Transcript Tema: Funciones. Interpolación lineal y cuadrática Algoritmo 2001 - Matemáticas I Funciones reales: definición Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto.

Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
1
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Funciones reales: definición
Una función real de variable real es una aplicación de un
conjunto D  R, en el conjunto R.
f(x) = x2
R
R
Dominio
•2
• 2,3
•5
f(2) = 4
f(2,3) = 5,29
f(5) = 25
Recorrido
•4
• 5,29
• 25
IMAGEN FINAL
Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones:
• Todo elemento de D ha de tener imagen.
• Esta imagen ha de ser única.
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
2
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Gráfica de una función
La gráfica o curva de una función es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y = f(x)
El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera
vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos.
Gráfica de la función y =
x
1 + x2
Ver cómo dibuja el
ordenador una función:
hacer click
IMAGEN FINAL
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
3
Funciones reales: ejemplo
Y
y = f(x) = 4 - x2
2
(1, 3 )
f(D) = [0, 2 ]
3
1.5
f(1) = 3
1
0.5
-
2
-
1
1
-
2X
0.5
D = [-2, 2]
Ley de
asociación
x
f
D = [-2, 2] f(x) = 4 - x2
Entrada
Salida
f(x)
Recorrido: f([-2 2]) = [0, 2]
IMAGEN FINAL
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
4
Funciones definidas por fórmula
Superficie del rectángulo inscrito en la circunferencia
S=x.y
x2
90º
+
y2
=
(2R)2
}
S = x 4R2 - x2
x
2R
x
D = (0, 2R)
y
IMAGEN FINAL
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
5
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Funciones definidas a trozos
f (x) =
x

x
+ 1 si x  0
- 1 si x > 0
D=R
Y
x + 1 si x  0
x - 1 si x >0
1
-1
1
X
-1
IMAGEN FINAL
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
6
Funciones definidas por tablas
Tiempo t (min)
Temperatura T (ºC)
0 1 2 3 4 5
20 24 28 32 36 40
50
46
45
T = 4t + 20
40
35
30
30
25
20
T (temparatura)
Tema:
15
10
5
0
-2
-1
0
1
2
3
2.5
Interpolación T(2.5) = 4 . 2.5 + 20 = 30ºC
4
5
6
7
8 9 10
t (tiempo)
6.5
Extrapolación T(6.5) = 4 . 6.5 + 20 = 46
IMAGEN FINAL
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
7
Interpolación: planteamiento general
Variable x
Variable y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4 …. xn
y4 …. yn
Y
f(x) = ax + b:
interpolación lineal. La
función interpolante es una
recta.
yn …. yn-1 y4
•
•
•
y3 y2 y1
•
0
x1 x2 x3 x4 …. xn-1 xn
•
f(x)
f(x) = ax2 + bx + c:
interpolación cuadrática. La
función interpolante es una
parábola.
•
X
IMAGEN FINAL
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
8
Interpolación lineal
Volumen (cm3) Masa (g)
180
1
7,7
3
23,1
140
5
38,5
120
8
61,6
10
77
160
Masa (g)
Tema:
100
80
60
40
11
84,7
17
130,9
18
138,6
20
154
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16 18
20
V(cm3)
IMAGEN FINAL
22
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
9
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Interpolación cuadrática
1800
1600
x: Radio (cm) y: Coste (pta)
11,5
765
15,5
1090
20,5
1690
….
…..
Coste (pta)
Tema:
1400
1200
1000
800
y = 4,3056x2 - 35x + 598,09
600
10
12
14
16
18
20
22
Radio (cm)
IMAGEN FINAL
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
10
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Sucesiones de números reales
N
1
2
3
4
5
….
n
….

f(1) = a1 f(2) = a2 f(3) = a3 f(4) = a4 f(5) = a5 …. f(n) = an ….
R
Sucesión aritmética
1
2
3
4
….
n
….
a1 a2= a1 + r a3= a2 + r a4= a3 + r …. an= an-1 + r ….
Término general: f(n) = an + b: se puede calcular por interpolación
Sucesión geométrica
1
2
3
4
….
a1 a2= a1 . r a3= a2 . r a4= a3 . r ….
n
an= an-1 . r
….
….
Término general: f(n) = a . bn: se puede calcular por interpolación
IMAGEN FINAL
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
11
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
Sucesiones de números reales: sucesión aritmética
Los 50 primeros términos de la sucesión a(n) = an = 6n - 4
300
250
200
150
100
50
0
0
10
20
30
40
50
IMAGEN FINAL
Tema:
10
Funciones. Interpolación lineal y
cuadrática
Algoritmo 2001 - Matemáticas I
12
Sucesiones de números reales: sucesión geométrica
Los 15 primeros términos de la sucesión a(n) = an = 3 . 2n-1
50000
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0
2
4
6
8
10
12
14
IMAGEN FINAL