Transcript PENCERMINAN ( Refleksi ) Definisi Pencerminan terhadap garis s, dilambangkan dengan Ms, adalah suatu pemetaan yang memenuhi : untuk sebarang A dibidang V berlaku Ms(A) = A , jika A.

PENCERMINAN ( Refleksi )
Definisi
Pencerminan
terhadap
garis
s,
dilambangkan dengan Ms, adalah suatu
pemetaan yang memenuhi :
untuk sebarang A dibidang V berlaku
Ms(A)
= A , jika A di s
=
B, sedemikian sehingga s adalah
sumbu AB, jika A tidak di s.
Rumus Pencerminan ( I )
• Misal s garis dengan persamaan
s : ax + by + c = 0.
• Jika P(x,y) diluar s dan P’(x’,y’)=Ms(P) ,
maka PP’s
sehingga harus dipenuhi :
(*)
• Kemudian titik tengah PP’ terletak pada s,
sehingga berlaku :
a (x  x') b ( y  y')  c  0
2
2
(**)
• Dari (*) dan (**) diperoleh
• bx’ - ay’ = bx – ay
• ax’ + by’ = -ax – by – 2c , sehingga
2
a
(
ax

by

c
)
x' x 
2
2
a b
2
b
(
ax

by

c
)
y' y 
2
2
a b
Rumus Pencerminan ( II )
• Misal s persamaan garis yang dinyatakan
dalam persamaan bentuk normal :
s : xcos  + ysin - p =0 , dengan p adalah
jarak s terhadap pusat sumbu dan  besar
sudut yang dibentuk oleh garis yang tegak
lurus s dengan sumbu X.
• Tampak bahwa antara persamaan garis dalam
bentuk normal dan persamaan garis pada
rumus pencerminan I terdapat hubungan :
a = cos , b = sin  dan c = -p.
.
p
s

O
Tampak bahwa antara persamaan garis dalam bentuk
normal
dan
persamaan
garis
pada
rumus
pencerminan I terdapat hubungan : a = cos ,
b = sin  dan c = -p.
Dengan menggantikan nilai-nilai a = cos  , b = sin 
dan c = -p pada rumus pencerminan I diperoleh :
x’ = -x cos2 -y sin 2 + 2p cos 
y’ = -x sin 2 + y cos 2 + 2p sin 
x’ = -x cos2 -y sin 2 + 2p cos 
y’ = -x sin 2 + y cos 2 + 2p sin 
 x'  cos2
 y'    sin 2
  
 sin 2   x 
cos 
 2 p




cos2   y 
 sin  
Rumus Pencerminan III
Misal
g
suatu
garis
yang
dinyatakan
dalam
persamaan :
g : y = x tan .
P’(x’,y’)
-
-

y = x tan 
P(x,y)

Misalkan P’(x’,y’) = Mg(P) , maka diperoleh :
x’ = OP’cos (2-) = OP’(cos2cos+sin2sin)
x
y
= OP’(cos2(
))+sin2(
))
OP '
OP '
= x cos2+ y sin2
y’ = OP’sin (2-) = OP’(sin2cos - cos2sin)
= x sin2 - y cos2
Akhirnya diperoleh rumus pencerminan terhadap garis g
dengan persamaan g : y = x tan  sebagai berikut.
x’ = x cos2+ y sin2
y’ = x sin2 - y cos2
atau dalam bentuk matriks :
 x'  cos2
 
  
 y'  sin2 
sin2   x 
 
-cos2   y
Teorema
• Pencerminan adalah suatu isometri.
• Dibuktikan secara geometris
• Untuk sebarang dua titik dan garis
beberapa kasus yang mungkin adalah.
1.
B
B’
A=A’
2.
A
B’
B
A’
B
• 3..
.
A=A’
B’
A
4.
B’
B
A’
5.
A’
B
B’
A
Teorema
• Pencerminan adalah suatu involusi
• Titik tetap dari pencerminan Ms
adalah
semua titik pada s, sedangkan garis tetap
dari Ms adalah garis s dan semua garis yang
tegak lurus pada s.
•Jika s tegak lurus t dan P=(s,t) , maka MtMs=HP.
s
A”
P
E
t
A
D
A’
Bukti
Ambil sebarang titik A di bidang V.
Misal A’=Ms(A) dan A”=Ms(A’) .
Diperoleh A”=(MsMs)(A).
Karena P pada s maka |PA|=|PA’|. Juga karena P pada t, maka
|PA’|=|PA”|. Akibatnya diperoleh |PA|=|PA”|.
Misalkan D titik tengah AA’ dan E titik tengah A’A”,
maka
m(<DPA)=m(<DPA’)
m(<EPA’)=m(<EPA”).
Tetapi
dan
karena
m(<DPA’)+m(<EPA’)=900, maka jumlah keempat
sudut tersebut adalah m(<APA”)=2x900=1800 . Ini
berarti A, P , A” segaris, dan P adalah titik tengah
AA”. Sehingga terbukti MtMs = HP.
Jadi terbukti jika s tegak lurus t dan P=(s,t) , maka
MtMs=HP.
.
• Teorema
Jika dua garis a,b dengan
a//b, maka MbMa=SCD dengan |CD|=2
x jarak (a,b) dan CD a.
P’
P’’
P
A
B
D
a
b
.
• Teorema
Jika dua garis a,b dengan
a//b, maka MbMa=SCD dengan |CD|=2
x jarak (a,b) dan CD a.
P’
P’’
P
•
A
B
D
a
P
b
Bukti
Misal s adalah sebarang garis sedemikian sehingga
sa dan misal A=(a,s) serta B=(b,s). Dari teorema
sebelumnya telah diperoleh MsMa=HA dan MbMs=HB
, sehingga :
Mb Ma = Mb I Ma
= Mb (MsMs )Ma
= Mb MsMs Ma
= (Mb Ms )(Ms Ma)
= HBHA
= SCD dengan |CD|= 2 |AB|
Jadi terbukti jika dua garis a,b dengan a//b, maka
MbMa=SCD dengan |CD|=2 x jarak (a,b) dan CD a.
•Suatu geseran SAB selalu dapat
dinyatakan sebagai hasil kali dua
pencerminan Ms dan Mt dengan s//t dan s 
AB, sedangkan jarak (s,t) adalah ½ |AB|.
t
s
A
B
Bukti
Dari titik-titik A dan B yang diketahui, diperoleh SAB
yang tertentu. Misal s adalah sebarang garis
sedemikian sehingga sAB, dan t sebarang garis
dengan t//s dan jarak (s,t)= ½ |AB|. Dari teorema
sebelumnya dapat dengan mudah ditunjukkan
bahwa hasil kali MtMs tak lain adalah SAB.
Diketahui titik-titik A,B, dan garis t dengan
t AB seperti terlihat dibawah ini .
a. Lukis s sedemikian sehingga SAB = MsMt.
b. Lukis p sedemikian sehingga SAB=MtMp
.B
s
.A
t
p
.A
t
.B
Misal
A=(10, 1), B=(-2,7) dan garis l dengan
persamaan l y= 2x + 10
Tentukan persamaan garis s, sehingga
S AB  M l M s
S AB  M s M l
Diketahui garis MN dan titik-titik A dan B yang letaknya
disatu pihak terhadap MN.
Tentukan titik P pada MN sedemikian sehingga m(<APM) =
m(<BPN).
M
A
B
.P
N
A.
B .
M
P
N
A
B
M
P
N
B’
Andaikan titik P telah diperoleh, yang berarti
m(<APM)=m(<BPM), maka kalau B direfleksikan
terhadap MN diperoleh B’=MMN(B).
Sehingga diperoleh m(<B’PN)=m(<BPN)=m(<APM) ,
sehingga APB’ segaris. Dapat disimpulkan bahwa
urutan cara melikis adalah :
a. Refeleksikan B terhadap MN dan diperoleh B’.
b. Tarik garis AB yang memotobg MN pada P.
c. Titik P adalah titik yang ditanyakan.
. P’
.P