Transcript Combinatoria Contar collares Taller de talento matemático Departamento de matemáticas Paz Jiménez Seral Universidad de Zaragoza Taller de talento matemático Departamento de matemáticas.

Combinatoria
Contar collares
Taller de talento matemático
Departamento de matemáticas
Paz Jiménez Seral
Universidad de Zaragoza
Taller de talento matemático
Departamento de matemáticas
Combinatoria
El arte de contar
“La combinatoria trata, ante
todo, de contar el número de
maneras en que unos objetos
dados pueden organizarse de
una determinada forma.”
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El papiro Rhind (problema 79)
En 1858 el egiptólogo escocés
A. Henry Rhind compró en
Luxor (Egipto) el papiro que
actualmente se conoce como
papiro Rhind o de Ahmes,
encontrado en las ruinas de un
antiguo edificio de Tebas. Fue
escrito por el escriba Ahmes
aproximadamente en el año
1650 antes de nuestra era.
Comienza con la frase:
“Cálculo exacto para entrar en
conocimiento de todas las cosas
El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm
de ancho. Representa la mejor fuente de
existentes y de todos los oscuros
información sobre matemática egipcia Taller de talento matemático
secretos
y misterios.”
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matemáticas
antigua conocida.
El papiro Rhind (problema 79)
Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución.
Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas,
fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones,
repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales
y trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria.
Veamos una versión “moderna”...
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La regla del producto
Yendo al pueblo de San Marcos
me crucé con un señor con 7 esposas.
Cada esposa tenía 7 sacos,
cada saco tenía 7 gatos,
cada gato tenía 7 gatitos.
Entre gatitos, gatos, sacos y esposas,
¿Cuántos iban a San Marcos?
(En mi primer libro)
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La respuesta es ninguno
Pero cruzarme, me cruce en total con
7 esposas. 7sacos. 7gatos. 7gatitos
Total =74
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Explosión combinatoria
¿Cuál es el número de posibles ordenaciones
de una baraja de póker de 52 cartas?
El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067.
Si por cada ordenación tomamos un granito de arena tan
pequeño que caben 10 en un mm3 ¿Cuantas planetas
como la Tierra huecos, necesitamos para meter la arena?
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¿Cuántos collares distintos
podemos hacer?

Si tenemos 5 bolas negras, 5 azules y 3
rojas.





Las bolas son esféricas
Los collares no tienen broche
Pasamos un hilo y unimos los extremos
Si tenemos 13 bolas distintas.
Si ponemos las 13 bolas distintas en fila.
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¿Cuántas formas hay de
colocar en fila 13 bolas?



13 bolas distintas las podemos poner en fila de
13.12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1=13! formas
¿Y si tenemos 5 bolas negras, 5 azules y 3 rojas?
Piensa que tenemos que elegir 5 lugares para las
negras, 5 para las azules y 3 para las rojas.
¿Serán 13.12.11.10.9 las posibles formas de
elegir los lugares para las negras?
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NO!!!!




Da igual elegir los lugares 1,3,4,2 y 9 que los
lugares 4,2,9,1 y 3.
¿Si hemos elegido 5 lugares de cuantas
formas se pueden ordenar?
De 5! formas.
Las posibles maneras de elegir los 5 lugares
para colocar las bolas negras son
13.12.11.10.9/5!
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Volvemos al problema

¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila
5 bolas negras, 5 azules y 3 rojas?

La respuesta es
(13.12.11.10.9/5!)(8.7.6.5.4/5!)(3.2.1)/3!=13!/5!5!3!
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Pasamos el hilo para hacer
collares

Nos encontramos con filas distintas que dan el
mismo collar.

Por ejemplo, estas dos filas me dan collares iguales
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¿Cuántas filas me dan un
mismo collar?

Nos encontramos con filas distintas que dan el
mismo collar. Vamos a pensar en los lugares de la
fila numerados.

De estas filas
1 2 3
4
5
6 7
8
9
1 2
4
5
6 7
8
9 10
3
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10
11 12
13
11 12 13
Sería mas sencillo si fuesen
bolas distintas…

Vamos a hacerlo otra vez mas sencillo
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Con cuatro bolas distintas? ¿Y con 7? ¿Y con
n?
(1) El collar lo podemos mover con permutaciones
cíclicas
y simetrías.
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Permutaciones cíclicas
Espejo
Permutaciones simétricas
Como el número total de filas es
igual a 4! = 24, tendremos 24 / 8 = 3 collares distintos .
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(2) Si hay 7 bolas distintas tendremos
7! / (7 x 2) = 360 collares.
(3) Y, en general, en el caso de n bolas distintas:
n! / (n x 2) formas.
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¿Cuántas filas me dan un
mismo collar?
12
13 1
12 13 1
11
1
1
2
11
3
10
4
5
9
8
7 6
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10
2
3
9
8
4
7 6 5
Las filas que hemos puesto
antes
12
13 1
1
1
2
13
11
3
10
4
5
9
8
1 2
7 6
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3
4
12
11
10
5
6
9 8 7
Volvemos al problema

¿Con cuantas filas consigo el mismo collar?

Más concreto. ¿Con cuantas filas consigo el collar anterior?
Imagina el collar y una ruleta con los números debajo. Si muevo la
ruleta tengo una numeración para las bolas y por tanto una fila que
me proporciona el collar.
¿Cuántos movimientos distintos puede hacer la ruleta?
Giros de trece amplitudes distintas. (El uno puede quedar en trece
bolas distintas)
¿Estás seguro de que así obtenemos 13 filas distintas?




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Con otro collar distinto…..
13 1
12
2
11
1
10
3
4
9
8 7
5
6
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Un paso mas del problema

¿cuántas filas consigo con este collar girando la
ruleta?

Sí también son trece. Pero ¿Y con otro collar?
¿Hay alguna posibilidad de que sean menos de 13?
Hay que pensar en un giro de la ruleta que me
pueda llevar de una fila a la misma fila. ¿Puede ser?


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Que ocurre con este collar?
12 1
1
11
10
2
3
4
9
8 7
5
6
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No es de los nuestros!
Tiene 12 bolas y ..




Pero en este caso girando la ruleta solo consigo 3
filas distintas.
En nuestro caso ¿dónde tendrían que estar las
bolas negras?
Necesitaríamos un número de bolas negras divisor
de 13 y tenemos 5.
En nuestro caso, girando la ruleta con cualquier
collar obtenemos 13 filas distintas.
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¿Hay mas filas para el mismo
collar?

Teniendo la ruleta, le puedo dar la vuelta al collar y
tengo otra fila distinta.
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Piensa en las filas que salen
así
13 1
1
12
11
1
2
3
4
10
9
5
8 7
1 13 12
6
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2
11
3
10
4
5
9
6 7 8
Vamos a ordenar el
razonamiento

Supongamos que el collar está sobre los trece
números que forman un polígono regular de trece
lados.

Hay trece giros del collar. La composición de dos
giros es otro giro y para cada giro hay otro que me
lleva el collar a su posición inicial.
Dar la vuelta al collar es otro movimiento que me
proporciona una nueva numeración para las bolas.
Puedo dar la vuelta al collar de 13 modos distintos.
Siempre hay una bola que queda en su sitio y
permuto de dos en dos las demás. Son simetrías.

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Sigue




La composición de un giro y una simetría es una simetría. Y
una simetría con un giro también es una simetría.
Partiendo de una posición del collar y aplicando los 26
movimientos obtenemos, cortando el hilo antes del 1, 26 filas
de bolas.
La cuestión es si puede haber dos filas iguales. Las dos filas
parten del mismo collar con una numeración, para obtener
una, hemos aplicado un movimiento y para la otra, otro
movimiento. Si hemos llegado a la misma fila al aplicarle el
inverso de uno de los dos obtenemos la numeración de
partida. Así que hay un collar numerado(fila) y un movimiento
que me lo lleva a otra numeración que da la misma fila.
Ya hemos comentado que no puede ser un giro. Pero
tampoco puede ser simetría por ser impares las bolas de dos
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colores.
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Volvemos al problema

¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila
5 bolas negras, 5 azules y 3 rojas?

La respuesta es
(13.12.11.10.9/5!)(8.7.6.5.4/5!)(3.2.1)/3!=13!/5!5!3!
Partido por 26, es decir
12!/5!5!3!2= 2772collares
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Mas problemas:





¿De cuantas formas se puede pintar un tetraedro regular con
una cara azul otra verde otra roja y otra negra?.
Y si tengo cinco colores ¿de cuántas formas se pueden pintar
las caras del tetraedro suponiendo que no se puede repetir
color?
Y si tengo cinco colores ¿de cuántas formas se pueden pintar
las caras del tetraedro suponiendo que sí se puede repetir
color?
Imagínate del tetraedro quieto. Son 54 formas. Ahora lo
mueves y pasas de una posibilidad a otra.
¿De cuantos modos puedes mover el tetraedro?
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Y Mas problemas:






Hay 12 giros que dejan fijo el tetraedro. Descríbelos,
imagínalos. Si de una de las posibilidades contadas antes
paso a otra las dos me dan el mismo tetraedro.
Suma divide y cuenta el total de tetraedros.
¿Y si en vez de un tetraedro es un cubo?
Te aconsejo que no lo intentes resolver sin un poquito de
teoría de grupos.
Y si quieres pregúntame las soluciones en
[email protected]
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