Transcript مقرر االحصاء عرض 160 المحاضرة ( )7 أ . عهد الشائع *مفهوم اإلنحدار الخطي البسيط وتطبيقاته*

‫مقرر االحصاء عرض ‪160‬‬
‫المحاضرة (‪)7‬‬
‫أ ‪ .‬عهد الشائع‬
‫*مفهوم اإلنحدار الخطي البسيط‬
‫وتطبيقاته*‬
‫اإلنحدار الخطي البسيط‬
‫مفهوم التنبؤ (التوقع ) ‪:‬‬
‫هو تقدير القيمة المستقبلية لمتغير واحد بنا ًء على معرفة قيم‬
‫متغير آخر ‪ ,‬ومن الممكن استخدام مفهوم االرتباط في عملية‬
‫التنبؤ ‪.‬‬
‫تحليل االنحدار ‪:‬‬
‫تحتاج عملية التنبؤ إلى خطوتين أساسيتين ‪:‬‬
‫الخطوة االولى ‪ :‬تعيين خط االنحدار ‪ ,‬وهي معادلة‬
‫رياضية ‪.‬‬
‫الخطوة الثانية ‪ :‬استخدام هذه المعادلة الرياضية في‬
‫التنبؤ ‪.‬‬
‫تحليل االنحدار ‪:‬‬
‫هو عبارة عن أسلوب إحصائي يقوم بصياغة أثر عدة ظواهر مؤثرة ‪ x1 , x2 ,.....,xm‬على‬
‫ظاهرة معينة ‪ y‬على شكل دالة رياضية بغرض توقع قيم غير معروفة لها ‪ .‬وتسمى‬
‫الدالة الرياضية المصاغة بإسم دالة االنحدار وتكون على الصورة )‪y  .f ( x1, x2 ,..., xm‬‬
‫* تسمى‬
‫بالمتغير التابع ‪.‬‬
‫‪,.....,xm‬‬
‫‪x ,x‬‬
‫‪2‬‬
‫دالة االنحدار ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫بالمتغيرات المستقلة ‪ ,‬والمتغير ‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  a  bx‬‬
‫* حيث ‪ a‬هو ‪ :‬ثابت االنحدار أو الجزء المقطوع من محور ‪y‬‬
‫ويحسب من ‪:‬‬
‫‪ y b x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫* وحيث ‪ b‬هو ‪ :‬ميل المستقيم أو معامل انحدار‬
‫ويحسب من ‪:‬‬
‫) ‪n  xy  ( x)( y‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪x‬‬
‫‪n  x  (‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫‪b‬‬
‫مالحظات هامة ‪:‬‬
‫• ميل الخط يمثل كمية التغير في ‪ y‬المناظرة للتغير في ‪ x‬بمقدار وحدة واحدة‪.‬‬
‫• إشارة معامل االنحدار تدل على نوع االرتباط (طردي أو عكسي ) ‪.‬‬
‫• توجد عالقة بين معامل االنحدار ومعامل االرتباط الخطي ‪.‬‬
‫مثال (‪: )4-8‬‬
‫لدراسة عالقة االستهالك المحلي (‪ )y‬باإلنتاج (‪ )x‬لمادة االسفلت‬
‫(بالمليون برميل ) خالل عدة سنوات ‪ ,‬أخذنا عشر قراءات تقريبية‬
‫كما يلي ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪13‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪y‬‬
‫أوجدي معادلة االنحدار الخطي البسيط ‪ ,‬وتوقعي قيمة االستهالك‬
‫المحلي عندما يصل إنتاج ‪ 11,000,000‬برميل ؟‬
/ ‫الحل‬
x
y
xy
x
2
10
6
60
100
13
8
104
169
15
9
135
225
14
8
112
196
9
7
63
81
7
6
42
49
6
5
30
36
6
6
36
36
5
5
25
25
5
5
25
25
x
90
y
 xy
65
632

x
942
2
‫‪ 0.36‬‬
‫‪ 3.26‬‬
‫)‪6320 (90)(65‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪9420 (90‬‬
‫)‪65  (0.36  90‬‬
‫‪10‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪n  xy  ( x)( y‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪x‬‬
‫‪n  x  (‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y b x‬‬
‫‪n‬‬
‫اذن معادلة خط االنحدار البسيط ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  3.26  0.36x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  a  bx‬‬
‫ولتوقع قيمة االستهالك المحلي عندما يصل ‪ 11.000.000‬برميل‬
‫نحول الوحدة من البرميل الى مليون برميل بالقسمة على مليون أي أن‬
‫قيمة االنتاج ‪ x=11‬بالتعويض في معادلة االنحدار ‪:‬‬
‫‪ 7.22‬‬
‫‪‬‬
‫)‪y  3.26  0.36(11‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  a  bx‬‬
‫أي ان االستهالك المحلي يصل الى ‪ 7.22‬مليون برميل أي مايعادل ‪7220000‬‬
‫برميل خالل السنة ‪.‬‬
‫مسائل محلولة ‪)1-5-4 :‬‬
‫لدراسة العالقة بين الدخل (‪ )x‬واالستهالك (‪ )y‬بآالف الرياالت ‪,‬‬
‫كانت النتائج االتية ‪:‬‬
‫‪ xy  516‬‬
‫‪n  40‬‬
‫‪ y  100‬‬
‫‪ x  120‬‬
‫‪ y  406‬‬
‫‪ x  711‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (1‬احسبي معامل االرتباط الخطي بين الظاهرتين ‪ ,‬مانوع‬
‫االرتباط؟ ومامدى قوته ؟‬
‫‪ (2‬معادلة خط انحدار االستهالك على الدخل ؟‬
‫‪ (3‬تقدير استهالك عندما يصل الدخل الى ‪ 10000‬لاير‬
)1 / ‫الحل‬
r
p

n  xy  ( x)( y )
n  
 n  

 x ( x)   y ( y) 
2
2
2
2
40(516)  (120)(100)
rp 
2
2
40(711) 
 40(406) 

(
120
)
(
100
)

 


b
8640
9360
 0.92
. ‫نالحظ ان االرتباط طردي قوي بين الدخل واالستهالك‬
)2
40(516)  (120)(100)
n  xy  ( x)( y )
n  x  (
2
b
2
40(711)  (120)
2
x)

8640
14040
 0.62
‫) ‪100  (0.62  120‬‬
‫‪ 0.64‬‬
‫‪40‬‬
‫‪a‬‬
‫اذن معادلة خط االنحدار ‪:‬‬
‫‪ y b x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  0.64  0.62x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  a  bx‬‬
‫‪)3‬‬
‫نحول وحدة القياس اآلف الرياالت الى الريال بالقسمة على ‪1000‬‬
‫وبالتالي قيمة الدخل ‪x=10‬‬
‫‪ 6.84‬‬
‫‪‬‬
‫)‪y  0.64  0.62(10‬‬
‫أي ان قيمة االستهالك تساوي ‪ 6840‬لاير‬
‫‪‬‬
‫‪y  a  bx‬‬
‫‪)4-5-4‬‬
‫البيانات التالية تمثل بيانات المصروفات االدارية (‪ )x‬واالرباح (‪)y‬‬
‫باآلف الرياالت لعينة من المنشآت في مدينة ما ‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫المصروفات‬
‫االدارية‬
‫(‪)x‬‬
‫قدري االرباح عندما تبلغ المصروفات االدارية ‪ 4000‬لاير إذا علمتي أن ‪:‬‬
‫‪b  0.11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y  227‬‬
‫‪ x  275‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xy  213‬‬
‫االرباح (‪)y‬‬
‫الحل ‪/‬‬
‫‪ 5.93‬‬
‫)‪37  ( 0.11  41‬‬
‫‪a‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ y b x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫اذن معادلة خط االنحدار ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  5.93  0.11x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  a  bx‬‬
‫ولتقدير االرباح عندما تكون المصروفات االدارية ‪ 4000‬لاير ‪ ,‬الوحدة اآلف‬
‫الرياالت بالقسمة على ‪ 1000‬اذن ‪ x= 4‬فإن تقدير االرباح هو ‪:‬‬
‫‪ 5.59‬‬
‫‪‬‬
‫)‪y  5.93  0.11(4‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  a  bx‬‬