Transcript FUNCIONES INTRODUCCIÓN En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos cuenta) con la noción de correspondencia.

FUNCIONES
INTRODUCCIÓN
En la vida diaria nos
encontramos (a veces sin darnos
cuenta) con la noción de
correspondencia. Muchos modelos
matemáticos se describen mediante
el concepto de función.
EJEMPLOS
1.
2.
Un fabricante desea conocer la
relación o correspondencia entre las
ganancias de su compañía y su nivel
de producción.
Un biólogo se interesa en el cambio
de tamaño de cierto cultivo de
bacteria con el paso del tiempo.
EJEMPLOS
3. Un psicólogo quisiera conocer la
relación o correspondencia entre el
tiempo de aprendizaje de un individuo y
la longitud de una lista de palabras.
4. Un químico le interesa la relación o
correspondencia entre la velocidad
inicial de una reacción química y la
cantidad de sustrato utilizado, etc.
Una función es una regla de
correspondencia entre dos conjuntos de tal
manera que a cada elemento del primer
conjunto le corresponde uno y sólo un
elemento del segundo conjunto.
DEFINICIÓN
Sean A y B dos conjuntos no
vacíos y f una regla que hace
corresponder a cada elemento x de
A un único elemento y de B.
Esta correspondencia se llama
FUNCIÓN de A en B y se denota
por:
f: A  B
x  y = f(x),
lo cual se lee “f de x”
Una definición equivalente:
Sea f: A  B una relación,
entonces se dice que f es una
función si y sólo si:
EJEMPLO DE FUNCIÓN
OBSERVACIÓN
1. La variable y se denomina imagen
de x mediante f.
2. La variable x es la pre - imagen de y
por f.
3. La variable x se denomina variable
independiente y a y variable
dependiente.
FORMAS DE ESPECIFICAR
FUNCIONES
Generalmente las
expresan estableciendo
función por medio de
algebraica en términos
independiente.
Ejemplo:
f(x) = 4x - 4
funciones se
el valor de la
una expresión
de la variable
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto de valores para los
cuales la función está definida. Es el conjunto
de las pre imágenes.
Matemáticamente el dominio viene
dado por:
RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto de imágenes de f.
Matemáticamente el dominio viene
dado por:
CARACTERISTICAS DE
LAS FUNCIONES
FUNCIÓN INYECTIVA
Sea f: A B, tal que f(x) = y, f es
inyectiva si y solo si:
f(x1) = f(x2)  x1 = x2
FUNCIÓN INYECTIVA
FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Sea f: A B, tal que f(x) = y, f es
sobreyectiva si y solo si:
Observación
1. La función f es sobreyectiva si y
solo si “Todo elemento de B es
imagen de algún elemento de A”
2. La función f es sobreyectiva si y
solo si Rec f = B
Función Sobreyectiva
FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función f es biyectiva si es
inyectiva y sobreyectiva.
FUNCIÓN INVERSA
Toda función admite una
inversa, sin embargo no toda
inversa es una función.
El siguiente teorema indica
bajo que condiciones una función
tiene inversa.
TEOREMA
Sea f: AB una
función, f tiene inversa,
-1
denotada por f si y sólo
si f es biyectiva.
ALGEBRA DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones, entonces, se obtienen
las siguientes funciones:
Observación
El dominio de la suma, diferencia
y producto es la intersección del
dominio de f con el dominio de g.
2. El dominio de la división es la
intersección del dominio de f con el
dominio de g sin los números para
los cuales g(x) = 0.
1.
FUNCION COMPUESTA
Definición
Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama
función compuesta (g o f)(x) a la función
(g o f)(x) = g(f(x))
OBSERVACIÓN
Observando el esquema anterior
observamos que para que exista la
función compuesta es necesario que el
recorrido de la función f quede
totalmente incluido en el dominio de la
función g.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
El conjunto de los pares (x, y)
determinados por la función recibe
el nombre de gráfico de la función.
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
Criterio De La Línea Vertical
Permite comprobar si una gráfica
representa una función matemática.
Consiste en trazar una línea vertical en
cualquier valor del dominio y si esta
intersecta a la curva en más de un punto la
gráfica no representa a una función.
Criterio De La Línea Vertical
INTERSECCIÓN CON LOS
EJES
Corresponde a los puntos donde la
gráfica corta a los ejes.
1. Intersección con el eje
Corresponde al punto (x,0).
2. Intersección con el eje
Corresponde al punto (0, y)
x:
y:
FUNCIÓN PAR
Sea f una función, f es par si
y solo si:
f(-x) = f(x)
Para todo x;- x pertenecientes al
Dominio de f.
FUNCIÓN IMPAR
Sea f una función, f es impar
si y solo si:
f(-x) = - f(x)
Para todo x;- x pertenecientes al
Dominio de f.
FUNCIONES REALES
ESPECIALES
FUNCION CONSTANTE
Definición: La función f: RR es función
constante y viene expresada por:
Características:
1.Dom f(x): R
2.Rec f(x): {c}.
Grafica
3. La gráfica es una recta paralela al eje x
que intersecta al eje y en el punto (0,c),
esto es:
FUNCIÓN IDENTIDAD
Definición: La función f: RR es
función identica y viene expresada por:
Características:
1.Dom f(x): R
2.Rec f(x): R
Grafica
3. La gráfica es una recta que pasa por el
origen, esto es:
FUNCION LINEAL
Definición: La función f: RR es f. lineal
y viene expresada por:
Características:
1.Dom f(x): R
2.Rec f(x): R
Grafica
La gráfica de esta función depende del valor
que toma “m”.
1.
Si m > 0
2. Si m < 0
3. Si m = 0
4. Si m es indefinido:
ANALISIS DE LA
FUNCION LINEAL
PENDIENTE
La pendiente de una recta también se denomina
coeficiente angular de la recta. Este nombre se debe
a que el valor de la pendiente permite calcular la
medida del ángulo de inclinación de la recta respecto
al eje horizontal (eje x).
La pendiente de una recta que pasa por los puntos
P = (x1,y1) y Q = (x2,y2) viene dada por:
COEFICIENTE DE
POSICIÓN
Corresponde
al
punto
de
intersección de la recta con el eje y.
Viene dado por el punto (0, y). Se
denota por n.
Ecuación de la Recta
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
Si se conoce la pendiente m de una
recta y uno de sus puntos P ( x1 , y1 ),
entonces la ecuación viene dada por:
ECUACIÓN GENERAL DE
LA RECTA
La Ecuación General De Una
Recta en dos variables x e y viene dada
por:
FUNCIÓN CUADRATICA
Definición: La función f: RR es f.
cuadrática si y solo si:
Características
1. Dom f(x): R
2. El recorrido viene dado por:
Grafica
1. Si a > 0, la gráfica es cóncava hacia
arriba.
Grafica
2. Si a < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo.
ANÁLISIS DE LA
FUNCIÓN
CUADRÁTICA
CONCAVIDAD
La gráfica de la función cuadrática f(x)
= ax2 + bx + c es una parábola cóncava
hacia arriba si a > 0 y cóncava hacia
abajo si a <0.
Vértice
Corresponde al punto más alto o punto
máximo si la parábola es cóncava hacia
abajo (a<0), y al punto mínimo si la parábola
es cóncava hacia arriba (a>0). Tiene las
siguientes coordenadas:
FUNCIÓN RACIONAL
Definición: Sea p(x) y q(x) dos
polinomios, entonces se define la
función racional:
Características
Asíntota Vertical:
Se dice que la recta x = a es una
asíntota vertical para la gráfica de una
función f si:
Características
Asíntota Horizontal:
Se dice que la recta y = c es una
asíntota horizontal para la gráfica de una
función f si:
Características
En
particular
las
asíntotas
corresponden a las restricciones del
dominio y recorrido de una función
FUNCIÓN IRRACIONAL
Definición: La función f es irracional si y
solo si:
Características
1.Dom f: R+ U {0}
2.Rec f: R+ U {0}
Grafica
FUNCIÓN VALOR
ABSOLUTO
Definición: La función f: RR se
llama f. valor absoluto si y solo si:
Características
1. Dom f: R
2. Rec f: R+ U {0}
3. La gráfica viene dada por:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición: La función f: RR se llama f.
exponencial con base b si y solo si:
Características
1.Dom f: R
2.Rec f: R+
Grafica
1. Si b > 1
Grafica
2. Si 0 < b <1
NUMERO NATURAL e
La base b más importante es el número
irracional e = 2,7182……
La grafica de la función f(x) = ex:
FUNCIÓN LOGARITMO
Definición: La función f: RR se llama
f. logaritmo con base b si y solo si:
Características
1.Dom f: R+
2.Rec f: R
Grafica
1. Si b >1
Grafica
2. Si 0 < b < 1
LOGARITMO COMUN
Y NATURAL
1. Si la base b = e, entonces se llama
logaritmo natural y viene dado por:
y = Ln x
2. Si la base b = 10 entonces se llama
logaritmo decimal y viene dado por:
y = log x
FUNCIONES