar a medição, meu pensamento vai fazê-lo”, prometeu-se. Tales observou
longamente a pirâmide, precisava encontrar um aliado “à medida” de seu adversário. Lentamente, seu olhar foi de seu
corpo à sua sombra, de sua sombra a seu corpo, depois voltou-se para a pirâmide. [...] Tratando de modo semelhante
o homem minúsculo e a gigantesca pirâmide, o Sol estabelece a possibilidade da medida comum. Tales compenetrouse dessa ideia: a relação que mantenho com minha sombra é a mesma que a pirâmide mantém com a dela.
Disso deduziu o seguinte: no instante em que minha sombra for igual à minha estatura, a sombra da pirâmide
será igual à sua altura! Aí estava a ideia procurada. Agora tinha de conseguir executá-la. Tales não podia efetuar
sozinho a operação. Precisavam ser dois. O felá topou ajudá-lo. Talvez tenha sido assim mesmo que a coisa
aconteceu. Como podemos saber? No dia seguinte, desde o nascer do Sol, o felá se dirigiu para o monumento e
sentou-se à imensa sombra da pirâmide. Tales traçou na areia uma circunferência de raio igual a sua altura, postou-se
no centro e ficou de pé bem reto. Depois fixou os olhos na ponta da sua sombra. Quando esta tocou a circunferência,
isto é, quando o comprimento de sua sombra ficou igual à sua altura, deu o grito combinado. O felá, que estava à sua
espera, fincou imediatamente uma estaca no lugar atingido pela extremidade da sombra da pirâmide. Tales correu
para a estaca. Juntos, sem trocar uma palavra, com a ajuda de uma corda bem esticada, mediram a distância que
separava a estaca da base da pirâmide.
Quando calcularam o comprimento da sombra, conheceram a altura da pirâmide! [...] Tales estava contente de
si. Com a ajuda do felá ele havia inventado uma artimanha. A vertical é inacessível? Posso obtê-la pela horizontal. Não
posso medir a altura porque ela se perde no céu? Medirei sua sombra aplainada no chão. Com o “pequeno” medir o
“grande”. Com o “acessível” medir o “inacessível”. Com o “próximo” medir o “distante”. [...] Duas condições: a sombra
deve ser igual à pirâmide e deve ser perpendicular a base. [...]
- A pirâmide de Quéops se encontra em Gizé, a 30º de latitude, no hemisfério Norte[...] Para que a sombra
seja igual ao objeto, os raios tem de estar inclinados a 45º. Ora, no verão, ao meio dia, em Gizé, os raios são quase
verticais. Não haverá sombra nenhuma durante todo um período do ano. Além disso, para que a sombra seja
perpendicular à base, tem de estar orientada norte-sul.
Essas condições só estão reunidas em dois dias por ano. Os astrônomos afirmam que a medida de Tales só
pode ter sido feita[...] no dia 21 de novembro ou 20 de janeiro [...]
- O teorema provavelmente é geral, mas a medida é bem particular. Quando Tales achou, concretamente? [...]
- Ele só dispunha de uma corda e precisava de uma unidade de medida. Utilizou o tales, isto é, sua própria
estatura. Com a corda, cujo comprimento havia ajustado à sua estatura, mediu a sombra. Achou dezoito tales. Depois
mediu o lado da base, dividiu por dois e achou 67 tales. Adicionou e escreveu o resultado bem grande numa folha. A
pirâmide de Quéops mede 85 tales.
- Ora, em medida local, o tales valia 3,25 côvados egípcios, o que dá 276,25 côvados ao todo. Hoje sabemos
que a altura da pirâmide de Quéops é de 280 côvados. Ou 147 metros! [...]
GUEDJ, Denis. O teorema do papagaio. Trad. Eduardo Brandão.
São Paulo: Companhia das Letras, 1999. p. 42-44, 48, 52-56
.
Alguns dados históricos de Tales de Mileto
Conta-se que um
faraó desafiou o
astrônomo
matemático grego
Tales a medir a altura
da grande Pirâmide
de Quéops.
Tales de Mileto
Pirâmide de Quéops
Noções prévias de trigonometria
para a compreensão dos
argumentos de Tales.
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Trigonometria
é o estudo
das
relações
existentes entre as medidas dos ângulos e dos
lados de triângulos retângulos.
A palavra Trigonometria resultou da composição de três
palavras gregas:
Medida
Metria
Três
Tri
Ângulos
Gonos
Conceitos necessários para analisar as relações
trigonométricas de um Triângulo Retângulo
C
Triângulo retângulo
é um triângulo que
possui um ângulo
reto (90º) e os
outros dois ângulos
agudos
(menores
que 90º).
A
B
Os lados de um triângulo retângulo recebem
nomes especiais que são dados de acordo com a
posição em relação ao ângulo reto.
C
Hipotenus
a
Cateto
B
A
Cateto
No triângulo retângulo abaixo tem-se:
α é um ângulo agudo
C
a é a hipotenusa
b cateto oposto ao ângulo agudo α
c cateto adjacente ao ângulo agudo α
a
b
α
A
c
B
No estudo da Trigonometria, os catetos recebem nomes
especiais de acordo com a sua posição em relação ao
ângulo sob análise.
C
Se
estivermos
operando
com o ângulo C, então o
lado oposto, indicado por
“c”, é o cateto oposto ao
b
ângulo C e “b” é o cateto
adjacente.
c
Se estivermos operando
com o ângulo B, então o
lado oposto, indicado por
“b”, é o cateto oposto ao
b
ângulo B e “c” é o cateto
adjacente
c
B
Considerando-se o ângulo agudo α tem-se as seguintes
Razões Trigonométricas entre os lados do Triângulo
Retângulo
C
α
A
B
cateto oposto a α
hipotenusa
= Seno de B
cateto adjacente a α
hipotenusa
= Cosseno de B
cateto oposto a α
cateto adjacente
= Tangente de B
Assim, adotaremos que:
Letra
Lado
a
Triângulo
Vértice = Ângulo
Medida
Hipotenusa
A = Ângulo reto
A=90°
b
Cateto
B = Ângulo agudo
B<90°
c
Cateto
C = Ângulo agudo
C<90°
Ângulo
Lado oposto
Lado adjacente
C
c cateto oposto
b cateto adjacente
B
b cateto oposto
c cateto adjacente
Após recordar as noções de trigonometria ,a idéia de Tales foi
de calcular a altura da pirâmide com base na proporção entre
as sombras.
altura da pirâmide
bastão fincado
verticalmente
no chão.
Como os triângulos possuem dois ângulos congruentes
então eles são semelhantes, logo possuem os lados
proporcionais.
(desconhecida)
comprimento da
sombra da
pirâmide
(conhecida)
altura da pirâmide
sombra de pirâmide
altura da vara
sombra da vara
(desconhecida)
(conhecida)
comprimento da
sombra do h
p
Logo:
bastão
Svara
Spirâmide
X hvara
A seguir, também mediu o comprimento da sombra da
pirâmide. Sua idéia era calcular a altura da pirâmide com base
na proporção entre as sombras.
altura da pirâmide
bastão fincado
verticalmente
no chão.
comprimento da
sombra da
pirâmide
comprimento da
sombra no
bastão
Algumas aplicações da trigonometria
Se um engenheiro
precisa saber a
largura de um rio
para construir uma
ponte, por
exemplo, o
trabalho dele é
mais fácil quando
ele usa os
conhecimentos de
trigonometria.
Um cartógrafo
(desenhista de
mapas) precisa
saber a altura de
uma montanha, o
comprimento de
um rio, etc.
Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um
mapa.
Tudo isto é possível calcular mais facilmente com o uso da
trigonometria.
Pesquisa de Campo
Em grupos, os alunos
escolheram um bairro da
• Selecionaram três
estruturas a serem
medidas posteriormente;
cidade e o percorreram
investigando estruturas
como igrejas, prédios,
prefeitura, torres,
monumentos, árvores...
• Fizeram anotações
utilizando um formulário
que continha ítens que
auxiliaram no
desenvolvimento do
projeto;
Os alunos providenciaram o
material necessário para medir as
alturas e construiram um
astrolabio com material de sucata
Material utilizado para a Construção
de um astrolábio alternativo
Transferidor de 180º
Canudinho de refrigerante ou um tubo de caneta
Percevejos ou fita adesiva.
A construção é muito
simples: basta fixar com o
percevejo
uma
das
extremidades do canudinho
no centro do transferidor.
Desse modo, o canudinho
poderá girar em torno desse
pino,
percorrendo
livremente
a
parte
graduada e permitindo fazer
a leitura dos ângulos de
elevação.
Monumentos Escolhidos
pelos grupos
Prédio da Maçonaria
Praça Central
Igreja Matriz de São Gabriel - RS
Prefeitura de São Gabriel - RS
Monumento em Homenagem
ao Arcanjo Gabriel
Silos de Arroz desativados
Imagem dos silos da
Empresa Urbano
Usando o astrolábio
Medição
Inicialmente, os alunos posicionaram-se a uma distância
“d” da estrutura escolhida.
Com o auxilio da trena,
verificaram qual distância
estavam da estrutura.
Com o auxílio do astrolábio,
determinaram o ângulo de
elevação
da estrutura
escolhida. Direcionaram a
linha de fé do transferidor
horizontalmente para um
ponto do prédio.
Mantiveram o instrumento fixo nessa posição e, girando o
canudinho de modo que ele aponte para o alto da estrutura
escolhida, observaram a medida do ângulo (α) indicada na
escala do transferidor.
O próximo passo era encontrar um modelo que
ilustrasse o que estavam observando e com o auxílio da
tabela trigonométrica, descobrir a altura da estrutura
observada.
Assim, era possível verificar que, multiplicando a
tangente do ângulo observado, pela distância que estavam
em relação à estrutura observada e adicionando a sua
própria altura , encontrariam a altura procurada.
O modelo matemático descrito foi: H = h + d. tgα.
Ainda foi solicitado ao grupo que fizesse o
desenho da estrutura observada, e que este
desenho servisse como um modelo matemático
onde fosse possível verificar a existência do
triângulo retângulo na figura.
Prefeitura de São Gabriel - RS
67º
1,62m
6m
H = d * tg 67º + h
H = 6 * 2,14 + 1,62
H = 14,46 m
Como exercício para verificar a compreensão dos
alunos em relação à medição realizada, utilizando as ideias
de Tales, solicitou-se que
fizessem um desenho, com
legendas explicativas, sobre essa medição.
H
h
d
modelo matemático
Desenho e cálculos
Logo
depois,
foi
solicitado
ao
grupo
que
respondesse como se pode medir a altura de uma árvore
num dia nublado, e também que determinasse a altura de
uma parede, de um poste ou de uma árvore, com o auxílio
das sombras, fazendo um desenho com legendas para
mostrar suas conclusões.
Cálculo da altura de um poste
Finalizando a Temática
Como fecho da temática
estudada solicitou-se que o
grupo de alunos construísse
uma maquete, reproduzindo
de modo mais fiel possível os
elementos envolvidos nessa
medição.
Os alunos poderiam utilizar madeira, cartolina, linhas, pregos,
desde que mantivessem a proporção entre a construção real e a
maquete. Numa etiqueta, deveriam ser identificados o nome e
a altura do objeto real, bem como as medidas dos ângulos e a
respectiva escala.
Formulário para atividade do Projeto “Investigando Alturas”
Grupo:.............Escolha um nome para seu grupo... Seja criativo
Série: ..............................................
Turma: ..................................
Componentes: ...........................................................,.............................................
Data do passeio investigativo: ...............................................
Estrutura observada:..............................................................................................
........................................................................................................................
Nome do produto:.............................................................................................
Altura Estimada: .............................................................................
Desenho: Desenhe a estrutura escolhida
Cálculo: Mostre como você procedeu com os cálculos
Altura Calculada: ..................................................................